抽水引起的有起始比降飽和土固結解析解

張瑋鵬，謝康和，呂文曉，黃大中，吳浩

(1. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，浙江 杭州，310058；2. 杭州科技職業技術學院 城市建設學院，浙江 杭州，311402)

抽水引起的有起始比降飽和土固結解析解

張瑋鵬1，謝康和1，呂文曉2，黃大中1，吳浩1

(1. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，浙江 杭州，310058；2. 杭州科技職業技術學院 城市建設學院，浙江 杭州，311402)

研究在有起始比降的弱透水層下大面積抽水而引起的一維固結問題，采用分離變量法，獲得該工況下的一維固結解析解。討論土中滲流移動邊界的運動規律，得滲流發展到達土層頂部的時間因子與起始比降的關系曲線，分析考慮起始比降后土體的一維固結和沉降特性。研究結果表明：當起始比降大于一定值時，滲流不會發展到達土層頂部，此時，弱透水層由于抽水引起的固結最終壓縮量將減小，且起始比降越大，最終壓縮量越小；當固結結束時，土體中孔隙水壓力沿深度分布曲線為折線；而當滲流能夠發展到達土層頂部時，最終壓縮量為一定值，與起始比降無關，土體中的孔隙水壓力沿深度分布曲線為直線。

起始比降；大面積抽水；一維固結；解析解；非達西流

抽取地下水將導致地下水位下降，孔隙水壓力減小，有效應力增加，土體發生固結而引起地面沉降。隨著人類抽取地下水數量日益增加，由此引起的地面沉降問題日益嚴重[1?3]。地面沉降是一種嚴重的地質災害，對人類生活環境等產生惡劣影響。駱冠勇等[4]對承壓水減壓引起的上覆土層固結進行了研究，在假定一維豎向固結的條件下推導了減壓引起的固結解析解。TSENG等[5]分析了水位瞬時下降和水位隨時間變化情況下自重應力對飽和土體固結的影響。TSAI[6]采用差分法研究了水位瞬時下降和水位隨時間變化情況下黏滯性對飽和土體固結的影響。SHEN等[7]對上海市地下水抽取引起的地面沉降進行了數值分析，在假定三維滲流一維變形的情況下分析了地下水位、地下水抽取量與地面沉降的關系，并對今后的地面沉降進行了預測。LIU等[8]通過拉普拉斯變換獲得了考慮黏彈性弱透水層因水位變化引起的一維固結解并分析了土體固結性狀。謝康和等[9]獲得了越流系統中水位下降弱透水層的一維固結解析解，并對固結性狀進行了分析。上述研究均基于達西定律，由于達西定律以砂土滲流試驗獲得，并不完全適用于其他土。對于某些低滲透性飽和黏土，MILLER等[10?11]滲透試驗研究證明，土中存在起始比降i0，只有當土中某點的水力坡降大于i0時，該點才會發生滲流。對于存在起始比降的土層固結問題，目前已有很多研究[12?18]，但均局限于荷載引起的固結，關于抽水引起的有起始比降的土層固結研究還未見報道。為此，本文作者研究在有起始比降的弱透水土層下大面積抽水引起的固結問題，分別分析不同起始比降下滲流不能夠發展到達土層頂部和能夠到達土層頂部的情況。在假定滲流到達土層頂部之后上層潛水位不變的條件下，獲得不同起始比降下的一維固結解析解，并分析起始比降對土體一維固結性狀的影響。

1　計算模型

根據第2類越流系統，對弱透水層進行分析，其上部土層為定水頭的潛水含水層，下部為透水主含水層，即大面積抽水(降水)土層，示意圖如圖1所示。圖1中：h0為所有土層的初始水頭(弱透水層頂面為基準面)；H為弱透水層厚度；Ht為滲流移動邊界至基準面的距離；Hc為最終滲流邊界至基準面的距離；Δh為主含水層因抽水引起的水頭損失；z為豎向坐標。

進行如下基本假定：1) 土體完全飽和；2) 土體是均質的；3) 土顆粒和孔隙水不可壓縮；4) 土體固結變形微小；5) 土中滲流和變形是一維的；6) 在固結過程中土的豎向滲透系數kv和壓縮系數a為常數；7) 弱透水層任意位置處初始水頭均為h0；8) 主含水層由于大面積抽水，瞬時水位下降Δh，并由于有側向補給及持續抽水共同作用，假定其水位下降后保持穩定；9) 潛水層由于天然補給，水頭基本保持不變；10)考慮起始比降，土中滲流方程為

式中：v為流速；k為滲透系數；i0為起始比降(i0≥0)。

圖1　大面積抽水后弱透水層中滲流發展示意圖Fig. l Schematic diagram of development of seepage in aquitard after groundwater pumping

根據求解模型及相應的基本假定，可得此條件下以水頭表示的一維固結微分方程和求解條件為：

與式(3)相應的求解條件如下。

初始條件：

邊界條件：

式中：cv為固結系數；h為總水頭。

2　問題求解

定義無量綱參數起始比降因子R=i0H/Δh。顯然，若i0越大，Δh越小，則R越大，滲流越難以到達土層頂部。該問題可分為2種情況。

1) 當R＞1時，滲流逐漸向土層頂部發展但不能發展到土層頂部，此時，滲流最終邊界至基準面的距離為Hc=(1?1/R)H，在該邊界以上土體不會發生固結。由于邊界條件非齊次，因此，采用變量替換的方法將原問題化為齊次邊界問題，引入變量w，變換為

2) 當0＜R≤1時，滲流逐漸向土層頂部發展且能夠發展到達土層頂部，此時滲流的最終邊界即為基準面，或即Hc=0，整個弱透水層均將會發生固結。在滲流到達土層頂部前，以水頭表示的一維固結微分方程和求解條件與R＞1時滲流不能到達土層頂部時相同。可設滲流剛好到達土層頂部時歷時t0，則由式(15)可得

其計算值與駱冠勇等[4]獲得的解析解計算結果相同，驗證了本文解的合理性。

此外，若研究考慮起始比降水位下降引起的下臥弱透水層固結問題，此時，由于存在對稱性，只需建立向上的坐標系，基準面取在弱透水層底面，則求解結果完全相同。

3　土層固結分析

3.1滲流移動邊界

據式(15)可得圖2所示的不同起始比降下滲流移動邊界隨時間的運動曲線。由圖2可見：與太沙基一維固結理論不同，由于起始比降的存在，滲流并不會瞬間在整個土層發生。當下層主含水層水位下降后，滲流移動邊界隨時間推移逐漸向土層頂部移動。當起始比降較小時，滲流能夠很快發展到達土層頂部，隨著起始比降增大，滲流發展到達土層頂部的時間越長。當土層起始比降大于一定值(R＞1)時，滲流移動邊界運動至某一深度，便停止向上移動，并不會發展到達土層頂部。在該深度以上土層，并不會發生固結，且起始比降越大，發生固結土層的厚度越小。圖3所示為滲流發展到土層頂部時間因子與起始比降的關系曲線。由圖3可看出：隨著起始比降R的增大，滲流發展到達土層頂部的時間因子越大，當R＞1時，滲流發展到達土層頂部的時間因子趨于無窮大，即滲流不能到達土層頂部。綜上所述，起始比降阻礙了滲流的發展。

圖2　滲流移動邊界的運動Fig. 2 Motion of moving boundary of seepage

圖3　滲流發展到土層頂部時間因子與起始比降的關系曲線Fig. 3 Curve of time moving boundary of seepage takes to reach top of layer versus threshold gradient

3.2沉降曲線

不同起始比降下土層固結壓縮量隨時間發展曲線如圖4所示，其中s'=Sct/[γwΔhH/(2Es)]。由圖4可知：起始比降R越大，到達相同壓縮量所需時間越長，相同時間因子下壓縮量越小。當起始比降較小時(0＜R≤1)時，滲流能夠到達土層頂部，其最終壓縮量均為一定值，Sc∞=γwΔhH/2Es；當起始比降達到一定值時(R＞1)，將影響滲流發展的深度，使發生固結的土層厚度減小，其最終壓縮量將變小，Sc∞= γwΔhH/(2Es?R)，可知其值與R相關，R越大，最終壓縮量越小。當R=0時，即不考慮起始比降時，滲流能瞬時到達土層頂部，其最終壓縮量與0＜R≤1時的壓縮量相同，且相同時間因子下壓縮量最大，與太沙基雙面排水條件下一維固結解相等。

圖4　不同起始比降下壓縮量與時間因子曲線Fig. 4 Compression versus time curves with different threshold gradients

3.3孔隙水壓力的分布

當主含水層水位下降后，隨著時間的發展，弱透水層中水頭逐漸降低，孔隙水壓力逐漸減小，有效應力逐漸增加。分別取時間因子Tv=0.1時和土體固結完成時2種情況，計算不同起始比降下水頭、孔壓沿深度分布曲線，如圖5～8所示，其中H=10 m，h0=10 m，?h= 5 m。由圖5～8可知：起始比降越大，水頭下降越慢，孔壓減小得也越慢；當起始比降達到一定值時 (R＞1)，滲流并不會發展到達土層頂部，此時，最終滲流邊界上部的土層將不會發生固結，在固結結束時水頭和孔隙水壓力仍將保持不變，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線均為折線；當起始比降較小時(0＜R≤1)，滲流最終能夠發展至土層頂部，整個土層均發生固結。當固結結束時，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線均為直線。

圖5　Tv=0.1時不同起始比降下水頭沿深度變化曲線Fig. 5 Water head versus depth curves with different threshold gradients at Tv=0.1

圖6　Tv=0.1時不同起始比降下孔壓沿深度變化曲線Fig. 6 Pore water pressure versus depth curves with different threshold gradients at Tv=0.1

圖7　固結結束時不同起始比降下水頭沿深度變化曲線Fig. 7 Water head versus depth curves with different threshold gradients at the end of consolidation

圖8　固結結束時不同起始比降下孔壓沿深度變化曲線Fig. 8 Pore water pressure versus depth curves with different threshold gradients at the end of consolidation

4　結論

1) 分析了考慮起始比降下水位下降引起的一維固結問題，并獲得了不同起始比降下相應的一維固結解答。當起始比降i0=0時，本文退化解與解析解計算結果相同，表明本文解答是合理的。

2) 與起始比降為0時滲流瞬間在整個土層發生不同，當存在起始比降時，土中滲流是逐漸向上發展的。起始比降越大，滲流邊界在土中的移動速度越慢。當起始比降在一定范圍內時(0＜R≤1)，滲流均能在一定時間發展到達土層頂部，且最終壓縮量相同；當起始比降大于一定值時(R＞1)，土中滲流雖能逐漸向上發展，但是并不會發展到達土層頂部，且起始比降越大，發生固結的土層厚度越小，最終壓縮量越小。

3) 起始比降越大，降水后土中水頭下降越慢，孔壓減小得也越慢。當滲流能夠發展到達土層頂部時，固結結束時，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線均為直線；當滲流不能發展到達土層頂部時，固結結束時，水頭和孔隙水壓力沿深度的分布曲線均為折線。

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(編輯 劉錦偉)

Analytical solution to one-dimensional consolidation of saturated soil with threshold gradient induced by groundwater pumping

ZHANG Weipeng1, XIE Kanghe1, Lü Wenxiao2, HUANG Dazhong1, WU Hao1
(1. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Institute of Urban Construction, Hangzhou Polytechnic, Hangzhou 311402, China)

One-dimensional consolidation was induced by groundwater pumping beneath the aquitard with threshold gradient. General analytical solutions were obtained by the method of separation of variables. The motion law of moving boundary of seepage was discussed, the relationship between the time moving boundary of seepage that reaches the top of the layer and the threshold gradient was given, and the one-dimensional consolidation and the settlement characteristics of the layer were investigated. The results show that when the threshold gradient is big enough, the moving boundary of seepage will not reach the top of the layer. The final settlement of the layer due to groundwater pumping will decrease, and the bigger the threshold gradient, the smaller the final settlement. At the end of consolidation, the curve of pore water pressure versus depth will be piecewise-linear. Whereas the moving boundary of seepage can reach the top of the layer, the final settlement is constant and irrelevant to the threshold gradient, and the curve of pore water pressure versus depth will be linear.

threshold gradient; groundwater pumping; one-dimensional consolidation; analytical solutions; non-Darcian flow

TU46

A

1672?7207(2016)03?0875?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.021

2015?03?25；

2015?05?10

國家自然科學基金資助項目(51278453，51179170)；國家教育部博士點基金資助項目(20120101110029) (Projects (51278453, 51179170) supported by the National Natural Science Foundation of China；Project(20120101110029) supported by the Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China)

謝康和，博士，教授，博士生導師，從事巖土工程方面的教學和科研；E-mail: zdkhxie@zju.edu.cn