剪切模量隨深度呈指數函數增大地基中錨桿彈塑性分析

陳昌富，湯宇，梁冠亭

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙，410082)

剪切模量隨深度呈指數函數增大地基中錨桿彈塑性分析

陳昌富，湯宇，梁冠亭

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙，410082)

考慮地基土體力學性質隨深度變化特性，假定土體剪切模量、彈性極限抗剪強度以及抗剪強度殘余系數均隨深度按指數函數增大，錨固界面采用一次跌落軟化模型，基于剪切位移法推導錨固段周邊土體處于彈、塑性階段時錨桿位移、軸力、剪應力解析式，并以工程實例檢驗該方法及基本假設的合理性。最后，基于該方法分析錨固段周邊土體剪切模量、彈性極限抗剪強度、抗剪強度殘余系數隨深度分布參數以及錨固段彈性模量對錨桿受力變形特性的影響。研究結果表明：土體力學性質隨深度增加呈指數函數增大有利于改善錨桿工作性狀，在計算中給予合理考慮，可更加真實地反映錨桿荷載傳遞過程。

錨桿；荷載傳遞；剪切模量

由于巖土性質的復雜性以及錨固方式的多樣性，錨桿荷載傳遞機理一直是國內外研究的熱點[1]。尤春安[2]利用Mindlin半空間問題的位移解導出了全長黏結式錨桿應力分布的彈性解；張季如等[3]通過建立錨桿荷載傳遞雙曲函數模型獲得了錨桿摩阻力和剪切位移沿錨固體長度的分布規律。KIM等[4]通過數值模擬和試驗方法對錨桿荷載傳遞過程進行了研究分析。為了反映巖土體的彈塑性特點，XIAO等[5]考慮錨固體周圍土體應變軟化特性，基于剪切位移法，探討了拉力型錨桿的荷載傳遞機理；郭銳劍等[6]在此模型假定基礎上，分析了在不同拉拔荷載作用下，錨桿剪應力分布模式；同樣基于三階段線性黏滑模型，REN等[7]分5個階段研究了錨桿荷載傳遞全過程；段建等[8]則認為土層錨界面服從黏滑模型，建立了錨桿拉拔臨界松動荷載和拉拔極限荷載理論解。將地基視為均質體是大多數巖土工程研究工作的重要前提。但是，根據土體基本性質和大量的現場試驗發現，土在正常固結或超固結條件下，其力學性質隨深度增加有所提高[9?11]。針對此工程特性，GUO等[12?13]假設樁側土體剪切模量和極限抗剪強度均隨深度按冪函數增長，得到了單樁彈塑性解析式；陳明中等[14]推導了考慮樁周土體極限摩阻力隨深度線性變化的單樁沉降解析式；而洪鑫等[15]在此基礎上提出了同時考慮樁側極限摩阻力隨深度線性變化和土體軟化的單樁荷載沉降關系統一解；王旭東等[9]則推導了軸向荷載作用下考慮樁側極限摩阻力和剪切剛度系數隨深度線性變化的單樁彈塑性解析解。然而，在國內外錨桿研究領域關于考慮地基土體力學性質隨深度變化特性的研究成果較少。但隨著巖土錨固技術的發展，其應用領域越來越廣泛，錨固形式也趨于多樣化。在實際工程中錨桿垂直穿越地基或者與地基表面交角較大的情形并不罕見，其中最為典型就是抗浮錨桿。盡管錨桿與基樁荷載傳遞機理存在一定的相似性，因其功能、結構、施工工藝等差異，其受力變形存在較大區別。因此，有必要研究考慮巖土體力學性能隨深度變化特性的錨桿荷載傳遞機理。本文作者考慮土體力學性質隨深度變化，假定土體剪切模量、彈性極限抗剪強度以及抗剪強度殘余系數均隨深度按指數函數增長，錨固界面采用一次跌落軟化模型，推導錨桿承載力和變形的彈塑性解析式，并在此基礎上分析土體力學性質隨深度增長對錨桿受力變形特性的影響，以期更真實合理地反映錨桿荷載傳遞過程。

1　錨固段力學模型建立

以錨固段頂面為坐標原點沿深度方向建立坐標系，并取深度z處的微小錨固段dz為研究對象(圖1)，根據其豎向力平衡條件有：

式中：U為錨固段周長；τ(z)為深度z處錨固段周邊剪應力；N(z)為軸力。

由錨固段拉伸變形w(z)與軸力之間的關系得：

式中：Ea為錨固段彈性模量；Aa為錨固段截面面積。

由式(1)和(2)可得錨固體荷載傳遞微分方程為

圖1　錨桿計算模型Fig. 1 Calculation model of bolt

2　錨固界面力學模型及基本假定

為了能夠反映錨固段周邊土體的軟化特性，錨固界面τ?w關系采用一次跌落軟化模型(圖2(a))，其中，λ(z)為深度z處錨固界面彈性剪切剛度；τf(z)為彈性極限抗剪強度；wu(z)為彈性極限位移；η(z)為抗剪強度殘余系數。

考慮到錨固段周邊土體剪切模量、彈性極限抗剪強度、抗剪強度殘余系數隨深度變化特性，假設：

1) 錨固段為彈性材料，截面面積為常數，錨桿軸線與地基表面夾角為90°。

2) 隨著深度增加，土體力學性質越來越好，并且所受約束力也不斷增大。綜合以上特性，假設土體剪切模量隨深度按指數函數增長[16]：G(z)=G0emz，見圖2(b)。其中，G0為錨固段頂部周邊土體剪切模量；m為土體剪切模量隨深度變化系數。

圖2　錨固界面簡化力學模型Fig. 2 Simplified mechanical model of anchorage interface

3) 由于土體性質和約束力隨深度增大，在拉拔荷載作用下，錨固界面因剪脹作用而引起的抗剪強度明顯增加，因此，假設錨固段周邊土體彈性極限抗剪強度τf隨深度增加也是按指數函數增長：τf(z)=τf0enz，見圖2(c)。其中，τf0為錨固段頂部周圍土體彈性極限抗剪強度；n為彈性極限抗剪強度隨深度變化系數。

4) 隨著深度的增加，土體所受圍壓也不斷增大，不僅極限抗剪強度隨深度增加，而且殘余抗剪強度與極限抗剪強度之比亦增大[17]。于是，假設錨固段周邊土體抗剪強度殘余系數η隨深度變化形式如圖2(d)所示。其中，1?η0為錨固段頂部周圍土體抗剪強度殘余系數；k為抗剪強度殘余系數隨深度變化系數。

基于以上基本假定，錨固界面荷載傳遞模型數學表達式為

為更好地反映土(巖)體力學性質隨深度變化特性，本文建立的模型待定參數相對較多。針對剪切模量的確定，可取不同深度處的原狀土樣進行室內試驗(三軸壓縮試驗、快速壓縮試驗等)，也可以進行現場原位試驗(靜力觸探、旁壓試驗等)[18]。通過上述試驗方法可測得土體的彈性模量，并根據彈性力學理論推算出土體剪切模量，從而確定剪切模量隨深度分布形式。而對于錨固界面荷載傳遞模型類型及其參數的確定，可以進行現場拉拔試驗，即在錨固體內埋設應變片，再通過錨固體位移、軸力、周邊剪應力之間的關系來確定荷載傳遞模型和參數[19]；也可以通過取不同深度處的原狀土樣進行室內剪切試驗而確定[20]；還可以借鑒靜觸探估算單樁豎向極限承載力的方法來確定。

3　錨固段彈塑性分析

3.1彈性階段

當作用于錨桿頂部荷載P0較小時，錨固段周邊土體全部處于彈性階段，錨固段與土體處于黏結狀態。根據剪切位移法理論[21]，錨固段豎向位移與剪應力之間的關系為

式中：r0為錨固段半徑；rm為土體變形可以忽略不計的最大半徑，一般rm=10 r0[22]。

由式(4)和(5)可知：λ(z)=G( z)/(r0ln(rm/r0))。令ξ=ln(rm/r0)，由式(3)和(5)可得錨固段控制微分方程為

式(6)所示為非常系數齊次線性微分方程，需將其變換成可求解的特殊函數，令α=UG0/(EaAar0ξm2)，，式(6)可整理成變型的Bessel方程形式：

求解式(7)可得錨固段位移的通解形式為

其中：A和B為待定系數；I和K分別為第1類和第2類變型的Bessel函數[23]。

由式(2)和式(8)可得錨固段軸力N(z)的通解為

式中：β=?EaAam 。

當錨桿頂部荷載P0增加到使錨固段頂面周邊土體達到極限抗剪強度τf0，若荷載繼續增大，則錨固段周邊土體將由彈性階段進入塑性階段，定義此荷載為錨桿彈性極限荷載Pe，由式(10)可求得：

深度z處錨固段周邊土體彈性極限位移wu(z)的表達式為

由式(12)可知，彈性極限位移wu(z)隨深度變化特性主要由m和n決定。當m=n時，wu(z)為常數；當m

3.2塑性階段

根據錨桿荷載傳遞特性可知，塑性區長度zc(圖3)從錨固段頂面開始沿深度逐漸向下發展。當0≤z≤zc時，錨固段周邊土體處于塑性階段；當zc≤z≤La時，錨固段周邊土體仍然處于彈性階段。C截面為塑性區與彈性區的界限截面，wc為C截面處錨固段豎向位移。所以，在0≤z≤zc范圍內，錨固段位移wp、軸力Np和錨固段周邊剪應力τp的表達式為

圖3　錨固段周邊土體進入塑性階段Fig. 3 Soil in plastic stage around anchorage segment

對式(13)進行積分求解得：

對于彈性區求解，由于邊界條件發生變化，所以錨固段主要力學性狀表達式也將發生變化。需重新考察邊界條件：Ne(La)=0，we(zc)=wc，可得彈性區錨固段位移we、軸力Ne和周邊剪應力τe的表達式為

由于塑性區底面和彈性區頂面軸力相等，即Np(zc)=Ne(zc)，可得錨桿拉拔荷載P0與塑性區長度zc(zc≥0)之間的關系式為

由式(16)可知：當zc=0時，拉拔荷載P0即為錨桿彈性極限荷載Pe，且將zc=0代入式(16)所得結果與式(11)右邊相等，從而也相互驗證了其正確性。

4　工程實例

為了檢驗本文方法及基本假設的合理性，現以某工程5號抗浮錨桿[24]為例進行計算。該錨桿錨固于強風化鈣質板巖中，錨固段長度La=5 m，半徑r0=65 mm，采用全長注漿，錨固段彈性模量Ea=18 GPa。根據工程地質條件及相關工程經驗，確定錨固段周邊土體力學參數見表1。

表1　5號錨固段周邊土體力學參數Table 1 Mechanical parameters of soil around 5th anti-floating anchor

采用本文方法和基本假定，按照表1所列土體力學參數，對錨桿加載過程進行計算，所得荷載?位移曲線(P?s曲線)如圖4所示。

圖4　錨桿P?s曲線Fig. 4 Curve of P?s for anchor

現場拉拔試驗采用單調加載方式，每級讀數3次，每級讀數穩定后方可進行下一級加載。錨桿抗拔力由拉壓傳感器和應變儀測定，錨桿位移由百分表測量。由圖4表明：本文方法計算曲線與實測曲線發展趨勢相吻合，計算所得錨桿極限承載力Pult為432 kN，實測值為420 kN，相對誤差為2.85%。

而將地基視為均質體(不考慮巖土體力學性質隨深度變化，參考文獻[8]的計算方法)所得曲線與實測曲線誤差相對較大，此時錨桿Pult僅為311 kN，與實測值相比，其相對誤差達26%。由此可知，如果不考慮地基土(巖)體力學性質隨深度變化特性，可能低估錨桿的極限承載力，在實際工程中造成不必要的浪費。

5　參數分析

為了分析計算參數(Ea，m，n，k)對錨桿受力變形特性的影響，現以某抗浮錨桿為例進行分析，該錨桿錨固段長度La=8 m，彈性模量Ea=20 GPa，半徑r0=65 mm，垂直錨固于地基中。錨固段周邊土體力學參數如表2所示。

表2　錨固段周邊土體力學參數Table 2 Mechanical parameters of soil around anti-floating anchor

5.1Ea和m對錨桿彈性極限荷載Pe的影響

彈性極限荷載Pe是錨桿受力變形特性的一個重要指標，當錨桿所承受拉拔荷載小于Pe時，錨固段周邊土體處于彈性階段，錨固段與周邊土體無相對位移，錨桿頂部位移與所受拉拔力呈線性關系。當錨桿頂部拉拔荷載大于Pe時，雖然尚未達到錨桿極限承載力，但是錨桿頂部位移隨荷載增大而迅速增加，直接影響到錨固工程的正常工作。所以，在實際工程中，應該盡量增大錨桿彈性極限荷載，使錨桿處于彈性階段。

圖5所示為錨固體彈性模量不同的情況下土體剪切模量非均勻分布參數m與Pe的關系。由圖5可知：在Ea一定時，Pe隨m增大而增大，呈明顯的線性關系；在其他條件不變的情況下，Ea越大錨桿所對應的Pe越大，且Pe隨m增長的幅度也越大。所以，在對錨桿進行設計計算時，應合理考慮土體剪切模量隨深度變化特性，以期更加準確地預測錨桿彈性極限荷載。特別是對變形要求比較嚴格的錨固工程，需要使錨桿獲得較大的彈性極限荷載，一方面可以通過增加水泥砂漿強度等級來提高錨固段彈性模量；另一方面還可以考慮通過控制錨固段長徑比來增加其剛度，將有利于頂部荷載往深部傳遞，充分發揮深部巖土體力學性能。

圖5　Ea和m對Pe的影響Fig. 5 Influence of Eaand m on Pe

5.2m對錨固段周邊剪應力分布形式的影響

錨固段周邊剪應力是錨桿重要的力學性狀之一，其分布形式也直接決定了錨桿錨固段長度以及極限承載力。圖6所示為拉拔荷載P0=200 kN(此時錨固段周邊土體全部處于彈性階段)，m對錨固段周邊剪應力分布形式的影響。

圖6表明：與不考慮土體剪切模量隨深度變化(m=0)的情況相對比，考慮剪切模量隨深度增加對應的錨固段周邊剪應力隨深度增加衰減速率較小，且m越大衰減速率越小。當m足夠大時，由于在靠近錨桿底部，隨深度增加土體剪切模量(錨固界面彈性剪切剛度)增長速率可能大于錨固段剪切位移的減小速率，使得剪應力在錨固段底部反而增大，且m越大剪應力增大越早也越明顯。

圖6　m對剪應力分布形式的影響Fig. 6 Influence of m on shear stress curves

5.3n和k對錨桿受力變形的影響

同時考慮錨固段周邊土體剪切模量、極限抗剪強度、軟化系數隨深度變化的特性，根據前面所推導解析式可知，m對錨桿的影響主要體現在彈性工作階段，而n和k主要影響錨桿塑性工作階段，圖7所示為n和k取值不同的情況下錨桿荷載?位移曲線(即P?s曲線)。

圖7　n和k對錨桿P?s曲線的影響Fig. 7 Influence of n and k on P?s curves

由圖7可知：當錨桿進入塑性工作階段，在其他條件相同的情況下，n和k越大，錨桿頂部位移越小，且錨桿的極限承載力也越大。這是由于當錨桿進入塑性工作階段，n和k較小時，隨深度的增加錨固段周邊土體彈性極限抗剪強度和抗剪強度殘余系數增長不明顯，隨著拉拔荷載進一步增大，塑性區迅速向下發展，并很快達到極限承載力，最后錨桿被拔出。而當n和k較大時，隨深度的增加土體彈性極限抗剪強度和抗剪強度殘余系數增長明顯，能夠有效延緩錨固段塑性區向深部發展速率，使錨桿獲得較大的極限承載力和相同荷載作用下較小的頂部位移。

6　結論

1) 對錨固界面τ?w關系采用一次跌落軟化模型，建立了基于考慮地基土體力學性質隨深度變化的錨桿彈塑性解析式，更加真實合理地反映了錨桿荷載傳遞過程，對錨桿設計計算具有一定的參考價值。

2) 在考慮土體剪切模量隨深度增加而增長的情況下，可以通過提高水泥砂漿強度等級來增加錨固段彈性模量，控制長徑比來提高錨固段剛度，使深部巖土體力學潛能得到充分發揮，以進一步改善錨桿彈性極限荷載和位移。

3) 剪切模量隨深度增長的特性使錨固段周邊剪應力隨深度增加衰減速率變小，且m越大衰減速率越小。當m足夠大時，剪應力在錨固段底部隨深度增加反而增大，且m越大剪應力增大越早也越明顯。

4) 針對本文待定參數較多的問題，提供了幾種常用的參數確定方法。但由于巖土介質復雜多變，各方法的適用性尚有待驗證，需要積累更多的經驗以供實際工程參考。

5) 本文基于錨桿垂直地基表面布置的情形進行計算分析，對于非垂直但交角較大的情形，只需將土體力學參數隨深度分布函數稍作變換即可。

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(編輯 趙俊)

Elastic-plastic analysis for bolts in ground with shear modulus increasing following an exponential function with depth

CHEN Changfu, TANG Yu, LIANG Guanting
(Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China)

Considering the characteristics of mechanical properties of the ground soil varying with depth, it is assumed that soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state and residual coefficient of shear strength increase following exponential functions with depth. Based on the shear displacement method, analytic formulas of the displacement, axial force and shear stress of bolts were derived by using the dropping softening mode for anchorage interface when the surrounding soil is in elastic or plastic stress state. The good agreement of the engineering project with the present method confirmed the rationality of the proposed approach and basic assumptions. Finally, influences of distribution parameters with depth of soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state, residual coefficient of shear strength and elastic modulus of anchorage segment on mechanical and deformation characteristics of bolts were also analyzed. The results indicate that mechanical properties of soil increasing following exponential functions with the increase of depth have benefits on working traits of bolts, meanwhile, reasonable consideration in the calculation can more truly reflect the load transfer process of bolts.

bolt; load transfer; shear modulus

TU476

A

1672?7207(2016)03?0905?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.025

2015?03?23；

2015?06?10

國家自然科學基金資助項目(41572298) (Project(41572298) supported by the National Natural Science Foundation of China)

陳昌富，博士，教授，從事邊坡工程及軟土地基處理研究；E-mail: cfchen@163.com