廣義Gagola特征標的注記

王慧群,曾吉文

(1.長治學院數學系,山西長治046011;2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

廣義Gagola特征標的注記

王慧群1,曾吉文2

(1.長治學院數學系,山西長治046011;2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

設χ∈Irr(G)是廣義Gagola特征標,V(χ)={χ(g)|g∈G}.證明了χ是廣義Gagola特征標,當且僅當χ忠實,并且V(χ)恰好有3個Galois-軌道.在此基礎上,得到經典Gagola特征標的一個充要條件.

廣義Gagola特征標;置換特征標;線性無關

1 主要結果

設G是有限群;Irr(G)表示G的所有不可約復特征標集合;Γ=Gal(Q|G|/Q)為域擴張Q|G|/Q的Galois群,其中Q是有理數域,Q|G|表示Q添加|G|-次本原單位根的代數擴域;其余未指明符號均以文獻[1]為準.

設σ∈Γ,g∈G,χ∈Irr(G),如文獻[1]第90頁所示,令χσ(g)=(χ(g))σ,則χσ∈Irr(G).按此定義,Γ作用在集合Irr(G)上.記該作用下χ所在軌道為χΓ,再記n(χ)為χ的非零點共軛類個數,則有如下不等式成立:

|χΓ|+1≤n(χ).

當特征標χ使得上式等號成立時,由文獻[2],稱該特征標為廣義Gagola特征標.本研究的主要目的是給出廣義Gagola特征標的一個等價刻畫.

記V(χ)={χ(g)|g∈G},考慮Γ在V(χ)上的自然作用.當χ是非線性不可約特征標時,由Burnside定理,存在g∈G使得χ(g)=0.由此可知V(χ)至少有兩個不動點χ(1)和0.更進一步,V(χ)至少有3個Γ-軌道.Zhmud[3]研究了當V(χ)恰好是3個Γ-軌道時的有限群.本研究將證明,此時的特征標恰好是廣義Gagola特征標.

本研究的主要結論為如下定理.

定理1 設G是有限非交換群,符號Γ,V(χ)及Irr(G)如上,則χ是廣義Gagola特征標當且僅當χ忠實,且V(χ)恰好有3個Γ-軌道.

根據定理1,可得如下推論.

推論1 條件如定理1,則χ是Gagola特征標當且僅當χ忠實,且|V(χ)|=3.

推論1必要性中的Gagola特征標最初出現在文獻[4],即滿足n(χ)=2的不可約特征標.對于充分性中的條件|V(χ)|=3,也是經典情形,具體見文獻[5].

2 知識準備

以下羅列的定義,術語和結論,僅為閱讀方便.

定義1 符號如上,稱χ為廣義Gagola特征標,如果

|χΓ|+1=n(χ).

根據文獻[2],當χ是廣義Gagola特征標時,χΓ的所有成員都是廣義Gagola特征標,并且都是忠實的.

證明定理1之前,還需要如下的一個初等事實.

引理1 設B=(aij)是秩為r-1的(r-1)×r矩陣.如果B中每行元素和均為0,則B中任意r-1個列向量均線性無關.

3 定理證明

本部分內容主要是定理1的證明,另外也包含推論1的證明.

以下是定理1的證明.

證明 (i)先證明定理的必要性,即先假定χ是廣義Gagola特征標.

由文獻[2],廣義Gagola特征標χ是忠實特征標.

記χ的非零點共軛類為C1=1,C2,…,Cr.設nj為Cj的代表元,其中j=1,2,…,r.令aj=χ(nj),則V(χ)={χ(1)=a1,a2,…,ar,0}.因為χ(1)和0都是Γ-不動點,為完成必要性證明,只需證明a2,…,ar恰是一個Γ-軌道.記U={a2,…,ar},則Γ可以作用在U上,以下證明Γ在U上是傳遞作用.

由廣義Gagola特征標的定義,可設χ的Γ-軌道χΓ={χ1=χ,χ2,…,χr-1}.記W=χΓ,定義

則Γ可以作用在W上,并且是傳遞的.

設X是特征標表所確定的矩陣.在X中,選取χ1, χ2,…,χr-1所在行,C2,…,Cr所在列的r-1階子矩陣A=(cik),其中cik=χi(nk+1).考慮Γ在上述兩個集合U和W的作用,只要A可逆,模仿文獻[1]定理6.32的證明,就能得到兩個作用的置換特征標相同.再由文獻[1]推論5.15,可知兩個作用的軌道數相同.而Γ在W上是傳遞作用,故在U上也是傳遞作用.為此,需驗證A是可逆矩陣.

在特征標表X中,由χ1,χ2,…,χr-1所在行,C1=1,C2,…,Cr所在列確定的子矩陣記為(cij)(r-1)×r,其中cij=χi(nj).由于X可逆,可知該矩陣的秩為r -1.令B=(|Cj|cij),可知B的秩也是r-1.考察以B為系數矩陣的齊次線性方程組,可知該方程組的基礎解系僅含一個解.注意到主特征標1和χ的內積[1,χi]=0,可知(1,1,…,1)′即為基礎解系.換言之, B滿足引理2的條件,因此任意B的任意r-1列都是線性無關的.特別地,B劃去第一列所得子矩陣是可逆的,從而得到A可逆.

(ii)再證充分性,即假定χ忠實,且V(χ)恰好有3個Γ-軌道.

設V(χ)的3個Γ-軌道為χ(1),0,{a2,a3,…, ar}.記Cj={g∈G|χ(g)=aj},由文獻[3]結論1,可知Cj恰是G的共軛類,即得n(χ)=r.

又因為a2,a3,…,ar是r-1個互不相同的數,可知|χΓ|≥r-1,迫使|χΓ|+1=r=n(χ),故χ是廣義Gagola特征標.

以下是推論1的證明.

證明 如果χ是Gagola特征標,由文獻[4]可知χ忠實且|V(χ)|=3.反之,如果χ忠實且|V(χ)|= 3,記V(χ)={χ(1),0,a}.再記C={g∈G|χ(g)= a}.重復上述充分性的證明過程,可知n(χ)=2,也即χ是Gagola特征標.

[1] ISAACS I M.Character theory of finite groups[M].New York:Academic Press,1976:90.

[2] WANG H Q,CHANG Xuewu,JIN Ping.On generalized Gagola characters[J].Arch Math,2015,104:501-508.

[3] ZHMUD E.Finite groups possessing a faithful nonlinear irreducible character with three classer of algebraically conjugate values[J].Journal of Algebra,2000,226: 225-235.

[4] GAGOLA S M.Characters vanishing on all but two conjugacy classes[J].Pac J Math,1983,109:363-385.

[5] BERKOVICH Y,CHILLAG D,ZHMUD E.Finite groups in which all nonlinear irreducible characters have three values[J].Houston J Math,1995,21(1):17-28.

[6] LEWIS M L.Bounding fitting heights of character degree graphs[J].Journal of Algebra,2001,242:810-818.

A Note on Generalized Gagola Characters

WANG Huiqun1,ZENG Jiwen2

(1.Department of Mathematics,Changzhi Collage,Changzhi 046011,China; 2.School of Mathematical Science,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Let G be a finite group,χ∈Irr(G)be a generalized Gagola character,and V(χ)={χ(g)|g∈G}.This note gives a necessary and sufficient condition for the generalized Gagola character,and it is also proved thatχis a generalized Gagola Character if and only ifχis faithful and|V(χ)|=3.

generalized Gagola characters;permutation character;linear independence

O 152

A

0438-0479(2016)06-0927-02

10.6043/j.issn.0438-0479.201509018

2015-09-18 錄用日期:2015-12-24

國家自然科學基金(11261060)

jwzeng@xmu.edu.cn

王慧群,曾吉文.廣義Gagola特征標的注記[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(6):927-928.

WANG H Q,ZENG J W.A note on generalized Gagola characters[J].Journal of Xiamen University(Natural Science), 2016,55(6):927-928.(in Chinese)