基于EGM2008和多面函數的太原市似大地水準面精化

劉瑛,張德明

(太原市勘察測繪研究院,山西太原 030002)

基于EGM2008和多面函數的太原市似大地水準面精化

劉瑛?,張德明

(太原市勘察測繪研究院,山西太原 030002)

采用EGM2008重力場模型和趨勢面擬合與基于正交最小二乘思想篩選節點的多面函數法,運用移去恢復原理建立了太原市區的似大地水準面模型,擬合得到的模型內符合與外符合中誤差均小于2 cm,完全可以滿足太原市區內常規測量的要求。

EGM2008;趨勢面擬合;多面函數;似大地水準面

1　引 言

建立一個區域的似大地水準面模型,比較標準的方法是移去恢復法,即將測區范圍內離散的點進行GPS水準聯測后,把求出采樣點的高程異常分解成中長波分量、短波分量和殘余部分[1]。此時用模型大地水準面來表示中長波部分,用足夠分辨率的數字地形模型計算短波部分,以上兩部分可認為是趨勢項,在計算時先移去此部分。再對殘余部分用數學或統計的方法,如多項式、多面函數、最小二乘配置等方式進行擬合。最后再將擬合結果和趨勢向相疊加,恢復最初的高程異常進而擬合出該區域的似大地水準面模型。

通常趨勢項部分由重力場模型計算求出,在精化似大地水準面方面,許多學者對各個重力模型進行了對比,均顯示EGM2008模型精度要優于其他模型,并肯定了其在中國大陸地區的適用性。因此在進行似大地水準面精化時,EGM2008是計算模型大地水準面的首選地球重力場模型[2]。

在對殘余部分進行擬合時,采用多面函數是比較普遍的做法。為了突出反映高程異常的變化,在進行多面函數擬合之前,可先進行趨勢面分析,再對剩余部分進行曲面擬合;而在多面函數擬合中,節點的選擇對最終的結果影響較大,因此本文采用正交最小二乘的思想來篩選節點[3]。

2　基于EGM2008重力場模型和趨勢面正交多面函數的移去恢復法基本思想

高程異常ζ可分為長波分量、短波分量和殘余部分,即:

長波分量ζGM可由重力場模型求出[4],短波分量ζT通過數字高程模型計算[4],移去的過程即求出殘余部分的高程異常:

如果沒有數字高程模型,也可以將短波部歸入殘余高程異常:

由于重力場模型、GPS大地高、水準高均存在測量誤差、重力模型高頻分量以及不同基準面等的影響,模型大地水準面和實測水準面之間還會存在系統性偏差[5,6]。而從擬合的角度來說,殘余的高程異常仍可認為由趨勢項和隨機信號兩部分組成,因此可先對趨勢面進行分析,再對剩余部分進行擬合操作。將高程異常的趨勢面表示為與坐標的函數:

式中f(x,y)常為多項式函數,可由最小二乘法求出系數。判斷最終擬合的結果是否顯著,可進行F檢驗[7]。如果存在異常的觀測值,則需采用抗差估計來控制其對參數求解的影響[3,8]。

在經過趨勢面分析之后,采用多面函數進行最終的擬合,多面函數可將某一點的高程異常ζ(x,y)表示為:

式中,αi為待求參數,n為參數個數,q為核函數。

擬合的關鍵就是核函數的確定,這其中又以節點的確定最為關鍵,可從觀測點中選擇均勻分布的點作為結點,但此種做法帶有一定的隨機性。為了能用最少的參數逼近到滿足要求的精度,通常需要對節點進行篩選,可通過顯著性t檢驗[9]、逐步回歸[10]以及正交最小二乘的方式[3,11]進行選擇。

采用正交最小二乘的方式來篩選,若將所有觀測點作為節點,并表示成列向量的形式,誤差方程的系數矩陣可表示為:

式中,βi=[q(x1,y1,x0i,y0i) q(x2,y2,x0i,y0i)… q(xn,yn,x0i,y0i)]T,將βi相互正交化,則觀測向量Z和βi的夾角θ為:

θ值越大,則對應的βi,即參數αi對應的節點對擬合的貢獻越大。因此,可以通過判斷正交化的系數矩陣與觀測值夾角大小的方式來篩選結點,從而以較少的參數達到較高的擬合度,同時又能有足夠的多余觀測來保證推估的可靠性。

3　太原市區似大地水準面精化案例分析

3．1概況

為了滿足太原市城市建設和規劃發展及現代化測繪生產的需要,本文利用了太原市區的控制測量成果和EGM2008重力場模型對市區的高程異常進行了擬合。控制點均為E級GPS點,共194個,較為均勻地分布在了太原市建成區及清徐縣的平坦地區。所有點位均聯測了二等水準,獲得了在WGS84坐標系下的大地高以及在太原高程基準大沽高程系下的正常高。求得了這些點的高程異常值采用MATLAB雙調和樣條插值內插出的高程異常等值線如圖1。從194個點中,選擇146個點進行擬合計算,其余48個點作為檢查點用于外部質量評價,點位分布如圖2所示。

圖1　高程異常等值線

圖2　擬合點與檢查點分布

3．2模型高程異常的移去

本文利用1′×1′的EGM2008模型文件計算出了太原市區的格網模型高程異常,如圖3所示。

圖3　EGM2008下的太原市區高程異常

同時根據控制點的經緯度計算了各個點位的模型高程異常,并通過GPS水準獲取的高程異常求出了殘余高程異常。從圖1和圖3可以看出,通過控制點的高程異常繪制的等值線和模型高程異常值均呈現由東北向西南減小的趨勢的各控制點殘余高程異常如圖4所示。3．3 趨勢面及多面函數擬合

圖4　殘余高程異常值

扣除模型高程異常后的殘余高程異常ζ仍有系統性偏差,本文采用四參數模型[5]進行趨勢面擬合:

ζRES=a0+a1cosφcosλ+a2cosφsinλ+a3sinφ+v(8)

擬合過后再對殘余的高程異常進行多面函數擬合。首先基于正交最小二乘篩選節點,將所有的146個高程異常點作為節點插值的情況求出系數矩陣并進行Gram-Schmidt正交化,再根據式(7)求出各個參數的對應系數矩陣向量與高程異常向量的夾角,從中篩選出39個點作為節點。再通過簡單試算確定曲面類型和平滑因子,即可確定核函數,并求出每個節點對應的參數。測區范圍內扣除模型高程異常的殘余部分經過趨勢面和多面函數擬合之后的結果如圖5所示。

圖5　殘余高程異常擬合結果

3．4結果及精度評定

將各控制點的高程異常移去模型高程異常并擬合出殘余高程異常的參數后,太原市區的任意一點高程異常值即可通過簡單的恢復過程求出,擬合的最終結果如圖6所示。

圖6　最終擬合結果

參與計算的146個控制點擬合殘差以及48個檢查點的不符值如圖7、圖8所示。

圖7　擬合殘差

圖8　檢查點殘差

最終的統計結果如表1所示。

擬合結果統計　表1

從圖7、圖8、表1看出,采用EGM2008重力場模型以及趨勢面和多面函數進行擬合的結果,除一個點的殘差為3．51 cm外,其余擬合殘差均小于3 cm,內符合精度為1．62 cm;外符合精度的最大不符值為3．14 cm,其余結果均小于2．5 cm,外符合精度為1．13 cm,總體上有著較好的擬合精度。

4　結 論

本文利用移去恢復原理,將高程異常分成模型高程異常,殘余高程異常的趨勢項部分和殘余高程異常的信號部分,分別利用EGM2008重力場模型、趨勢面擬合和正交多面函數法建立了太原市區的似大地水準面模型。最終結果的內符合精度為1．6 cm,外符合精度為1．1 cm,該擬合模型可以滿足太原市區常規的測繪生產需求。

[1] 寧津生,羅志才,楊沾吉等．深圳市1Km高分辨率厘米級高精度大地水準面的確定[J]．測繪學報,2003,32(2): 102～107．

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[3] 張菊清,劉平芝．抗差趨勢面與正交多面函數結合擬合DEM數據[J]．測繪學報,2008(4):526～530．

[4] GB/T 23709-2009．區域似大地水準面精化基本技術規定[S]．

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[9] 陶本藻,余井泉．變形模型運動參數的篩選和運算[J]．測繪學報,1988(4):241～246．

[10] 趙承坤,黃立人．速率面擬合法中核函數中心點的選擇[J]．地殼形變與地震,1991(2):48～54．

[11] S Chen,CN Cowan,PM Grant．Orthogonal Least Squares Learning Algorithms for Radial Basis Function Networks[J]．IEEE Trans Neural Networks,1991,2(2):302～309．

[12] 黃立人,陶本藻,趙承坤．多面函數擬合在地殼垂直運動研究中的應用[J]．測繪學報,1993(1):25～32．

Taiyuan Quasi-Geoid Refinement Based on EGM2008 and Multi-Surface Function

Liu Ying,Zhang Deming

(Taiyuan Institute of Surveying and Mapping,Taiyuan 030002,China)

A quasi-geoid model in Taiyuan urban areas established by using remove-restore method based on EGM2008 gravity field model,trend surface fitting and multi-surface function which choosing nodes by using the orthogonal least squares．The result shows that root mean square error of internal and external quality evaluation are both less than 2 cm,completely meet the conventional surveying production demand in the urban area of Taiyuan．

EGM2008;trend surface fitting;multi-surface function;quasi-geoid model

1672-8262(2016)01-20-04

P223

B

?2015—10—09

劉瑛(1979—),男,工程師,主要從事工程測量和測量項目管理工作。