從混凝土歷史發(fā)展長河中學(xué)習(xí)理解A定則B公式之二（Ⅰ）

王永逵，王健，耿加會，余春榮，馮立艷

（1.上海奇齊科技開發(fā)公司，上?！?01600；2.河南舞陽縣惠達(dá)公路工程公司，河南　舞陽　462400；3.建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所，北京　100024；4.四川德陽明鴻商品混凝土有限公司，四川　德陽　618099）

從混凝土歷史發(fā)展長河中學(xué)習(xí)理解A定則B公式之二（Ⅰ）

王永逵1，王健1，耿加會2，余春榮3，馮立艷4

（1.上海奇齊科技開發(fā)公司，上海201600；2.河南舞陽縣惠達(dá)公路工程公司，河南舞陽462400；3.建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所，北京100024；4.四川德陽明鴻商品混凝土有限公司，四川德陽618099）

阿勃萊姆斯的A定則是在費(fèi)雷特普適公式基礎(chǔ)上的發(fā)展和提高，對混凝土強(qiáng)度理論具有里程碑的意義。保羅米的B公式是在A定則基礎(chǔ)上的簡化，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)對混凝土中的應(yīng)用進(jìn)入新階段。但與A定則沒有質(zhì)的區(qū)別，都是對混凝土強(qiáng)度期望值估計(jì)值的計(jì)算，其結(jié)果應(yīng)該很接近。A定則-B公式成了現(xiàn)代混凝土的基礎(chǔ)理論之一，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

A定則-B公式；期望值；預(yù)報(bào)；控制

1　B 公式是 A 定則的簡化

A 定則的公式擬合與應(yīng)用運(yùn)用起來仍顯得有點(diǎn)不方便。20余年后，在滿足強(qiáng)度和水灰比估算值要求的前提下，1930年瑞典科學(xué)家的保羅米﹙Bolmy﹚通過大量試驗(yàn)和計(jì)算，把阿勃萊姆斯的雙曲線部份線段﹙W/B＝0.4～0.8﹚，用一元回歸的方法建立了“在標(biāo)準(zhǔn)條件下，對給定原材料，混凝土強(qiáng)度與灰水比（C/W）近似成正比” 關(guān)系的 B 公式。在 B 公式中，強(qiáng)度只與灰水比（C/W）近似成正比的關(guān)系，但并非否認(rèn)混凝土強(qiáng)度與水泥、砂石質(zhì)量等其它因素的因果關(guān)系，而是基于數(shù)學(xué)原理，在標(biāo)準(zhǔn)條件下，對給定原材料，大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明因變量混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚只能與可檢測控制的自變量灰水比（C/W）建立近似的線性關(guān)系。而除灰水比（C/W）以外的其它影響因素都因其是隨機(jī)變量，只能在因變量﹙yi﹚中得以反應(yīng)。同時，B 公式的建立不是從天上掉下來的，而是在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上的。散點(diǎn)圖的趨勢表明，混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚與自變量﹙X﹚有明顯的線性特征，它符合“認(rèn)識來源于實(shí)踐”的辯證唯物主義哲學(xué)原理。水泥、砂石質(zhì)量等其它因素對強(qiáng)度影響，是通過大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)我們稱其為樣本中的子樣﹙xi，yi﹚數(shù)據(jù)來體現(xiàn)其不可缺失的影響。正是由于除水灰比以外其它眾多因素的影響，才使因變量混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚具有不確定性數(shù)據(jù)隨機(jī)變量特性。如再將水泥和砂石等列入多元回歸方程也是重復(fù)因子，無益于估計(jì)值準(zhǔn)確性的提高。這里可以用“此處無聲勝有聲”來形容。這一數(shù)理統(tǒng)計(jì)的回歸分析方法，不僅是依據(jù)最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，也是源于幾千年的混凝土反復(fù)實(shí)踐－認(rèn)識－再實(shí)線－再認(rèn)識，同時也亦經(jīng)200余年來的工程應(yīng)用所證實(shí)。“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，B 公式的可信度不僅是過去，在現(xiàn)在或可見的未來也能經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)。

我國對保羅米的 B 公式介紹，可見于1981年中國建筑出版社出版的高校試用教材《混凝土學(xué)》[1]，表達(dá)如下：

式中：

K1，K2——經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

C/W——灰水比。

R——規(guī)定齡期的混凝土抗壓強(qiáng)度。

由于 R 是一個隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)值估算值，具有不確定性，對給定灰水比的28d 強(qiáng)度只是期望值的估計(jì)值標(biāo)示為R28，以示與一般確定性的設(shè)計(jì)強(qiáng)度或配制強(qiáng)度的 R28區(qū)別。因此式（1）也可表示為：

在配合比設(shè)計(jì)中利用式（1），給定配制強(qiáng)度 R28，可計(jì)算出試配時所需要的水灰比估計(jì)值；也可已知 W/C估算，這對混凝土配合比設(shè)計(jì)和施工技術(shù)管理有重要的應(yīng)用價(jià)值。

在《混凝土學(xué)》一書中并未介紹式（1）是誰發(fā)明的，上述瑞典料學(xué)家保羅米1930年發(fā)明了 B 公式，在我國可能是蘇聯(lián)專家上世紀(jì)50年代末來華講學(xué)時介紹的。另在和唐明述等譯英國科學(xué)家 F.M. 李著《水泥和混凝土化學(xué)》[4]和張綬慶譯日本笠井芳夫著的《材料科學(xué)導(dǎo)論》[2]中，也有類似的式（1）表達(dá)式：S＝X+Y﹙C/W﹚，按他們的說法該線性公式是英格·利塞﹙Inge lyse﹚發(fā)明的，式中 X 和 Y 是回歸系數(shù)，這種表達(dá)式除用不同的字符外，與式（1）式?jīng)]有區(qū)別。看來“在標(biāo)準(zhǔn)條件下，對給定原材料，混凝土強(qiáng)度可與 C/W近似成正比”的關(guān)系不只是保羅米一人，在當(dāng)時除瑞典、前蘇聯(lián)等北歐國家以外，國際混凝土界己有較為廣泛的認(rèn)知。嚴(yán)格的說，B 公式中 R 并非與 C/W 完全成比，它還有一常數(shù)項(xiàng)“K1”影響，只是近似而已。后來在 B 公式中引入混凝土強(qiáng)度等級（Rc）和水泥實(shí)測強(qiáng)度（fce）后，回歸系數(shù)“K1、 K2”演變成“A、B”或“aa、ab”，只是兩回歸系數(shù)值的變化，強(qiáng)度與灰水比的近似關(guān)系并沒有變化。這種把強(qiáng)度簡化為與灰水比成正比的線形近似關(guān)系，是保羅米在阿勃萊姆斯基礎(chǔ)上的進(jìn)步。

在 B 公式擬合中，K1、K2兩回歸系數(shù)取決于樣本中的“子樣”﹙xi，yi﹚的具體數(shù)據(jù)。條件不同、時代不同，由公式擬合時的樣本子樣的﹙xi，yi﹚自然會有變化，B 公式的K1、K2也應(yīng)有變化，W/B 的估算結(jié)果也不會一樣，如表1介紹的美國 ACI211.1推薦的引氣型與非引氣型的 W/C 值就有明顯的差別。因此，要求普通混凝土配合比設(shè)計(jì)的 W/B 估算適用于一切類型混凝土是不妥的。同時，隨著混凝土科技的進(jìn)步，“規(guī)程”每隔幾年就需要修訂。要遵循不同質(zhì)的問題，用不同的方法解決，一把鑰匙開一把鎖。

表1　水灰比與混凝土抗壓強(qiáng)度的相互關(guān)系

2　B 公式的擬合

上述討論強(qiáng)調(diào)了 B 公式應(yīng)用必須注意使用條件，生產(chǎn)中都希望找到更切合自已公司生產(chǎn)實(shí)際的 B 公式。那么，根據(jù)積累的樣本數(shù)據(jù)﹙xi，yi﹚運(yùn)用最小二乘法理論上的回歸分析，求得 B 公式中 K1、K2兩回歸系數(shù)，建立 B 公式的過程，稱之為 B 公式擬合。

2.1什么是回歸分析？什么是最小二乘法？

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，用最小二乘法，處理量與量之間非確定性關(guān)系問題的數(shù)學(xué)方法稱之為回歸分析。根據(jù)所研究的自變量個數(shù)的多少，分一元回歸分析和多元回歸分析兩類，在每一類中又以自變量與考核標(biāo)﹙因變量﹚之間呈線性和非線性關(guān)系，有線性回歸分析和非線性回歸分析兩種。其中一元線性回歸是回歸分析中最常用，同時也是最基本的回歸分析方法。

研究兩個變量 X 和 Y 之關(guān)系的問題稱為一元回歸分析。這里 X 是自變量，它的值是事先給定的或可以控制、可精確觀察的普通變量[3,4]，如混凝土配合比設(shè)計(jì)中根據(jù)已知配制強(qiáng)度要求的 W/B，或已知混凝土早期強(qiáng)度求R28等，都是自變量（X），而 W/B 混凝土強(qiáng)度 R28（Y）是因變量，是事件發(fā)生前不能準(zhǔn)確預(yù)測的隨機(jī)變量，是我們要考查的指標(biāo)稱之為期望值的估計(jì)值、平均值。如本例中的混凝土的灰水比（X）與強(qiáng)度（Y）之間建立的近似正比線性關(guān)系，研究它們之間關(guān)系建立相關(guān)公式的方法稱之為一元線性回歸分析。

現(xiàn)暫以筆者在從事商品混凝土技術(shù)工作中，積累的27組部份普通商品混凝土自變量水膠比（Xi）和因變量強(qiáng)度（Yi）數(shù)據(jù)（表2）用列表計(jì)算的方法擬合 B 公式，重在學(xué)習(xí)體驗(yàn)前人發(fā)明最小二乘法的計(jì)算過程的艱辛，進(jìn)而體會現(xiàn)代電腦比人腦計(jì)算的便捷。

試以表2的 Xi和 Yi數(shù)據(jù)做的散點(diǎn)圖1，初步判斷 Xi和 Yi存在近似的直線性關(guān)系式（3），因變量 yi任意一點(diǎn)與直線的關(guān)系存在有誤差 εi式（4）：

式（4）中：

β0和 βi——回歸系數(shù)。

εi——第 i 次試驗(yàn)中的誤差（i=1，2····，n）。

圖1　散點(diǎn)圖

假定 εi是一相互獨(dú)立、且服從正態(tài)分布 N（0，σ2）的隨機(jī)變量。問題是如何求得 b0、b1這兩個回歸系數(shù)的問題，有了它們就可建立回歸方程式了了。根據(jù)式 （4）每個 xi都可以算出變量 yi對應(yīng)的估計(jì)值 ，與觀察值 yi之間的偏差 εi為：

表2　列表計(jì)算　b0和b1數(shù)據(jù)表

一個很自然的想法是，如果在 n 次試驗(yàn)中，y的觀測值與估計(jì)值之間的偏差總和 ε1＋ε2＋·····＋εn愈小，則可認(rèn)為回歸直線與觀測值擬合得愈好。又由于 εi中有正有負(fù)，如直接將它們的和作為衡量 y 和 x 之間的總偏差程度，就可能因 εi正負(fù)相消而使偏差總和為零作出錯誤的判斷，這顯然是不合理的。因此，通常用每個偏差平方和的方法，即

Q 值的大小取決于 b0和 b1，如果能找到一組 b0、b1值使Q 達(dá)到最小，這時的 b0、b1值為系數(shù)的必將是與觀測值擬合得最好線性回歸。求得這樣一組 b0、b1值的方法可以用最小二乘法求得。所謂最小二乘法就是使得 Q 值達(dá)到最小的一種計(jì)算回歸系數(shù)（b0，b1）值的方法[4]。

根據(jù)數(shù)學(xué)上求極值的原理，要使 Q 達(dá)到最小，應(yīng)使 b0和b1偏導(dǎo)數(shù)為0。

將 Q 的表達(dá)式代入，可得

式（8）為一二元一次方程，其求解如下：

2.2計(jì)算 b0和 b1

根據(jù)式（13）列表計(jì)算 b0和 b1，詳見表2。

2.3一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

一元回歸的顯著性檢驗(yàn)有三種方法，它們是：相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)、方差分析檢驗(yàn)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)。三種相關(guān)性檢驗(yàn)的方法都是從數(shù)學(xué)上說明用一元線性回歸與實(shí)際強(qiáng)度與膠水比直線相關(guān)的程度。在這里只利用現(xiàn)有公式，對相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的方法來檢驗(yàn)與實(shí)際線性相關(guān)的程度，不介紹另兩種檢驗(yàn)方法和公式推導(dǎo)。

2.4相關(guān)系數(shù) r 值計(jì)算與判斷步驟

2.4.1由變量 X 和 Y 的觀察值計(jì)算 r 值

相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量（X，Y）之間線性相關(guān)程度的一個量，用r表示。對 X、Y 兩個變量進(jìn)行 n 次觀測，如第i 次的觀測為（Xi，Yi）, 則它們之間的相關(guān)系數(shù) r 用下式計(jì)算：

2.4.2臨界值

給定檢驗(yàn)水平a，在相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表中查自由度ν＝n－2時的臨界值 r0（n 是對變量 x 和 y 的觀察次數(shù)，即數(shù)據(jù)對子樣的個數(shù)）；本例給定檢

驗(yàn)水平 a＝0.01，n＝27，查“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表”中査自由度 ν＝n－2＝25時的臨界查得r0＝0.4869

2.4.3判斷規(guī)則

當(dāng) |r|＞r0時，認(rèn)為變量 x 和 y 之間的線性關(guān)系是顯著的，建立的回歸方程是合理的；當(dāng) |r|＜r0時，認(rèn)為變量和y之間的線性關(guān)系是不顯著的，建立的回歸方程沒有實(shí)際意義。

當(dāng) |r| 愈接近1.0，則相關(guān)性愈好，|r|＝0為完全相關(guān)，方程為一直線。

現(xiàn)查得r0＝0.4869。

∵ |r| ＝0.9800＞＞r0＝0.4869；

∴ 所擬合的——元回歸線性方程相關(guān)性特別顯著。

3　B 公式的預(yù)報(bào)與控制

3.1預(yù)報(bào)

預(yù)報(bào)與控制是在 B 公式的一元回歸方程建立與顯著性檢驗(yàn)合格后才進(jìn)行的。所謂“預(yù)報(bào)” 是指已知膠水比（X＝ X0）時，利用建立的 B 公式來預(yù)報(bào)與 X0對應(yīng)的值在一個什么置信度范圍出現(xiàn)以及在驗(yàn)收要求下，R28能否滿足驗(yàn)收要求，達(dá)到“預(yù)防在先，事預(yù)則立”的目的。其依據(jù)，正如以開始就強(qiáng)調(diào)的，我們現(xiàn)在討論的 和 R28都是屬于不確定性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)值，它有一定的分布規(guī)律。大量的實(shí)踐證明，灰水比（X0）一定，強(qiáng)度的分布服從正態(tài)分布，于是得到以下三個置信度的預(yù)報(bào)區(qū)間：

公式預(yù)報(bào)示意圖見圖2。

圖2　公式預(yù)報(bào)示意圖

3.2普通商品混凝土 C30的預(yù)報(bào)與控制實(shí)例

普通商品混凝土 C30的預(yù)報(bào)與控制實(shí)例，詳見表3。根據(jù)問題的要求，選擇式（19）～式（21）中的置信度區(qū)間作為預(yù)報(bào) X＝X0時，對應(yīng)觀測值 Y0出規(guī)的機(jī)率區(qū)間。如圖2。 一般要求置信度95% 時，b0＋b1X±2S 認(rèn)為經(jīng)濟(jì)技術(shù)合理。即：則回歸直線的兩平行線。

表3　普通商品混凝土 C30配合比實(shí)例

表4　混凝土強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差

以表3普通 C30商品混凝土為例：

已知：W/B＝0.46，X0＝B/W＝2.169，質(zhì)量控制水平S＝3.5MPa

代入公式：

混凝土‘預(yù)測’置信度的有關(guān)規(guī)則對我們的啟示是：強(qiáng)度是一個隨機(jī)變量，在生產(chǎn)中由于受到許多難以控制因素的影響，強(qiáng)度值的波動不可避免。既使是在置信度68% 范圍內(nèi)，C30混凝土的在生產(chǎn)檢驗(yàn)中強(qiáng)度的波動可能在34.7～41.7MPa 之間，高低之差在20% 以上。在置信度95% 范圍內(nèi)，波動也可能在31.4～45.4MPa 之間，可能出現(xiàn)的高低之差，將達(dá)到30% 以上。由此，我們在混凝土對比試驗(yàn)中根據(jù)取值的判斷應(yīng)慎重，不能僅跟據(jù)一組試驗(yàn)的取值結(jié)果，就判斷其優(yōu)劣。不同條件下的對比，更不能簡單下結(jié)論。數(shù)據(jù)的取值應(yīng)遵循一定的條件和一定的取值法則，否則可能得出錯誤的結(jié)論。關(guān)于數(shù)據(jù)的合理取值，需另在專項(xiàng)討論中論述，這里只是提醒關(guān)注非確定性數(shù)據(jù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)。

3.3控制

（1）控制什么？控制的許可范圍有多大？

所謂控制，就是在生產(chǎn)過程中對給定的原材料，對混凝土強(qiáng)度影響最大的水膠（灰）比在置信度95% 即范圍內(nèi)，應(yīng)控制在什么范圍？才能滿足抗壓強(qiáng)度合格95% 的要求。工程實(shí)踐告訴我們對混凝土的質(zhì)量控制，對給定原材料，影響最大的是水膠（灰）比，在生產(chǎn)過程中必須時刻關(guān)注砂石含水量的變化，即時采取應(yīng)對措施并嚴(yán)格禁止現(xiàn)場應(yīng)加水，始終將水膠比控制在一個許可范圍，做到預(yù)防在先確保混凝土質(zhì)量。如3.2章節(jié)實(shí)例 C30混凝土，原設(shè)定的水膠比期望值 W/B＝0.46

計(jì)算結(jié)果表明：在95% 的置信度內(nèi)，以 W/B＝0.46為中心，水膠比應(yīng)控制在0.41～0.52范圍內(nèi)。既不能大于0.52，也不必低于0.41。此一要求正好與“規(guī)程”中除按配制強(qiáng)度計(jì)算得到的 W/B 估算值進(jìn)行試配外，還須另外（W/ B±0.05）做三個配合比試配是一致的。如 C30的 W/B 估算值，W/B＝0.46，它的 ±0.05，與要求質(zhì)量控制的 W/B 在（0.41～0.52≈0.46±0.05＝0.41～0.51）基本一致。合格的混凝土抗壓強(qiáng)度可有95% 的大概率將出在這個范圍。水膠比必須＜0.52，否則混凝土抗壓強(qiáng)度有可能低于30MPa，出現(xiàn)不合格。

（2）實(shí)際生產(chǎn)中水膠比不變是相對的，變是絕對的。我們目標(biāo)只能是控制在一個許可范圍內(nèi)。

（未完待續(xù)）

[1] 重慶建筑工程學(xué)院，南京工學(xué)院合編．混凝土學(xué)[M]．北京：中國建筑工業(yè)出版社，1981,7

[2] [美]戴維·達(dá)爾文﹙Darid Darwid﹚著．混凝土[M]．吳科如，張雄，姚武，等譯，北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005,1.

[3] [日]笠井芳夫著材料科學(xué)導(dǎo)論[M]．張綬慶譯，北京：中國建筑出版社，1981,2.

[4] 浙江大學(xué)盛驟，謝式千，潘承毅著．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版) [M]．北京：高等教育出版社1989,8．

[5] 王永逵，陸吉祥，著．材料試驗(yàn)與質(zhì)量管理的數(shù)學(xué)方法[M]．北京：中國鐵道出版社，1990．

[6] [英]F·M·李著．水泥和混凝土化學(xué)(第三版)[M]．唐明述等譯．北京：中國建工出版社，1980．

[7] 王元．減水劑的應(yīng)用對使用水灰比定則的影響[J]．商品混凝土，2013(3)：1-6．

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王永逵（1934—），前蘭州鐵道學(xué)院土木系建材室主任。