變位斜齒輪的逆向設計

曹維，關崴，宋敏，袁小星，張新亮

（哈爾濱東安汽車發動機制造有限公司技術中心，黑龍江 哈爾濱 150060）

設計研究

變位斜齒輪的逆向設計

曹維，關崴，宋敏，袁小星，張新亮

（哈爾濱東安汽車發動機制造有限公司技術中心，黑龍江 哈爾濱 150060）

文章根據漸開線齒輪幾何學的基本原理，在總結實際工作經驗的基礎上，提出了一種簡捷實用的齒輪逆向設計方法，該法基于公法線長度，特別是量球跨距的精確測量，結合工程計算軟件Mathcad，直接準確地確定被測齒輪副的模數、壓力角、螺旋角、變位系數等基本參數。該法所用工具簡單，測量精度高，實現簡便，是一種實用的齒輪設計方法。

本方法也適用于漸開線花鍵的逆向設計。

齒輪；測量；逆向；螺旋角；變位系數

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.11.009

CLC NO.: U463 Document Code: A Article ID: 1671-7988(2016)11-20-05

前言

斜齒輪是由齒數、模數、壓力角、螺旋角、變位系數等參數所組成的幾何體。齒輪的種類繁多，形狀復雜，且參數眾多。對于未知齒輪，在沒有圖紙資料的情況下，唯一能容易確定的是齒數，其它參數都是未知量，且各參數之間并不獨立，而是相互關聯的。隨著國內汽車市場的快速發展，汽車變速器中，引進的高水平齒輪箱越來越多，但各國所執行的標準不同，且汽車齒輪箱中多采用非標準齒輪，這又給齒輪測繪仿制帶來了新的難度。

齒輪的逆向設計，實際上就是齒輪的測繪仿制，既對未知齒輪實物的原設計參數進行反求，得到參數符合要求的工作圖并交付加工，主要包括測量計算兩部分工作。以下對齒輪幾何參數的測量與齒輪基本參數的推算兩部分工作進行介紹。

1、齒輪幾何參數的測量

需要測量的幾何要素見表1（以某汽車6速手動變速器1擋齒輪為例）。

表1　齒輪幾何要素測量項目

1.1齒數z和齒寬b

被測齒輪的齒數z1和z2可直接數出，齒寬b1和b2可用游標卡尺測量。

1.2齒頂圓直徑da和齒根圓直徑df

當被測齒輪的齒數為偶數時，直接用游標卡尺或千分尺測量齒頂圓直徑da1和da2，在不同的徑向方位上測量幾組數據，取平均值。同樣可測量齒根圓直徑df1和df2。

當被測齒輪的齒數為奇數時，不能直接測量齒頂圓直徑和齒根圓直徑，可按圖1中所示，先測出的H、h和e值，通過式（1）和式（2）計算求得齒頂圓直徑和齒根圓直徑。

圖1　齒頂圓測量方法（奇數齒）

1.3公法線長度W

可用公法線千分尺或高精度游標卡尺測出跨k個齒和跨k+1個齒的齒公法線長度Wk和Wk+1（k為跨測齒數），測量方法如圖2所示。

依據漸開線性質，理論上卡尺在任何位置測得的公法線長度均相等，但實際測量時，以齒中部分度圓附近測得的尺寸精度最高。因此，測量時應盡可能使千分尺或卡尺切于齒中部分度圓附近，避免接觸齒尖或齒根圓角。測量時，如切點偏高，可減少跨測齒數k；相反，如切點偏低，可增加跨測齒數k。

在環周不同的位置上多測幾組Wk和Wk+1數據，分別取平均值。

圖2　A跨k齒公法線測量

圖2　B跨k+1齒公法線測量

1.4量球跨距M

量球跨距是間接檢測齒厚時一種既方便又精確的方法，這種方法比用齒厚卡尺測量精確。不受待測齒輪變位系數未知的影響，特別對于無法測量公法線長度的窄斜齒輪更加實用。本方法中選用兩組直徑不同的量球dp1和dp2，小齒輪得到兩組對應的量球跨距值M11和M12，用于后面介紹的超越方程式的求解；大齒輪選合適直徑的量球測一組量球跨距值M2。大、小齒輪測量時在不同的徑向方位上測量幾組數據，分別取平均值。

球頭千分尺和游標卡尺測量量球（棒）跨距示意圖見圖3。

圖3　A球頭千分尺測量量球跨距

圖3　B游標卡尺測量量棒跨距

1.5嚙合中心距aw

齒輪副的嚙合中心距aw即實際工作中心距離，通常是從變速器殼體上測量支撐軸承孔的距離直接得到。中心距的測量比較關鍵，其測量精度將直接影響齒輪副側隙的確定，所以測量時要力求準確。建議在三坐標測量儀上測量，操作方便，測量精度高。

2、齒輪基本參數的推算

表1中的齒輪幾何要素測量數值測量完成后，即可進行齒輪基本參數的反求計算，也稱為逆向還原計算。

2.1基圓法向齒距pbn的求解

由漸開線性質可知，基圓法向齒距pbn在數值上等于法向嚙合齒距pen。法向嚙合齒距是齒輪上相鄰兩齒同側漸開線之間的垂直距離，所以基圓法向齒距pbn的求解，通過測量相鄰齒數的公法線長度差，是最常用最簡便的方法。但公法線長度測量精度受齒輪結構和測量人員熟練程度影響較大，所以精度不高。計算結果本文中作為求解方程的初始輸入值。

本文中小齒輪的量球跨距，選用了兩組直徑不同的量球dp1和dp2，從而得到兩組對應的量球跨距值M11和M12，兩組量球跨距幾何關系如圖4所示；

圖4　兩組量球跨距幾何關系

圖4中，在基圓上引出兩條假想漸開線，使之分別通過量球的中心O1和O2。可以看出，量球半徑相當于其繞在基圓上的一段弧，因此有方程：

式中：αMt1、αMt2分別為量球中心處的端面壓力角，βb為基圓螺旋角。

另外，斜齒輪公法線長度：量球跨距測量計算中：（5）、（6）式聯立得：又有：

式（7）式（8）代入式（4）得公法線長度與兩組量球跨距的關系式：

上式（9）即含有pbn的超越方程式，用MathCAD中root函數可方便求解出pbn。

由表1中實例數據計算解得pbn=7.0854。

2.2確定模數mn和壓力角αn

齒輪分度圓的模數和壓力角已經標準化與系列化, 但由于對舒適性要求較高，汽車變速箱中為了提高齒輪的嚙合質量，多采用非標準齒輪。其分度圓壓力角根據不同擋位，通常采用14.5°，15°，16°，17.5°，18°，18.5°，20°，21°，22°，22.5°，25°等。

由式（10）可知，基圓法向齒距pbn僅取決于模數mn和壓力角αn，因此，在MathCAD中將汽車變速器常用的壓力角列出，對應的模數即可直觀顯示。

齒輪正確嚙合條件是法向齒距相等，即pn1=pn2，模數和壓力角在測量時無法直接單獨確定，需通過計算、比較判斷才能合理確定。選取齒輪模數，要保證齒輪有足夠的強度，同時兼顧對噪聲和質量的影響。優先選用符合國家標準GB/T 1357-2008的規定的模數，汽車變速器由于擋位較多，非標齒輪比較普遍，但模數的選取一般小數點后不多于三位。結合擋位特點容易看出，實例中被測齒輪的模數和壓力角優先選擇：mn=2.4，αn=20°。

2.3分度圓螺旋角β的確定

在3.1中pbn及3.2中αn確定以后，又有基圓螺旋角β b=asin(sin(β)·cos(αn))，代入式（4）中可得，下式（9）

由表1中實例數據計算得β=27.83°，圓整取β=28°。

2.4變位形式的判別及實際加工變位系數xE的確定

當嚙合中心距aw等于標準中心距a時，說明該齒輪副為非變位齒輪或高度變位齒輪；當嚙合中心距aw不等于標準中心距a時，說明該齒輪副為角度變位齒輪。汽車變速器擋位較多，含有多個齒輪副，但中心距固定，所以一般采用可以配湊中心距的角度變位。

齒輪副實際加工變位系數：

由表1中實例數據計算得：xE1= 0.3898，xE2= -0.2770。

不同公司的圖紙資料中的齒輪參數表，關于齒輪變位系數的表示方法不一，有的給出無側隙嚙合變位系數，有的給出實際加工變位系數，也有的直接給出分度圓法向齒厚。若要求出無側隙嚙合變位系數，一般按平均分配法將齒厚減薄量還原即可得到。

2.5 嚙合側隙的確定

齒輪副側隙，是齒厚公差、中心距變動和輪齒幾何形狀偏差的影響之和。齒輪側隙分為圓周側隙jwt、法向側隙jbn和徑向側隙jr。相互之間的關系如圖 5 所示。

圖5　斜齒輪的側隙

齒輪副的法向（嚙合）側隙：

由表1中實例數據計算得jbn= 0.1340。

由式（15）、（16）可分別計算出圓周側隙jwt和徑向側隙jr。

3、測量驗證

將實例齒輪副放到WENZEL齒輪儀上檢查, 分別用前述所得模數、壓力角、螺旋角、變位系數、齒頂圓直徑、齒根圓直徑圓整后作為已知條件輸入測量。齒輪測量線圖如下：

圖6　小齒輪圖形齒向線圖

圖7　小齒輪齒距偏差

大齒輪測量圖形如下：

圖8　大齒輪圖形齒向線圖

圖9　大齒輪齒距偏差

測量結果顯示，前述所得基本參數基本與實物比較吻合，實例小齒輪存在較大鼓形量，這更說明測量公法線長度和量球跨距時，使測量點位于齒中部分度圓附近的重要性。

至此，實例齒輪副基本參數可以確定，見表2。

表2　齒輪副設計基本參數

4、結論

齒輪幾何參數的測量是齒輪逆向設計的關鍵工作，是后續計算工作的前提，特別是對于量球跨距等關鍵幾何參數，應力求準確，以便為其它參數的確定提供條件。

本文介紹的方法在基本參數的確定中，以量球跨距為基礎進行推算，量球跨距是控制分度圓齒厚的參數，計算精度高，避免了采用制造精度較低的齒頂圓直徑確定其他參數時誤差偏大的問題。通過在變速器設計工作中的實踐證明，本文介紹的的方法具有較高的應用價值。同時，本方法也適用于漸開線花鍵的逆向設計。

由于研究對象存在制造誤差等因素，使得我們的測量結果不可避免地存在偏差。實際測量時，即使測量數據足夠精準，也僅僅是一個數值，而尺寸的設計公差及其他工藝技術參數的獲得則要求設計人員具備更多的專業知識及相關工作經驗。必要時，可用其他不同的方法進行比較修正。

由于作者水平和經驗等原因，文中難免有不足之處，懇切希望同行提出寶貴的完善意見。

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[2]胡麗華,郎全棟.汽車齒輪與花健側繪[M].人民交通出版社.1987, 02.

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[5]Sagar Jadhav, Amit Sandooja.Analytical Approach to Gear Engineering(Spur and Helical) [J]. 2012,01.

[6]BS ISO 21771:2007.Gears - Cylindrical involute gears and gear pairs - Concepts and geometry [S].

Reverse design of modified helical gear

Cao Wei, Guan Wai, Song Min, Yuan Xiaoxing, Zhang Xinliang （Center of Technology, Harbin DongAn Automotive Engine Manufacturing Co., Ltd, Heilongjiang Harbin 150060）

This article is based on the basic principles of the involute gear geometry, summarizing practical experience on the basis of mapping work, we propose a simple and practical gear reverse design method based on the span length, in particular the precision measurement of dimension over balls, combined with engineering calculation software Mathcad, accurately determine gears modulus, pressure angle, helix angle, profile shift coefficient. It is a practical design method of gear, with simple tools, high measurement precision, simple and convenient.

The method does also apply to involute spline reverse design.

Gear; Measurement; Reverse; Helix angle; Profile shift coefficient

U463

A

1671-7988(2016)11-20-05

曹維（1980-），男，高級工程師，就職于哈爾濱東安汽車發動機制造有限公司技術中心，研究方向：汽車變速器設計。