非線性四階兩點邊值問題的單調迭代方法

趙 聰，崔玉軍

(山東科技大學 數學與系統科學學院， 山東 青島 266590)

?

非線性四階兩點邊值問題的單調迭代方法

趙 聰，崔玉軍

(山東科技大學 數學與系統科學學院， 山東 青島 266590)

本文通過單調迭代方法和上下解方法研究了非線性四階兩點邊值問題

單調迭代方法；上下解方法；極值解

兩端簡單支撐的變形彈性梁的平衡態可用四階兩點常微分邊值問題

來描述，此微分方程邊值問題解的存在性已經被許多作者研究，文獻[1]中證明了f為有界函數的嚴格條件下上述邊值問題解的存在性。文獻[2]中證明了當f滿足某種增長性條件時上述邊值問題解的存在性。其他關于對上述四階邊值問題解的研究還可參閱文獻[3-9]，這些結果大部分通過Leray-Schauder不動點定理以及拓撲度理論獲得。

上下解的方法作為一個重要工具也被應用到四階邊值問題解的研究當中[10-16]。其中文獻[10]中運用上下解方法對上述形式的四階邊值問題進行了研究。文獻[11]中利用最大值原理以及上下解方法繼續對上述問題進行研究，文獻[12]利用同樣的方法求解上述四階邊值問題，并找到非線性四階邊值問題的解與其方程的第一特征值之間的關系。

但以上所有結果的研究過程中均未涉及到線性算子的性質，受到以上文獻的啟發，本文將應用單調迭代法以及上下解方法研究四階兩點邊值問題

(1)

解的存在性，其中f:[0,1]×R→R為連續函數。文章的新穎之處在于，對邊值問題(1)利用線性算子的性質建立一個比較結果，從而研究其極值解的存在性。

1 預備工作

(2)

為了得到本文的主要結果，給出以下相關定義和引理。

引理1[17]上述定義的函數G(t,s)具有以下性質：

1) G(t,s)≥0， ?t,s∈[0,1]。

2) G(t,s)≤G(t,t)且G(t,s)≤G(s,s)，?t,s∈[0,1]。

3) G(t,s)≥G(t,t)G(s,s)， ?t,s∈[0,1]。

4) K(t,s)≥0，?t,s∈[0,1]。

注1 容易驗證齊次四階邊值問題

有唯一解

ψ(t)=aI0(t)+bI1(t)-cJ0(t)-dJ1(t),

其中

容易驗證當a≥0,b≥0,c≤0,d≤0時，ψ(t)非負。

定義1[11]u∈C(4)[0,1]是問題(1)的一個上解是指u滿足

類似地，稱u是問題(1)的一個下解是指上式中的不等號反向。

現在考慮線性問題

(3)

其中M是非負常數，σ∈C[0,1]。

引理2 若M滿足

(4)

那么線性邊值問題(3)有唯一解x，可表示為

(5)

其中ψ(t)由注1.2給出，

(6)

其中Km(t,s)，Q(t,s)，H(t,s)在[0,1]×[0,1]上為連續函數，(6)中右端序列在[0,1]×[0,1]上一致收斂。

證明：容易驗證若x∈C(4)[0,1]為式(3)的解，當且僅當x∈C[0,1]為算子方程

x+Tx=φ

(7)

的解，其中算子T:C[0,1]→C[0,1]為

以及

(8)

下面需證明‖T‖<1。

對x∈C[0,1]，由引理1.1，有

從而

由此可得算子方程(7)的唯一解由

x=(I+T)-1φ=(I-T+T2+…+(-1)mTm+…)φ

給出，將式(8)代入上式得到式(5)。

引理3 假設x∈C(4)[0,1]滿足

其中非負常數M滿足引理1.4中的(4)，

(9)

(10)

其中

那么x(t)≥0，?t∈[0,1]。

證明：令

σ(t)=x(4)(t)+Mx(t)，

a=x(0),b=x(1),c=x″(0),d=x″(1)。

那么σ(t)≥0，a≥0，b≥0，c≤0，d≤0。根據Gm(t,s)的表達式可知，當m為奇數時，Gm(t,s)≤0；當m為偶數時，Gm(t,s)≥0。另外根據引理1.4中的(5)式成立，其中對?t∈[0,1]，ψ(t)≥0以及引理1.1可以得到：

①對于m=3,5,…

②對于m=2,4,…

因此，有

由式(9)～(10)可得x(t)≥0，?t∈[0,1]。證畢。

2 主要結果

定理 令f∈C([0,1]×R,R)，v0,w0分別為式(1)的下解和上解，且在[0,1]上v0(t)≤w0(t)。假設存在M>0使得

f(t,x)-f(t,y)≥-M(x-y)，

(11)

證明 對α∈[v0,w0]，考慮線性問題

(12)

根據引理1.4可推得式(12)在C[0,1]有唯一解

定義算子A:[v0,w0]→C[0,1]如下：

下證:

(i) v0≤Av0，Aw0≤w0；

(ii) A為[vo,wo]上的單調算子。

證(i)：設Av0=v1，其中v1是式(12)的唯一解，且α=v0。設p=v1-v0，則有

由引理1.5可得在[0,1]上p(t)≥0，即v0≤Av0。同理可證Aw0≤w0。

證(ii)：令α1,α2∈[vo,wo]且α1≤α2。假設x1=Aα1，x2=Aα2令p=x2-x1。應用定理1.1的條件2)，有

根據引理1.5上式可推得Aα1≤Aα2，故(ii)得證。

現令

vm=Avm-1，wm=Awm-1， m=1,2,…。

由(i)(ii)可得

v0≤v1≤…≤vm≤…≤wm≤…≤w1≤w0。

(13)

f(t,v0(t))+Mv0(t)≤ f(t,vm(t))+Mvm(t)≤

f(t,wm(t))+Mwm(t)≤

f(t,w0(t))+Mw0(t)， m∈N,t∈[0,1]。

由對應于式(12)的積分方程

可推得v*，w*為邊值問題(1)的解。

下證v*，w*為邊值問題(1)在[vo,wo]上的極值解。

假設x為問題(1)的任一解，即

根據式(11)及引理1.5，應用歸納法易證

vm≤x≤wm， m=1,2,…。

(14)

現令式(14)中的m→∞，那么有v*≤x≤w*，即v*和w*為邊值問題(1)在[vo,wo]上的極值解。

[1]AFTABIZADEH A. Existence and uniqueness theorems for fourth-order boundary value problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1986, 116：415-426.

[2]YANG Y. Fourth-order two-point boundary value problem[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1988, 104：175-180.

[3]ALBERTO C, STEPAN T. Multiplicity of solutions of a two point boundary value problem for a fourth-order equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 219(10)：5261-5267.

[4]CETIN E, AGARWAL R. Existence of solutions for fourth order three-point boundary value problems on a half-line[J/OL]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2015:62 [2016-05-12]. http://ftp.fi.muni.cz/pub/muni.cz/EMIS/journals/EJQTDE/p4169.pdf.

[5]YAO Q. Positive solutions for eigenvalue problems of fourth-order elastic beam equations[J].Applied Mathematical Letters, 2004, 17(2)：237-243.

[6] XIE J, LUO Z. Solutions to a boundary value problem of a fourth-order impulsive differential equation[J/OL]. Boundary Value Problems, 2013:154 [2016-05-12]. http://boundaryvalueproblems.springeropen.com/ articles/10.1186/1687-2770-2013-154.

[7] ZHANG K, XU J, DONG W. Positive solutions for a fourth-order p-Laplacian boundary value problem with impulsive effects[J/OL]. Boundary Value Problems, 2013:120 [2016-05-13]. http://link.springer.com/ article/10.1186%2F1687-2770-2013-120.

[8] SHEN W. Existence of nodal solutions of a nonlinear fourth-order two-point boundary value problem[J/OL]. Boundary Value Problems, 2012:31 [2016-05-20]. http://link.springer.com/article/10.1186%2F1687- 2770 -2012-31.

[9] CUI Y, SUN J. Existence of multiple positive solutions for fourth-order boundary value problems in Banach spaces[J/OL]. Boundary Value Problems, 2012:107[2016-05-09]. http://link.springer.com/article/10.118 6%2F1687-2770-2012-107.

[10] MA R, ZHANG J, FU S. The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1997, 215：415-422.[11]BAIZ.Themethodofloweranduppersolutionsforabendingofanelasticbeamequation[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2000, 248：195-202.

[12]BAIZ,GEW,WANGY.TheMethodofLowerandUpperSolutionsforSomeFourth-OrderEquations[J/OL].JournalofInequalitiesinPureandAppliedMathematics, 2004,5(1):13[2016-05-13].http://www.emis.ams.org/journals/JIPAM/images/124_03_JIPAM/124_03_www.pdf.

[13]LIANH,ZHAOJ,AGARWALR.Upperandlowersolutionmethodfornth-orderBVPsonaninfiniteinterval[J/OL].BoundaryValueProblems, 2014:100[2016-05-17].http://link.springer.com/article/ 10.1186%2F1687-2770-2014-100.

[14]WEIZ,PANGC.Themethodofloweranduppersolutionsforfourthordersingularm-pointboundaryvalueproblems[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2006,322(2):675-692.

[15]MAD,YANGX.Upperandlowersolutionmethodforfourth-orderfour-pointboundaryvalueproblems[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2009, 223(2)：543-551.

[16]WANGF,ZHENGY.Loweranduppersolutionsforadiscretefirst-ordernonlocalproblemsatresonance[J].JournalofNonlinearSciences&ItsApplications, 2015, 8(3)：174-183.

[17]LIY.Positivesolutionsoffourth-orderboundaryvalueproblemswithtwoparameters[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2003, 281(2)：477-484.

(責任編輯：傅 游)

Monotone Iterative Technique for Nonlinear Four-order Two Point Boundary Value Problem

ZHAO Cong, CUI Yujun

(College of Mathematics and System Science，Shandong University of Science and Technology, Qingdao， Shandong 266590，China)

In this paper the existence of solution for fourth-order two point boundary value problem

monotoneiterativetechnique;loweranduppersolutions;extremalsolutions

2016-05-14

國家自然科學基金項目(11371221，11571207)；高等學校博士學科點專碩科研基金項目(20123705110001)

趙 聰(1990—),男,山東濰坊人,碩士研究生,主要從事非線性泛函分析方面的研究. 崔玉軍(1972—),男,山東濰坊人,教授,碩士生導師,主要從事非線性泛函分析方面的研究,本文通信作者. E-mail：sdustcyj@163.com

O175.08

A

1672-3767(2016)06-0108-06

解的存在性，其中f:[0,1]×R→R為連續函數。

wasobtainedbyusingthemonotoneiterativetechniqueandthemethodofLoweranduppersolutions,wheref:[0,1]×R→Riscontinuousfunction.