數學分析中關于極限概念的幾點教學體會*

黃仁帥

（百色學院，廣西百色533000）

數學分析中關于極限概念的幾點教學體會*

黃仁帥

（百色學院，廣西百色533000）

極限理論是數學分析的基礎理論，貫穿數學分析整個學科，在數學分析的理論體系中具有重要地位。在數學分析的教學實踐中發現，由于極限概念本身的抽象性，學生對極限概念難以理解。文章就學生在學習極限概念時感到困惑的原因進行分析，并就教師在教學中如何把握極限概念的教學給予一點建議。

數學分析；極限理論；極限概念

數學分析的真正意義上的創立始于17世紀發展形成的微積分學科，但極限理論作為數學分析的基礎理論卻是到19世紀末才得以完善。極限理論作為數學分析的基礎，貫穿于整個數學分析學科。因此，學好極限概念是學習與掌握數學分析的關鍵。并且，數學分析作為數學專業的一門主干基礎課，對學好其他后續課程意義重大，這進一步地突顯了學好極限概念的重要作用。

極限概念作為學生學習數學分析時要掌握的第一個重要概念，數學分析中的很多重要概念都是通過極限來定義，如導數定義為差商的極限、數項級數定義為部分和數列的極限、定積分定義為黎曼和的極限等。事實上，以上概念定義的敘述都只需在極限定義敘述的基礎上依具體問題稍作修改即可。然而，從數學分析的教學中不難發現，由于極限概念抽象、定義敘述冗長、符號關系復雜，導致學生對極限概念理解模糊，難以掌握。因此，把握好極限概念這一部分的教學對學生學習數學分析具有重大意義，直接關系著學生對數學分析及后續數學相關課程的學習與掌握。文章就學生在學習極限概念時感到困惑的原因進行分析，并就教師在教學中如何把握極限概念的教學給予一點建議。

一、極限概念的精確化歷程

極限概念是數學分析中最重要的概念，且是學生學習數學分析第一個要接觸的較復雜的概念，故而很多學生都覺得極限概念不好理解，難以弄清極限為何如此定義的緣由。因此，還需讓學生對極限的發展歷程有一個清晰的認識。

從極限概念的精確化歷程來看，由樸素極限思想的萌芽至極限概念的精確化共經歷了約兩千多年[1]。據已有文獻，公元前五世紀開始已經產生了一些樸素極限思想，如古希臘雅典時期形而上學學者Zeno的“神行太保Achilles永遠追不上烏龜”悖論和Antiphon為解“化圓為方”問題的窮竭法，中國古代梁國宰相施的“一尺之棰，日取其辦，萬世不竭”與魏晉時期數學家劉徽的“割圓術”等都涉及了極限的思想。

到了17世紀上半葉，隨著自然科學領域的重大突破（行星運動三大定律、自由落體定律、動量定律等），人們迫切需要新的數學工具來解決所面臨的新問題，“微積分”應運而生。然而，雖然微積分的誕生和發展在眾多領域都取得了豐碩的成果，并引發了世界范圍內的一場科學革命，但由于Newton和Leibniz在17世紀下半葉分別建立的微積分缺乏穩固的基礎，引發了數學發展史上的第二次危機。

在微積分創立后的一百多年中，由于基礎的不牢固，人們在分析問題時得到了許多錯誤的結論，這使得數學家們認識到必須為分析建立嚴格的基礎。經過眾多數學家的努力，尤其是法國數學家Cauchy和德國數學家Weierstrass的突出工作，最終消除了第二次數學危機并從根本上解決了第一次數學危機。Cauchy對微積分的基本概念給出了明確的定義，將導數、積分、級數等都看成是某種極限過程，為分析的嚴格化邁出了關鍵的一步。Weierstrass的突出貢獻在于為分析的嚴格化創造了ε-δ語言，使分析從直觀的描述性語言中解放出來，并依此建立了實數理論，使得分析的嚴格化得以最終完成。

二、極限概念的教學

用極限去研究函數是數學分析區別于初等數學的一個顯著標志，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，學習數學分析的學生必須學好極限，教數學分析的教師必須教好極限。

從以往的教學情況來看，對于極限的定義[2]：

大多學生會有以下兩點疑惑：

1.關于正數“ε”。首先，ε具有絕對的任意性，這樣才能使得數列{an}無限的趨近于a。另外，ε又具有相對的固定性，這樣才能估算an與a的接近程度。正是ε的這種兩重性給學生帶來了很大的困惑，導致學生不理解Mε（M為正的常數）、等在本質上是一樣的，也不理解為什么有時候可以將ε限定在一些較小的范圍內

2.關于“?N∈N+”。一方面，正整數N是通過解不等式“|an-a|＜ε”來確定的，即N的值跟ε有關。另一方面，正整數N并不是唯一的，它并不是關于ε的函數。這種跟ε“若即若離”的模糊感，使得許多學生不敢輕易確定正整數N的取值。再者，由于常常將N看成是一個充分大的正整數，故而很多時候在證明的開始就限定了N要大于某些正數，如N≥7或N＞9等，這進一步使得學生對極限概念的邏輯結構的理解混亂不清。

針對上述兩點，要求教師在講授極限概念時必須反復強調以下兩點：

1.關于正數“ε”，必須強調ε在給定之前是任意的，并且應該是較小的一個正數，但在給定之后就是一個常數。ε的絕對任意性是通過無限多個相對固定性來進行刻畫的，是一個運動的無限過程，不能用靜止、不變的觀點來進行分析。

2.關于“?N∈N+”，強調N的是由相對固定的ε代入不等式“|an-a|＜ε”求解得到。接著，由于ε絕對任意性，N的取值又隨ε的變化而變化。但是，由于N的不唯一性，所以不能說N是ε的一個函數，只是說跟ε有關而已。

為加深學生對上述兩點的理解，在教學中除了采用講授、討論、練習相結合的方式外，還可以通過Matlab軟件的畫圖功能對一些數列的極限過程進行動態演示，引起學生的學習興趣。

然后通按回車鍵，可再現數列{an}隨n的變化所生成的點列的圖形，最終得到的圖形如圖1。要想觀察數列{bn}散點圖，只需將程序中的“an=sin（10./n+pi/2）”改寫成“bn=sin（20./ n+pi/2）”，然后重復上述操作即可得圖2。

圖1　數列{an}的圖像

圖2　數列{bn}圖像

可以看到，雖然兩個圖像步調不太一致，但隨著n變得越來越大，兩個數列最后都趨向于1。

通過這樣的方式，不僅讓抽象的極限概念用圖形直觀的表現出來，也利于培養學生的學習興趣和學以致用的意識，使課堂變得更有趣。

三、結束語

極限概念作為數學分析的第一個重要概念，教師必須把握好這一概念的教學。從多個角度入手進行分析講解，將極限概念中各個量的抽象關系理清楚，并給學生以直觀的展示。

[1]馬知恩，王綿森.高等數學疑難問題選講[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]胡良劍，孫曉君.MATLAB數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2006.

The limit theory is the basis of mathematical analysis,which runs through the whole course of mathematics analysis,and plays an important role in the theoretical system of mathematical analysis.In the teaching practice,it is found that students cannot understand the concept of limit because of the abstract nature of the limit concept itself.This paper makes an analysis of the reasons why students feel confused in the concept of learning limit,and gives some advice on how to grasp the concept of limit in teaching.

mathematical analysis;limit theory;limit concept

O171

A

2096-000X（2016）24-0120-02

廣西高校中青年教師基礎能力提升項目（KY2016LX354）；百色學院校級教育教學改革工程項目（2016JG54）

黃仁帥（1987-），男，廣西賀州人，百色學院教師，研究方向：數學與應用數學。