繞一角點的貝齊爾曲面的高斯曲率連續(xù)拼接

孟慶賢, 劉金秋

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

?

繞一角點的貝齊爾曲面的高斯曲率連續(xù)拼接

孟慶賢, 劉金秋

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

在繞一角點矩形域上貝齊爾曲面的光滑拼接中,切平面連續(xù)拼接已經(jīng)實現(xiàn)。由于曲率連續(xù)拼接條件比較復(fù)雜,所以至今沒有被解決,因而尋求一種拼接光滑程度好于切平面連續(xù)拼接而條件弱于曲率拼接的方法是很有意義的。利用切平面連續(xù)拼接的條件和高斯曲率定義,結(jié)合微分幾何知識找到了2張貝齊爾曲面高斯曲率連續(xù)拼接的條件,這需要滿足3個方程組。根據(jù)貝齊爾曲面的高斯曲率拼接的條件,方程組應(yīng)具有相容性。根據(jù)相容性得到了方程組解的存在條件和繞一角點的矩形域上貝齊爾曲面的高斯曲率連續(xù)拼接方法。高斯曲率連續(xù)拼接的光滑程度優(yōu)于切平面連續(xù)拼接,而且該方法容易在實際應(yīng)用中實現(xiàn)。

貝齊爾曲面; 切平面連續(xù); 高斯曲率; 光滑拼接;控制頂點

0 引 言

曲面的光滑拼接是計算機輔助幾何設(shè)計的重要研究內(nèi)容。實際應(yīng)用中物體的表面一般不是一張光滑的解析曲面,而是用多張曲面拼接而成。這樣就產(chǎn)生了如何使得曲面在拼接處美觀光滑的問題。常用的拼接方法有3種,連接、切平面連續(xù)拼接和曲率連續(xù)拼接。貝齊爾曲面的形狀僅靠頂點控制,曲面形狀容易掌握,人們經(jīng)常用貝齊爾曲面來拼接實際曲面。因此繞一角點的矩形域上的貝齊爾曲面的光滑拼接問題是非常值得研究的。對于這個問題,Du等[1]研究了繞一角點的矩形域上的貝齊爾曲面切平面連續(xù)拼接問題。施法中[2]提出了2張矩形域上的貝齊爾曲面曲率連續(xù)拼接的條件,但是由于拼接條件比較復(fù)雜,至今沒有得到解決。對于矩形域上的貝齊爾曲面,沒有拼接光滑程度比切平面連續(xù)更好的繞一角點的連續(xù)拼接方法。于是本文提出了繞一角點的矩形域上的貝齊爾曲面的高斯曲率拼接,此拼接光滑程度好于切平面連續(xù)拼接,但條件弱于曲率拼接。而且解法中待定系數(shù)較多,有利于曲面形狀的調(diào)整。

對于曲面光滑拼接問題,一些作者進行了研究。Zhang等[3]用混合方向?qū)?shù)的方法構(gòu)造了貝齊爾三角曲面的切平面連續(xù)拼接方法。Jones[4]討論了繞一角點的多項式曲面連續(xù)拼接問題。文獻(xiàn)[5-8]研究了三角貝齊爾曲面的光滑拼接問題。Meng[9]討論了繞一角點的多項式曲面的曲率拼接問題。由于多項式曲面的形狀由多項式的系數(shù)確定,幾何特征不像貝齊爾曲面那樣直觀和易于控制。文獻(xiàn)[10]討論了平移曲面,對于平移曲面的連續(xù)拼接也是一個值得研究的課題。文獻(xiàn)[11-12]討論了貝齊爾曲面幾何連續(xù)拼接與曲面構(gòu)成問題。文獻(xiàn)[16]中陸軍討論了帶約束條件的三角曲面片的近似合并問題。

1 2張相鄰的矩形域上貝齊爾曲面高斯曲率連續(xù)拼接的條件

(1)

(2)

(3)

則它們沿邊界高斯曲率連續(xù)。

(4)

其中i=0,1,2,…,n。由式(4)中的3)可得

所以有

化簡可得

(5)

2 繞一角點的矩形域上貝齊爾曲面高斯曲率連續(xù)拼接方法

(6)

通過上述4步,可求出n張貝齊爾曲面上靠近邊界線的2排頂點。而討論過程中沒涉及的頂點可根據(jù)情況任意選擇。這樣可得到繞一角點的n張貝齊爾曲面的所有控制頂點,其中αk,βk,γk在切平面連續(xù)拼接中要用到,ai,(i=1,2,…,6)可任意選擇,可以根據(jù)實際圖形確定。

3 結(jié) 論

本文討論了矩形域上的貝齊爾曲面繞一公共角點高斯曲率光滑拼接的條件。首先,尋求矩形域上2張貝齊爾曲面的高斯曲率光滑拼接的條件;然后,根據(jù)這些條件來推導(dǎo)矩形域上n張貝齊爾曲面繞一公共角點的高斯曲率光滑拼接條件的方法。按此方法進行拼接,其光滑程度好于切平面連續(xù)拼接,而且易于實現(xiàn)。

[1]DUWH,SCHMITTFJM.OntheG1continuityofpiecewiseBéziersurfaces:areviewwithnewresult[J].CAD, 1990,22(9):709-741.

[2]施法中. 計算機輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M]. 北京:高等教育出版社, 2001:195-208.

[3]章仁江,王國瑾. 繞一角點的Bézier三角曲面片C1連續(xù)拼接[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2006,18(3):385-389.

[4]JONE A K. Nonrectangular surface patches with curvature continuity[J]CAD, 1988,20(6):325-335.

[5]鄭建民. 三角域上Bézier曲面的曲率連續(xù)拼接[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1993,27(5):621-633.

[6]陳煉,湯正詮,賈紅麗. 5×5片雙三次Bézier曲面片的一類C2光滑拼接方案[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報, 2007,21(2):1-9.

[7]孟慶賢,劉會立. 繞一角點的Bézier三角曲面片的光滑拼接[J]. 計算機輔助幾何設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2009,21(8):1074-1082.

[8]張同琦. 三角域上鄰接有理Bézier曲面片的G1和G2光滑[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2000,17(1):22-26.

[9]MENG Q X, MENG H H. Curvature connection of surface patches around a common vertex[J]. AMM, 2013,353/354/355/356:3583-3588.

[10]袁媛,劉會立. 三維Minkowski空間中的平移曲面[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015,33(3):396-399.

[11]梅向明,黃敬之. 微分幾何[M]. 北京:高等教育出版社, 2003:56-78.

[12]LESSER D. Triangular subpatches of rectangular Bézier surfaces[J].Computers and Mathematics with Application, 2008,55(1):1706-1719.

[13]劉鼎元. Bézier曲面片光滑拼接的幾何條件[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 1986,9(4):432-442.

[14]葉修梓,梁友棟. Bézier曲面間幾何連續(xù)拼接與拼接曲面構(gòu)造[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 1991,12A(3):316-324.

[15]YE X, LIANG Y, NOWACKI H. Geometric continuity between adjacent Bézier paches and their constructions[J].CAGD, 1996,13(6):521-548.

[16]陸軍,王國瑾. 帶約束的4片相鄰三角Bezier曲面的近似合并[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2009,21(8):1047-1053.

Gaussian curvature connection of Bézier surfaces with a common vertex

MENGQingxian,LIUJinqiu

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

For the connection of Bézier surfaces on the rectangular areas with a common vertex, connection with tangent plane continuity has been realized, but the connection with curvature continuity is still unsolved, therefore, it is important to seek the method of connection which the spliced smoothness is better than that of tangent plane continuity, and the conditions are weaker than those of curvature continuity. Based on the conditions of tangent plane continuity, the definition of Gaussian curvature and geometric knowledge, the conditions of Gaussian curvature connection between two adjacent Bézier surfaces are obtained, and three systems of equations should be satisfied. The equations should have consistence according to the conditions of Gaussian curvature connection. The conditions of existence of solutions and the method of connection of Bézier surfaces around a common vertex with Gaussian curvature continuity are presented. The spliced smoothness is better than that of tangent plane continuity, and this method can be used easily in practical application.

Bézier surface; tangent plane continuity; Gaussian curvature; smooth connection; control point

2016-09-16。

國家自然科學(xué)基金資助項目(11371080)。

孟慶賢(1957-),男,遼寧北票人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2016)04-0430-04

TP391

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.010