考慮裝配誤差的重載面齒輪傳動嚙合性能分析

王延忠, 劉元鵬,吳玉廣，劉 文

(1.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191；2.中國兵器工業新技術推廣研究所，北京 100089)

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考慮裝配誤差的重載面齒輪傳動嚙合性能分析

王延忠1, 劉元鵬1,吳玉廣2，劉 文1

(1.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191；2.中國兵器工業新技術推廣研究所，北京 100089)

針對實際應用中的重載面齒輪傳動接觸軌跡分析較為復雜，不僅包括初始裝配誤差，還有重載作用下支承系統的變形等，引入載荷當量安裝調整值概念，利用解析法和有限元方法分別將重載作用下支承軸、軸承和箱體的變形轉化為初始裝配誤差，通過推導考慮裝配誤差的面齒輪傳動接觸軌跡的方程組進行計算，并將其進行可視化處理，得到了面齒輪傳動接觸軌跡隨著不同載荷變化的移動規律，為面齒輪傳動接觸軌跡的精確可控及預測提供了參考依據。

裝配誤差；載荷當量安裝調整值；解析法；有限元方法；接觸軌跡

面齒輪傳動作為一種新型的動力傳動，與傳統的螺旋錐齒輪傳動相比，具有承載能力高、體積小、質量輕、噪聲低和傳動平穩等優點，在航空、TK傳動等領域有著越來越廣泛的應用[1]。在面齒輪傳動過程中，在小齒輪與面齒輪相互嚙合的輪齒表面留下一系列瞬時接觸點，同一齒面上的各個瞬時接觸點的集合構成了齒面接觸跡。接觸跡的位置、形狀和大小是影響面齒輪傳動副承載能力、振動噪聲和工作壽命等傳動性能的關鍵因素，同時也是反映面齒輪制造和安裝精度的重要指標[2]。對于重載工況下的面齒輪傳動，由于載荷較大，小齒輪與面齒輪的支承系統會發生相對較大的形變，使得傳統的理論接觸區的計算結果與實際情況相差很大。

國外學者Krenzer在M.L.Baxte[3]、Litvin等研究的基礎上，通過改進剛性齒面接觸的假設，提出了在輕載作用下的齒面承載接觸分析(Loaded Tooth Contact Analysis，LTCA)[4]。在國內，重慶大學的鄭昌啟教授等[5]提出了弧齒錐齒輪的接觸應力分析法；中南大學的曾韜教授[6]分析了螺旋錐齒輪多種不良形式的接觸區并給出修正方法；西北工業大學的方宗德教授[7]主要對齒輪的加載接觸分析進行了研究，并得出了一些有指導意義的結論；中南大學的唐進元教授等[8]綜合考慮齒輪的制造誤差及裝配誤差等因素，提出了一種考慮誤差的E-TCA分析方法，使得齒面接觸區域的理論分析更加貼近實際情況。上述學術成果都為本文提供了理論基礎。

1 含裝配誤差的無載面齒輪傳動接觸軌跡的理論計算

面齒輪傳動過程中的裝配誤差主要分為3種：1)軸交角誤差，即兩齒輪軸線之間的夾角誤差Δγ；2)軸交錯誤差，即兩齒輪軸線交錯而不相交，之間的最小距離Δe；3)軸向偏移誤差，即面齒輪沿本身軸線方向位移Δz。

本文以正交面齒輪為例進行分析。在已知小齒輪和面齒輪齒面(∑P和∑F)分別在固聯在兩齒輪上的坐標系(SP和SF)中的方程的前提下，根據如圖1所示的含裝配誤差的面齒輪與無裝配誤差面齒輪坐標系之間的轉換關系，即可求出含裝配誤差的面齒輪傳動接觸軌跡的方程。

對于共同的固定不變的坐標系SP0來說，兩齒面在接觸點處具有相同的位置向量和法向量，即：

(1)

圖1 正交面齒輪中裝配誤差的描述

根據式1以及坐標系之間的轉換關系，最終可求出含裝配誤差的面齒輪傳動接觸軌跡的方程：

(2)

(3)

2 重載面齒輪傳動接觸軌跡的計算

在重載面齒輪傳動中，影響齒面接觸軌跡的因素不僅有初始裝配誤差，還包括重載作用下面齒輪支承系統和輪齒自身的變形。其中，輪齒的彈性變形和彎曲變形對齒輪嚙合位置影響很小，因此輪齒嚙合接觸軌跡的變化可以看成是由初始裝配誤差和支承系統的變形引起的。支承系統的變形又包括支承軸、軸承的變形和箱體的變形。為了能夠計算出變形對嚙合接觸軌跡的影響，引入載荷當量安裝調整值概念，將2種變形分別通過解析法和有限元法等效到初始裝配誤差上，得到載荷作用下面齒輪傳動接觸軌跡的變化趨勢。

2.1 支承軸、軸承變形的當量化

建立面齒輪傳動支承系統的彈性變形坐標系(見圖2)，其中，坐標系Osliljlkl和 Osrirjrkr分別在小齒輪和面齒輪的軸線上，kl軸和kr軸分別沿著小齒輪和面齒輪的軸線方向，il軸和ir軸分別從各自坐標系的原點指向嚙合點M(x,y,z)。

圖2 面齒輪傳動系統彈性變形坐標系

設小齒輪支承軸的扭轉變形為Δφf，彎曲變形為fxf、fyf，軸向變形為fzf，支承軸承的變形分別為δxf、δyf和δzf；面齒輪的支承軸的扭轉變形為Δφq，彎曲變形為fxq、fyq，軸向變形為fzq，支承軸承的變形分別為δxq、δyq和δzq。若將面齒輪副的支承軸、軸承在載荷作用下的變形所引起的誤差等效到軸交錯誤差Δe和軸交角誤差Δγ上，則有：

Δe1=

(RGΔφq+fxq+δxq)cosε+(fyq+δyq)sinε+

(fyf+δyf)sinη+(RPΔφf+fxf+δxf)cosη

(4)

Δγ1=

(5)

式中，RP和RG分別為小齒輪和面齒輪在嚙合點M的半徑；η和ε分別為小齒輪和面齒輪在嚙合點M的偏置角。

載荷作用下小齒輪和面齒輪支承軸的變形可以通過材料力學的相關理論計算得出。而軸承的變形可以根據文獻[9]計算得出。將支承軸和軸承的變形帶入式4和式5，即可計算出載荷作用下支承軸和軸承變形的當量裝配誤差。

2.2 箱體變形的當量化

從社會的角度看，書法休閑活動有雅玩怡情功能，促進和諧穩定的功能。社會分工細化，日趨緊張忙碌，人們的休閑意愿日益強烈，通過書法作為休閑活動的載體，在書法活動中書寫自我，雅玩怡情，在書法活動中結識新朋友，使在緊張的工作中產生的一部分不良情緒通過一種書法休閑活動得到很好釋放，去除疲勞，并以更飽滿的精神投入到工作學習中去。從整個社會的角度講，書法休閑活動有利于促進社會的和諧穩定。

面齒輪箱體在傳遞扭矩過程中軸承孔會發生變形，進而產生軸線方向的誤差，這種誤差會對面齒輪副的嚙合產生影響。

圖3 面齒輪箱體結構示意圖

若將箱體的變形等效為裝配誤差，設小齒輪和面齒輪支承軸長度分別為LP和LF，箱體變形前后的小齒輪軸線在XY平面和XZ平面的夾角分別為αP1和αP2，面齒輪軸線在XY平面和YZ平面的夾角分別為αF1和αF2，則有：

Δe2=αP2LP+αF2LF

(6)

Δγ2=αP1+αF1

(7)

載荷作用下面齒輪箱體的變形可以通過有限元方法計算得出，將得出的變形量帶入到式6和式7中，即可計算出載荷作用下箱體變形的當量裝配誤差。

2.3 載荷作用下接觸跡的計算

在重載面齒輪傳動中，包含初始的裝配誤差(Δe0,Δz0,Δγ0)、支承軸和軸承變形的當量裝配誤差(Δe1,Δγ1)以及箱體變形的當量安裝誤差(Δe2,Δγ2)，則重載面齒輪傳動的無載當量裝配誤差為：

(8)

將式8帶入式2中，求解方程組，即可計算出重載面齒輪的接觸跡。

3 實例分析

建立面齒輪接觸跡計算分析數學模型，參數見表1。

表1 面齒輪傳動系統參數

3.1 軸和軸承變形當量安裝誤差的計算

根據已建立的數學分析模型，通過2.1小節給出的方法，可計算出給定載荷作用下軸和軸承變形的當量裝配誤差Δe1和Δγ1。

3.2 箱體變形當量安裝誤差的計算

建立面齒輪傳動參數對應箱體的模型，并導入ABAQUS中，給定載荷和約束及邊界條件，計算出箱體的變形。載荷為1 000 N·m時箱體的變形如圖4所示。將箱體節點進行編號(見圖5)，并提取出變形后軸承座外端面各節點的坐標(見圖6)，根據2.2小節給出的方法，可計算出箱體變形的當量裝配誤差Δe2和Δγ2。

圖4 面齒輪箱體的變形云圖

圖5 箱體節點編號

圖6 提取變形后節點坐標

3.3 不同載荷作用下的接觸跡

設初始裝配誤差Δe0、Δz0、Δγ0均為0，則面齒輪傳動接觸跡的變化完全是由支承系統的彈性變形引起的，即Δe=Δe1+Δe2，Δγ=Δγ1+Δγ2，則可得到根據給定參數所建立的面齒輪分析模型在不同載荷作用下的當量裝配誤差(見表2)。

表2 不同載荷作用下的當量裝配誤差

圖7 不同載荷作用下的接觸跡

面齒輪上接觸跡的可視化如圖7所示，齒寬方向上接觸跡位置的平均值與載荷的關系如圖8所示。由圖7、圖8可知，重載面齒輪傳動接觸跡隨著載荷的增大具有向著外徑方向移動的趨勢，并且移動幅度越來越大。面齒輪的齒厚沿著外徑方向逐漸減小，這就使得面齒輪的承載能力受到影響，可通過面齒輪齒面修型等方法解決這一問題，使接觸跡接近理論位置。

圖8 接觸跡位置隨載荷變化曲線

4 結語

1) 本文通過解析法將重載面齒輪副支承軸和軸承的變形當量化，將幾何分析與力學分析有機地結合在一起進行面齒輪加載接觸分析，等效到裝配誤差上進行接觸跡的計算。

2)利用有限元分析計算出載荷作用下箱體的變形，并將其當量為裝配誤差進行接觸跡的計算。

3)計算得到不同載荷對重載面齒輪接觸軌跡的影響機理和變化趨勢，使理論分析結果更加接近實際情況，為重載面齒輪傳動裝調技術提供了理論依據。

[1] 戈紅霞,呂慶軍,張志凱.關于面齒輪接觸和彎曲應力有限元計算方法的研究[J]. 新技術新工藝,2014(1):43-47.

[2] 吳燦輝,王延忠.產品幾何技術規范(GPS)在面齒輪齒面檢測中的應用[J].新技術新工藝,2012(7):91-93.

[3] Baxter M L. Basic geometry and tooth contact of hypoid gears [J]. Industrial Mathematik，1961(11) : 19-28.

[4] Krezer T J. Tooth contact analysis of spiral bevel and hypoid gears under load[R]. New York: Gleason Works Publication, 1981.

[5] 黃昌華,鄭昌啟,呂傳貴.螺旋錐齒輪加載接觸分析計算原理[J].機械工程學報，1993, 29(4):50-54.

[6] 曾韜.螺旋錐齒輪設計與加工[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,1989.

[7] 方宗德.修形斜齒輪的承載接觸分析[J].航空動力學報,1997,1(3) :251-254.

[8] 唐進元,盧延峰,周超.有誤差的螺旋錐齒輪傳動接觸分析[J].機械工程學報,2008, 44(7) :16-23.

[9] 鄧四二,賈群義.滾動軸承設計原理[M].北京：中國標準出版社，2008.

責任編輯 馬彤

Meshing Performance Analysis of Face Gear Drive under Heavy Load with Assembly Error

WANG Yanzhong1, LIU Yuanpeng1, WU Yuguang2, LIU Wen1

(1.School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100191, China; 2.Advanced Technology Generalization Institute of CNGC, Beijing 100089, China)

Analysis of contact path in face gear drive under heavy load is complicated in practical application including key factors such as initial assembly error and deformation of the support system. Deformation of support axis and bearings, and deformation of gearbox are transformed into the initial assembly error by introducing the concept of load equivalent assembly adjustment value. Use the analytical method and finite element method respectively. Finally, there comes out several of contact path in face gear drive under the different load by calculating the equation set on contact path with assembly error of face gear transmission, and provide reference frame for controlling contact path accurately.

assembly error，load equivalent assembly adjustment value，analytical method，finite element method，contact path

TH 132.2

A

王延忠 (1963-),男，教授，博士生導師，主要從事先進精密傳動加工技術、空間嚙合曲面加工理論及應用技術等方面的研究。

2016-04-06