近幾年全國(guó)卷解析幾何考查分析及復(fù)習(xí)策略

黃耿躍

筆者于2015年參加福建省教育廳組織的“省名師送培下鄉(xiāng)”活動(dòng)，并開(kāi)設(shè)了題為《構(gòu)建解析幾何板塊的教學(xué)新常態(tài)》的專(zhuān)題講座，旨在介紹筆者對(duì)2016年高考解析幾何考查趨勢(shì)的理解.眼下，2016年的高考已落下帷幕，回過(guò)頭反思筆者之前的研究，發(fā)現(xiàn)有些觀點(diǎn)與全國(guó)卷的命題特點(diǎn)挺吻合，故特將講稿重新整理成文，供同行參考.

1試題的考查方式與特點(diǎn)分析

1.1以雙曲線為背景曲線，考查解析幾何的基本概念

由于《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)雙曲線的教學(xué)要求降低，《全國(guó)考試說(shuō)明》對(duì)雙曲線的要求也只是了解，所以雙曲線在高考中，基本不在解答題出現(xiàn)，但又不能忽視對(duì)雙曲線的考查，這使得雙曲線為背景的試題在選擇或填空出現(xiàn)的頻率較高.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，近5年的全國(guó)卷（除2011年文科外），小題均出現(xiàn)對(duì)雙曲線知識(shí)的考查，主要涉及雙曲線的定義、離心率、漸近線、實(shí)軸等概念.

評(píng)注上述試題主要考查雙曲線的實(shí)軸、離心率、漸近線等基本概念和知識(shí)，充分體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)雙曲線的教學(xué)要求，同時(shí)較好地考查了考生對(duì)解析幾何基本知識(shí)和概念的應(yīng)用，考查了考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

1.2以三角形面積為問(wèn)題載體，考查解析幾何的基本思想

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.如求三角形的面積時(shí)，一是，利用兩點(diǎn)間的距離公式或弦長(zhǎng)公式，求三角形的底，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求三角形的高，最后代入三角形的面積公式計(jì)算；二是，設(shè)三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)及直線方程，把直線方程代入曲線方程后，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，借助韋達(dá)定理，把三角形面積轉(zhuǎn)化成三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)后，再進(jìn)行求解運(yùn)算.兩種方法都是解析幾何中的通性通法，都體現(xiàn)解析幾何這門(mén)學(xué)科的本質(zhì).所以，在全國(guó)卷的高考中以三角形面積為問(wèn)題載體，考查運(yùn)算求解能力，經(jīng)常受到命題者的青睞。

評(píng)注上述試題提供的已知條件或求解的問(wèn)題均與面積有關(guān)，體現(xiàn)解析幾何對(duì)這一基本問(wèn)題的重點(diǎn)考查。

1.3以直線與圓為背景，關(guān)注文理差異，考查綜合應(yīng)用能力

直線與圓是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形，是進(jìn)一步研究圓錐曲線的基礎(chǔ)，由于它的基礎(chǔ)性與工具性，使其很容易與其它知識(shí)（如向量、圓錐曲線、函數(shù)、不等式等）進(jìn)行交匯，命制考查學(xué)生綜合能力的試題；又因?yàn)樵诮鉀Q直線與圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，所用到的思想方法是相似的，所以，命題者為了達(dá)到解析幾何試題的考查目標(biāo)，又想控制合理的運(yùn)算量，經(jīng)常選擇以“直線與圓的位置關(guān)系”作為問(wèn)題背景。

評(píng)注上述試題的已知條件都與圓有關(guān)，涉及的問(wèn)題主要有：求圓的方程、求圓心軌跡方程、求參數(shù)值、求直線斜率取值范圍、求弦長(zhǎng)、求距離的比值等都是解析幾何當(dāng)中很常見(jiàn)、很平凡的問(wèn)題，但都蘊(yùn)含深刻的數(shù)學(xué)思想，對(duì)考生的綜合能力要求比較高.

2解析幾何復(fù)習(xí)建議

2.1關(guān)注解析幾何思想與坐標(biāo)法的教學(xué)

國(guó)家教育部考試中心對(duì)每年試題的評(píng)價(jià)是：“試題圍繞著解析幾何的思想方法展開(kāi)，突出數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，側(cè)重對(duì)思想方法的理解和應(yīng)用，同時(shí)還強(qiáng)調(diào)良好的運(yùn)算求解能力，全面體現(xiàn)了解析幾何的考查目標(biāo)”.盡管解析幾何題年年都在變化，但圍繞解析幾何的思想方法命制試題的思想是不變的，這一特點(diǎn)從每年的解析幾何題都不給圖形和坐標(biāo)系就可感受到.在求解時(shí)要求考生首先自己畫(huà)出圖形與坐標(biāo)系，這是考查運(yùn)用解析幾何思想方法研究問(wèn)題的第一步，即幾何問(wèn)題代數(shù)化.所以，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)把重點(diǎn)放在對(duì)解析幾何思想和坐標(biāo)法認(rèn)識(shí)的不斷深化與認(rèn)識(shí)上，若一味地去教題型，教套路，便與解析幾何“坐標(biāo)法”的本質(zhì)及考試目標(biāo)相背離。

2.2強(qiáng)化運(yùn)算能力，關(guān)注運(yùn)算技巧

解析幾何的本質(zhì)是在采用坐標(biāo)法的同時(shí)，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象，所以計(jì)算量大自然成了圓錐曲線問(wèn)題的一大特點(diǎn).教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題后，常常需要進(jìn)行一定量的計(jì)算，這些都是需要學(xué)生腳踏實(shí)地、親身經(jīng)歷體驗(yàn)地去完成，切忌只分析思路，而不動(dòng)筆計(jì)算，以防出現(xiàn)解析幾何試題“一想就會(huì)，一算就錯(cuò)”的現(xiàn)象.當(dāng)然，這種強(qiáng)化學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算，不是意味著教師可以削弱運(yùn)算方面的教學(xué)，反而對(duì)教師提出了更高層次的要求，即要善于引導(dǎo)學(xué)生理解解析幾何的運(yùn)算，理解解析幾何運(yùn)算技巧所在.如在使用弦長(zhǎng)公式時(shí)，對(duì)直線的方程采用不同的設(shè)法，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)公式也會(huì)不同，且不同的公式對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性是有很大的影響的。

評(píng)注四邊形MPNQ的面積等于它的兩條對(duì)角線的乘積的一半，此時(shí)就得分別求出弦MN，PQ的長(zhǎng)度，那么，弦長(zhǎng)公式的選擇對(duì)運(yùn)算過(guò)程中運(yùn)算量的大小就有很大的影響.當(dāng)然，弦長(zhǎng)公式的選擇與直線方程的設(shè)法是有關(guān)系的。