淺談對數(shù)學習困因及教學建議

王歷權　黨忠良

1.現(xiàn)象

對數(shù)及對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學中的重要知識，也是學生學習障礙很大的一塊內(nèi)容，本部分要求學生能理解對數(shù)的概念，并能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關系，要掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化和對數(shù)的運算性質(zhì)，并能理解推導這些法則的依據(jù)和過程，要能較熟練地運用對數(shù)運算性質(zhì)解決實踐問題，加強數(shù)學應用意識的訓練，提高解決應用問題的能力，

然而實際教學發(fā)現(xiàn)，學生掌握對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的情況并不理想，一種常見現(xiàn)象是下面這些類型的題目不斷訓練、評講、糾錯、再練習，學生還是會出錯甚至無法下手，個中原因值得深思，

首先，學生沒有真正理解對數(shù)運算的含義，全新的對數(shù)運算符號log是學生理解對數(shù)的一大障礙，教學中甚至發(fā)現(xiàn)一段時間后還有學生認為log。x中符號log。與x是相乘的關系，數(shù)學的符號語言是對數(shù)學對象、數(shù)學運算、數(shù)學關系和推理過程等作出表述的一種語言，是數(shù)學思維的外顯形式，體現(xiàn)了數(shù)學思維的特征，同時也簡化了數(shù)學思維過程，對數(shù)運算符號精練準確地表達了對數(shù)運算的兩大要素，高度濃縮的對數(shù)運算符號是學生學習數(shù)學的第一個攔路虎。

其次，對數(shù)運算法則容易混淆，學生未理解運算法則本質(zhì)而死記公式，導致出錯率高居不下，以下是常見的錯誤：

最后，灌輸式教學剝奪了學生自主學習的權利，學生被動接受，沒有在發(fā)現(xiàn)探索的過程中理解對數(shù)及對數(shù)運算，《普通高中數(shù)學新課程標準（實驗2011）》（以下簡稱《課標》）要求理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用，通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，知道指數(shù)函數(shù)y=a^x與對數(shù)函數(shù)y=logx互為反函數(shù)（a>0，a≠1）。

既如此，對數(shù)概念的教學應放在數(shù)學課堂的重要位置，教學中要創(chuàng)設問題情境，突出概念構建，讓學生置身于發(fā)現(xiàn)對數(shù)概念的的過程中，以促進真正理解對數(shù)的概念和本質(zhì)。

3教學建議

除針對易錯問題辨誤教學、特別強調(diào)真數(shù)必正、充分理解對數(shù)運算符號等方面狠下功夫外，筆者建議教學中還應從以下方面入手提升教學效率。

3.1對數(shù)發(fā)展史激發(fā)學習興趣

16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J，Napier，1550-1617）正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，天文學界更是以近乎狂喜的心情迎接這一發(fā)明，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立稱為17世紀數(shù)學的三大成就，

數(shù)學科學具有悠久歷史，新課標要求在各個部分滲透數(shù)學史教學，以促使學生了解數(shù)學的本質(zhì)和發(fā)展脈絡，加深對數(shù)學概念、方法和思想的理解和認識，促使學生養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和激發(fā)學習數(shù)學的興趣和激情，

數(shù)學的三種形態(tài)密不可分，其中數(shù)歷史形態(tài)的數(shù)學與教育形態(tài)的數(shù)學關系最為緊密，對中小學數(shù)學教師來講，基于HPM（數(shù)學史與數(shù)學教育整合）的數(shù)學教育取向的數(shù)學史更具有實踐性，一般來講，數(shù)學史融入數(shù)學教學有顯性的和隱性的兩種基本形式，顯性多指借用數(shù)學史料提高課堂趣味性，激發(fā)學生學習的激情；隱性融入是指根據(jù)歷史對數(shù)學內(nèi)容進行加工、裁剪、組織，用于學生學習或探究，

對數(shù)部分教學中，可以介紹適當對數(shù)發(fā)展歷史或選擇合適課題供學生探究，借助歷史問題讓學生充分領略和感受對數(shù)對簡化運算的極大意義，同時通過了解前人為數(shù)學的發(fā)展所付出的心血，激勵學生刻苦鉆研，勇攀高峰。

3.2指數(shù)是對數(shù)的認知起點

歷史上，對數(shù)的出現(xiàn)早于指數(shù)，但是學生學習對數(shù)需要以指數(shù)及指數(shù)運算作為認知的起點，教材中對數(shù)的概念是這樣描述的：

如果a^b=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底，數(shù)N的對數(shù)，記作6=log。N

因此指對互化是促進學生理解對數(shù)的唯一有效途徑，教學中應根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式之間的關系，引導學生通過指數(shù)冪的運算性質(zhì)推導得出對數(shù)的運算性質(zhì)，以加深對公式的理解和記憶，再利用指數(shù)式與對數(shù)式的關系完成證明，教學中教師應給足時間學生思考，以問題引導教學是學生真理解對數(shù)運算法則的保證，以下是某青年教師的教學片斷，值得學習。

師：說的很好，以上三個等式即為要跟大家介紹的對數(shù)運算法則，

課堂實踐表明，在預設的情景下學生完全可以從已有知識結構出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自主發(fā)現(xiàn)與構建，教師的任務則是提供教學素材、組織教學內(nèi)容，我們要始終堅持這樣一個觀點：以尊重的態(tài)度，欣賞的眼光，學生是一定能在課堂上綻放出精彩的，

3.3螺旋上升，學以致用是關鍵

筆者在2015級高三下學期的一次模擬試題中選用了題目2，發(fā)現(xiàn)正確率很低，這表明在海量對數(shù)計算訓練下，高三學生亦不能牢固掌握對數(shù)相應地運算公式，值得反思，教學中，不少老師給學生總結出兩條有關對數(shù)問題的處理策略“一是底數(shù)不統(tǒng)一時先統(tǒng)一底數(shù)，二是對數(shù)求值時盡量將所有真數(shù)分解為質(zhì)數(shù)”，不可謂不精練，也不可謂不適用，但大量學生依舊無奈，見對數(shù)問題就心虛。

筆者認為可以從以下兩個方面入手，幫助學生擺脫困境。

首先，對數(shù)學習要循序漸進，螺旋上升，眾所周知，初中介紹二次函數(shù)初步，學生進入高中后再深入學習二次函數(shù)相應的知識就容易多了，甚至很輕松，由此筆者認為對數(shù)教學內(nèi)容的安排應在初高中通盤考慮，甚至可以在初中介紹整數(shù)冪的指數(shù)運算后增加相應的章節(jié)介紹對數(shù)的概念和運算法則初步，以確保學生消化吸收并理解對數(shù)的含義和本質(zhì)，進入高中，將指數(shù)冪的運算由整數(shù)推廣到實數(shù)后，再系統(tǒng)學習對數(shù)、對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)。

另外，現(xiàn)行《課標》中，函數(shù)概念與基本初等函數(shù)部分總共安排約32課時，這其中包含了函數(shù)概念與性質(zhì)、指數(shù)及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及應用等部分，一線教師都深知這是肯定不夠的，要想讓學生深刻理解對數(shù)概念和運算法則，需要較長時間才能辦到，因此，適當拉長學習時間跨度是肯定有助于學生理解和掌握對數(shù)的。

其次，對數(shù)學習（包括其它任何知識）要學以致用，《課標》指出，數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具，數(shù)學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經(jīng)濟科學、社會科學、人文科學的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用，

然而不幸的是，在高考指揮棒的影響下，大部分數(shù)學知識的應用被弱化甚至被無情地拋棄，導致學生認為學習數(shù)學的目的就是為了考試，對數(shù)是實用性很強的數(shù)學知識，來源于對現(xiàn)實世界的探索，也廣泛應用于天文、考古等，對數(shù)教學中，教師應重視對數(shù)學知識的應用，利用碳14測定年代、鈾核裂變等問題引出對數(shù)概念，選用學生喜聞樂見的興趣材料，使學生在學習過程中感受到數(shù)學就在我們的周圍，讓學生在運用知識解決問題的過程中靜心思考，促進理解。