基于路徑線法的泡沫材料沖擊特性探討

魏 恒,張建軍,李宏偉,王志華,趙隆茂

(1.太原理工大學 應用力學與生物醫學工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限責任公司,太原 030027;3.材料強度與結構沖擊山西省重點實驗室,太原 030024)

?

基于路徑線法的泡沫材料沖擊特性探討

魏 恒1,張建軍1,李宏偉2,王志華3,趙隆茂3

(1.太原理工大學 應用力學與生物醫學工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限責任公司,太原 030027;3.材料強度與結構沖擊山西省重點實驗室,太原 030024)

將泡沫材料動態特性的數值模擬結合路徑線法驗證結果,對實驗過程中量計線的區域布置、量計線間距大小，以及有效分區等方面進行研究。結果表明,當計量線區域設計為距離撞擊端30 mm,且較小的計量線間距(2 mm)及較多的有效分區(7個)，可以提高路徑線法實驗的精度;用該方法獲得泡沫材料不同于其準靜態條件下的高應變率動態響應曲線,證明泡沫材料是一種應變率敏感的材料。該研究結論對采用路徑線法研究泡沫材料的動態響應具有重要的指導意義。

拉格朗日分析;波傳播;路徑線法;泡沫材料;數值模擬

在研究材料的動態特性時,一般會遇到“狗咬尾巴”的問題,即慣性效應(應力波效應)和應變率效應的耦合問題[1]。傳統的分離式霍普金森壓桿技術(split Hopkinson pressure bar,SHPB)是對慣性效應和應變率效應解耦的經典辦法,但是在研究泡沫材料的動態特性時,由于泡沫材料在高速沖擊下變形的局部化特征,SHPB的均勻性假設得不到滿足,從而不能消除試件的慣性效應,因此,SHPB實驗無法得出泡沫材料是應變率相關還是應變率無關。另外一種解耦的方法是波傳播法[2],波傳播法是通過試件中波的信息來反演材料的動態本構,其結果是基于材料點從而消除了慣性效應的影響。Lagrange(拉格朗日)分析方法的基本思想是基于波傳播法的理論,事先不對材料進行任何的本構假定,只需通過測量材料動態響應時不同位置處的相關變量(應變或速度等),由動量守恒方程和質量守恒方程來反演材料的動態本構關系。

在20世紀70年代初,FOWLES[3]提出了Lagrange法的一系列理論,認為波在材料中傳播時,每個力學量(速度、應力、應變等)一般情況下都是以不同速度傳播,FOWLES將其定義為相速度,并通過相速度揭示了率相關波傳播的內稟特性。隨后,GRADY[4]在FOWLES工作的基礎上,對相速度法進行了改進,提出了路徑線法。之后近40年的時間里,Lagrange法取得了很多成果,如:SEAMAN[5]提出了曲面擬合法,對物理流場分片曲面擬合,得到力學量流場的解析形式。GUPTA[6]提出了自洽檢驗法,通過求得的應力場反推速度場,若推得的速度場和原速度場吻合,則證明結果正確。FOREST[7]提出了沖量時間積分函數法,通過預定義一個沖量時間積分函數,應力、質點速度等變量及守恒方程可以從預定義函數的偏導數關系中導出。國內唐志平等[8]討論了曲面擬合在拉格朗日反分析方法中誤差的產生和發展。陳葉青等[9]對拉格朗日分析方法當前的研究進展進行了簡要的分析總結,并揭示了在應用中應注意的幾個問題,即實驗數據的可靠性、波形特征相似性和波形完整性。

WANG et al[10-11]提出多種路徑線方法,在已知速度場的情況下,有“1s，v+nv”和“nv+T0”兩種,即已知一個應力-質點速度的邊界(1s，v)條件或者零初始(T0)條件,利用路徑線法對泡沫材料的動態特性進行了實驗研究,得到了泡沫材料的動態響應,分析結果表明研究泡沫材料的沖擊特性時需要考慮其應變率效應。本文基于路徑線法,即在拉格朗日坐標下,得到不同位置處的速度-時程曲線,構筑成一個速度場,通過路徑線法將速度場中的各點聯系起來,進而來分析材料的動態特性,研究旨在通過對比泡沫材料動態特性的數值模擬和路徑線法的結果來討論該實驗過程中需要注意的問題,如:如何布置量計線區域,確定量計線間距以及有效地分區等,從而能準確獲得泡沫材料的動態本構關系。

1 問題分析

Lagrange法主要利用一維平面應力波的2個守恒方程。

質量守恒方程:

(1)

動量守恒方程:

(2)

式中：ε,v,σ分別為應變、質點速度和應力;X和t是拉格朗日坐標和時間。質量守恒方程揭示了應變和質點速度之間的關系,動量守恒方程反映了質點速度與應力的關系。聯立2式,理論上我們可以得到動態的應力應變關系。本文將利用“nv+T0”的方法,即已知n個不同拉格朗日位置點的速度時程曲線和零初始條件進行分析。路徑線法就是對量計線以一定規則進行分區,在每個區域中,對每條速度曲線分等節點數。再將這些點用光滑的路徑線連接起來,使整個流場的信息聯系起來,如圖1所示。

根據全微分有,

(3)

式中：下標p為沿路徑線(path-line)微分；下標X和t是指在拉格朗日坐標和時間下求微分。方程(3)對t建立差分格式:

(4)

式中：i表示拉格朗日坐標X;j表示時間t。式(4)將應力對時間的偏導數建立成差分格式,即可以通過上一條路徑線上的應力來求解下一條路徑線上的應力。第1條路徑線描述的是初始條件,可知其上應力為0,且應力對X的全導數也為0。因此,第2條路徑線上的應力可以由公式(4)求得。當求第3條路徑線上的應力時,可以對第2條路徑線上應力進行多項式插值擬合,并求得應力對X的全導數。這樣,第3條路徑線上的應力也可以得到。余下路徑線上的應力可以依此類推,即可得到全部拉格朗日點的應力信息。

圖1 路徑線法示意圖Fig.1 Schematics of path-line method

應注意到,兩條路徑線間的時間步長Δt越小,截斷誤差雖然會越小,但同時每步計算還會引入舍取誤差。由于兩種誤差的逐層積累和傳播,當Δt越小,計算次數越多,積累誤差會越大,到某一時刻真解會被“淹沒”,所以Δt的選擇需要考慮差分格式的穩定性。趙隆茂[12]對顯示格式的穩定性進行了詳細地分析,給出了固體單元臨界時間步長的計算公式,公式如下。

(5)

(6)

式中：Q為Q1和Q2的函數;Q1和Q2分別為二次和線性粘性系數;Le為單元特征長度;C為材料的絕熱波速;εkk(k=1,2,3)為3個不同方向上的線應變分量。本研究的時間步長在上式時間步長范圍內以保證差分格式的穩定性,控制累積誤差的發展。

根據FOWLES引入的相速度的概念,可從泡沫材料的速度場看出,泡沫材料中質點的速度相速度從彈性段到塑性坍塌平臺段的變化范圍比較大。因此,在對速度場進行分區分析時,不能簡單地對速度場中的特征拐點處進行分區,即不能簡單地分為彈性段和塑性坍塌平臺段兩個區域,還須將塑性坍塌段進行多個分區以保證整個區域差分格式的穩定性,以縮小區域減小誤差。

根據唐志平等[13]對等時距構筑路徑線進行的相關理論分析,在開始階段,量計線距離越近,截斷誤差占主導,計算精度越高;但隨著時間的增加,累積誤差發展的速度會加快,累積誤差成為主導,計算精度反而會降低;即量計線距離并不是越近,計算精度就越高。雖然本文并不是等時距來構筑路徑線,但仍須考慮量計線的間距帶來的影響。

應變同樣可以用上述方法得到,其差分式為:

(7)

這樣,在已知質點速度場的條件下,就可以通過式(4)和式(7)以及零初始條件來求出試件中的應力場和應變場。

2 數值模擬及結果分析

2.1 有限元模型

為驗證路徑線法在實驗研究中的可行性,并盡可能減小誤差。本文通過Ls-dyna有限元分析軟件來模擬泡沫材料的直接撞擊實驗,剛性板尺寸為60 mm×80 mm×10 mm,泡沫材料尺寸為Φ37 mm×200 mm,剛性板固定約束,以下泡沫材料給定80 m/s的初始撞擊速度,模型如圖2所示。

圖2 泡沫桿撞擊剛性板模型Fig.2 Model of a cellular rod imping onto a rigid target

剛性板采用*MAT-RIGID的材料模型。泡沫材料采用*MAT-Crushable-foam的材料模型,材料參數為:ρ0=526 kg/m3,v=0,拉伸應力失效值pcut=8 MPa,粘性阻尼系數(DAMP)為0.3,其中泡沫材料的單元尺寸為0.75 mm×1.00 mm×1.00 mm。試驗中,輸入準靜態的名義應力(名義應力即力除以初始面積)與體積應變關系曲線,如圖3所示。

圖3 泡沫材料準靜態的名義應力與體積應變關系曲線Fig.3 Relation between nominal stress and volumetric strain of foams

2.2 計算結果

2.2.1 量計線布置區域

圖4是從模擬結果中提取的距撞擊端30 mm處應力-時程和應變-時程曲線。從圖中可以看出,目標單元在p點對應時刻開始受到卸載波的影響。單元開始遇到卸載波的時間t可由式(8)估算。

(8)

圖4 距離撞擊端30 mm處單元的應力-時程和應變-時程曲線Fig.4 The stress-time and strain-time curves of an element which is 30mm from the impact side

2.2.2 分區方法及量計線間距

由于量計線的間距會影響計算的結果,本文取量計線的間距為2,4,8 mm分別進行計算。當量計線的間距為2 mm,3個拉格朗日位置為14,16,18 mm時,其速度場如圖5所示。從圖中可以發現曲線有明顯的拐點,符合泡沫材料的變形模式,即從彈性階段向塑性坍塌階段過渡。在0.4 ms左右時,曲線由于壓縮波和卸載波的疊加出現波動。將速度場分為2個區時,2個區分別對應的是彈性段和塑性坍塌段。

圖5 撞擊速度為80 m/s時不同Lagrange位置點的速度-時程曲線Fig.5 Particle velocity profiles at the Lagrange position of 14,16,18 mm when the impact velocity is 80 m/s

若分更多的區,是將塑性坍塌段根據速度時程曲線特征進行重分區,使路徑線和量計線構成的流場與真實流場更接近,且路徑線均按3階導數為0處理,以下分別對2,4,7,9個區的不同分區方式進行計算,來分析不同分區方式對計算結果精度的影響。利用Matlab編制路徑線法的計算程序,不同分區方式在拉格朗日坐標14,16,18 mm位置處的應力-時程的數值計算結果以及路徑線法計算結果如圖6所示(見下頁)。

從圖6可以看出,2個和4個分區的路徑線法計算結果誤差仍然較大,而將速度場分為7個和9個區時,計算精度明顯提高。說明將速度場中分足夠多的區域分析既可以保證差分格式的穩定性又可以減小積累誤差,比僅按特征拐點分區的精度高。且由于分7個區時精度已經足夠,為節約計算成本,以下的分析都是基于分7個區進行的。

同樣,當量計線間距為4 mm時,取X為12,16,20 mm 3個位置,其計算結果如圖7-a。當量計線間距為8 mm時,取X為8,16,24 mm 3個位置,其計算結果如圖7-b。對比圖6和圖7可以發現,量計線間距為2,4 mm時,計算精度較高；間距為8 mm時,誤差比較大。當間距為8 mm時,較大誤差的主要原因可能是路徑線和量計線形成的流場與真實的速度場相差太大。

上文泡沫材料給定撞擊速度為80 m/s,通過路徑線法得到泡沫材料的應變場,再將應變對時間求導,得到的最大值即所求的應變率,為6×103s-1。圖8-a給出了泡沫材料撞擊速度為150 m/s時,在拉格朗日坐標14,16,18 mm位置處的速度場,取量計線間距為2 mm,將速度場分為7個區,其應力時程曲線見圖8-b,通過計算得出其對應的應變率為3×104s-1。證明當泡沫材料處于更高撞擊速度時,即:在更高應變率的條件下,路徑線法與模擬得到的結果也吻合地很好。

a-2 zones;b-4 zones;c-7 zones;d-9 zones圖6 量計線間距為2 mm時不同分區方式3個Lagrange位置處的應力-時程曲線Fig.6 Stress-time curves at 3 Lagrange positions by different dividing methods with gauge length of 2 mm

a-gauge length=4 mm(X=12,16,20 mm);b-gauge length=8 mm(X=8,16,24 mm)圖7 分7個區不同量計線間距條件下對應3個Lagrange位置處的應力-時程曲線Fig.7 Stress-time curves at 3 related Lagrange positions when 7zones are divided

圖8 撞擊速度為150 m/s時 3個Lagrange位置點的速度-時程曲線(a)和應力-時程曲線(b)Fig.8 Particle velocity profiles and strain-time curve at 3 Lagrange positions with impact velocity of 150 m/s

本文中泡沫材料采用的是*MAT-Crushable-foam的材料模型,粘性系數為0.3,即考慮了泡沫材料的應變率效應。圖9是泡沫材料的撞擊速度分別為80，150 m/s時,拉格朗日位置14 mm處的動態應力-應變曲線和輸入的準靜態應力-應變曲線的對比,由于路徑線法消除了慣性效應的影響,圖中平臺應力的增強部分是泡沫材料應變率效應的作用,表明泡沫材料是一種應變率敏感的材料。

圖9 不同撞擊速度時14 mm拉格朗日位置處的動態和準靜態應力-應變曲線Fig.9 Comparison between the dynamic and the quasi-static stress-strain curves with varied impact velocity

本文沒有得到泡沫材料密實化階段的應力-應變曲線,是因為泡沫材料桿的撞擊速度還不夠大,對于計算機模擬來講,泡沫桿的速度可以增加到足夠大,但對于實驗來講卻很難實現；且從速度場的角度來講,泡沫桿直接撞擊的條件下,速度場不能區分平臺段和密實段。為了得到泡沫材料完整的動態應力-應變曲線,可用泡沫材料的反撞擊來研究其完整的動態響應。

3 結論

在研究泡沫材料的動態特性時,會遇到慣性效應和應變率效應的耦合問題,用路徑線法更適合分析此類問題。本文討論分析了路徑線法在實驗過程中需要注意的問題,得出了以下結論。

1) 當計量線區域設計為距離撞擊端30 mm,且較小的計量線間距，以及速度場中較多的有效分區可以提高路徑線法實驗的精度。

2) 當研究中設計泡沫材料的應變率為103～104s-1數量級范圍時,路徑線法都是適用的。

3) 研究中動態應力-應變曲線和準靜態應力-應變曲線對比證明泡沫材料是一種應變率敏感性材料。

[1] 王禮立.應力波基礎[M].第二版.北京:國防工業出版社,1985:52-55.

[2] 朱玨.混凝土類材料沖擊本構特性的SHPB技術及Lagrange反解法的研究[D].合肥:中國科技大學,2006.

[3] FOWLES R.Conservation relations for spherical and cylindrical stress waves[J].Journal of Applied Physics,1970,41:2740-2741.

[4] GRADY D E.Experimental analysis of spherical wave propagation[J].Journal of Geophysical Research,1978(8):1299-1307.

[5] SEAMAN L.Lagrangian analysis for stress and particle velocity gauges[R].Technical Report No.PU-6391.SRI Int,USA:1984.

[6] GUPTA Y M.High strain-rate shear deformation of a polyurethane elastomer subjected to impact loading[J].Polymer Engineering & Science,1984,24(11):851-861.

[7] FOREST C A,Wackerle J,Dick J J, et al.Lagrangian analysis of MIV (Magnetic Impulse-Velocity)gauge experiments on PBX 9502 using the mass-displacement moment function[R].Los Alamos National Lab,NM (USA),1989.

[8] 柴華友,唐志平.曲面擬合在拉格朗日反分析方法中應用的探討[J].爆炸與沖擊,1992,3:010.

[9] 陳葉青,馮叔瑜.拉格朗日分析方法研究現狀及應用中應注意的問題[J].爆炸與沖擊,1998,18(1):91-96.

[10] WANG L,DING Y,YANG L.Experimental investigation on dynamic constitutive behavior of aluminum foams by new inverse methods from wave propagation measurements[J].International Journal of Impact Engineering,2013,62:48-59.

[11] WANG L,ZHU J,LAI H.A new method combining Lagrangian analysis with Hopkinson pressure bar technique[J].Strain,2011,47(2):173-182.

[12] 趙隆茂.工程結構非線性動力響應數值分析顯式積分格式的研究[C].全國結構工程學術會議,2001:528-532.

[13] 柴華友,唐志平.拉格朗日反分析方法誤差分析[J].爆炸與沖擊,1994,14(4):332-341.

(編輯：李文娟)

Discussion on Dynamic Behavior of Foams Based on Path-Line Method

WEI Heng1,ZHANG Jianjun1,LI Hongwei2,WANG Zhihua3,ZHAO Longmao3

(1.InstituteofAppliedMechanicsandBiomedicalEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China; 2.ShanxiFenxiHeavyIndustryCo.,Ltd.,Taiyuan030027,China; 3.ShanxiKeyLaboratoryofMaterialStrength&StructuralImpact,Taiyuan030024,China)

The research focuses on the comparison of the numerical results and the results by path-line method about the dynamic response of the foams, in order to analyze the determination of the velocity gauge lengths and the division of zones. Results show that when gauges in the area are designed as 30 mm from the impact end, the smaller gauge lengths (2 mm) and more effective division of zones (7) can improve the precision of the path-line method experiment; meanwhile, the dynamic response of foams with high strain-rate obtained by using path-line method is different from that of the quasi-static case, and this indicates the strain-rate sensitivity of the foams. The conclusion of this research has important guiding significance on experimental study about the dynamic response of foams using the path-line method.

Lagrangian analysis; wave propagation;path-line method; foamed materials; numerical simulation

1007-9432(2016)03-0418-06

2015-12-30

國家自然科學基金資助項目:功能梯度多孔金屬夾芯復合結構的沖擊力學行為及波致失效機理研究(11172196);山西省留學人員科研基金資助項目:強動載荷下梯度夾芯復合殼的力學行為及其多功能優化設計(2013-046)

魏恒(1991-),男,湖北鄂州人,碩士生,主要從事沖擊動力學研究,(E-mail)872630120@qq.com

王志華,教授,博士,主要從事沖擊動力學研究,(E-mail)wangzh@tyut.edu.cn

O347

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.026