非齊次橢圓型方程雙側障礙問題的很弱解

樊自安

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

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非齊次橢圓型方程雙側障礙問題的很弱解

樊自安

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

運用Hodge分解方法,選擇適當的檢驗函數,證明了一類非齊次橢圓型偏微分方程雙側障礙問題很弱解的局部有界性。

非齊次橢圓方程;很弱解;Hodge分解;雙側障礙問題

20世紀90年代, Iwaniec在文獻[1-2]提出了很弱解的概念, 并用擾動向量場的Hodge分解研究了形如方程(1)的很弱解的性質，方程(1)稱為A-調和方程。

-divA(x，u)=0

(1)

近年來， 運用Hodge分解法，已經取得了許多研究成果， 方程(1)障礙問題的弱解及很弱解也得到了廣泛研究。文獻[3]研究了方程(1)的障礙問題弱解的梯度更高可積性;文獻[4]研究了方程(1)的障礙問題很弱解的局部有界性;關于方程(1)的障礙問題很弱解的性質的討論還可見文獻[5-6].類似于方程(1)的討論方法，文獻[10-12]研究了其他散度方程障礙問題的弱解及很弱解，其中文獻[10]研究了非齊次A-調和方程(2)障礙問題的很弱解。

-divA(x，u)=f(x)

(2)

本文討論方程(2)的雙側障礙問題的很弱解。

1 定義及預備知識

式中α，β>0是常數。

且有:

式中范數下標r表示Lr，以下不再說明。

下面給出方程(2)障礙問題很弱解的定義。

∫Ω〈A(x，(v-u)〉dx

≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u〉dx+∫Ωfφv，udx .

2 主要結果及證明

首先給出一個簡單的引理， 后面定理的證明要用到這個結論。

引理1[7]設f(τ)是一個定義在0≤R0≤t≤R上的非負有界函數，且

f(τ)≤A(t-τ)-α+B+θf(t)

這里，A，B，α，θ是非負常數，θ<1.則存在常數c=c(α，θ)，對于任意ρ、R，當R0≤ρ

f(ρ)≤c[A(t-τ)-α+B]

引理2[8]假設一個函數u(x)屬于B類，則對于BR?Ω，有

maxu(x)≤C.

下面給出方程(2)雙側障礙問題很弱解的局部有界性結果。

結論。

于是，由定義1得到

∫Ω〈A(x，(v0-u)〉dx≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u，1〉dx+∫Ωfφv，u，1dx

由Hodge分解的唯一性及v0的定義得到當u>k，φv，u，1=φv，u，hv，u，1=hv，u;u≤k，φv，u，1=0，hv，u，1=0，于是

≥∫Ω〈A(x，u)，hv，u，1〉dx+∫Ωfφv，u，1dx

(3)

及

(4)

(5)

由(3)-(5)，得到

(6)

由條件(A)及(6)式，得到：

(7)

由條件(B)及(6)式，得到

式中ε>0。

(8)

現在來估計I2和I3。由Young不等式、條件(B)及Hodge分解得到

(9)

由(4)式

由Young不等式、Hodge分解得到

(10)

取ε和p-r足夠小，使得0<ε0=C1ε+εβ+2C(ε，p)(p-r)β<1，取R1/2≤ρ

式中C=C(p，r，α，β)。

由引理1得到

由定義2，u(x)屬于B類，因此由引理2，在R/2內，maxu(x)≤C，證畢。

[1] Iwaniec T, Sbordone C. Weak minima of variational integrals[J].J. Reine Angew. Math., 1994, 454: 143-161.

[2]IwaniecT,P-harmonictensorsandquasiegularmappings[J].Ann.Math., 1992, 136: 589-642.

[3]LiG,MartioO.Stabilityandhigherintegrabilityofderivativesofsolutionsindoubleobstacleproblems[J].J.Math.Anal.Appl.， 2002, 272:19-29.

[4]HongyaG,JinjingQ,YumingC.Localregularityandlocalboundednessresultsforveryweaksolutionsofobstacleproblems[J].JournalofInequalitiesandApplications, 2010(1): 1-12.

[5]LiG,MartioO.Uniquenessofsolutionswithveryweakboundaryvalues[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications, 2002, 51(4): 693-701.

[6]HongyaG,JingG,YaliZ,etal.Localregularityresultinobstacleproblems[J].ActaMathematicaScientia, 2010, 30(1): 208-214.

[7]Giaquinta,M.MultipleIntegralsintheCalculusofVariationsandNonlinearEllipticSystems[M].Princeton：PrincetonUniversityPress, 1983.

[8]Hong,MC.Someremarksontheminimizersofvariationalintegralswithnon-standardgrowthconditions[J].BollettinodellUnioneMatematicaItaliana,1992,6a(1):91-101.

[9]IwaniecT,MigliaccioL,NaniaL,etal.Integrabilityandremovabilityresultsforquasiregularmappingsinhighdimension[J].Math.Scand,1994,75(1):263-279.

[10] 周樹清. 一類非齊次A-調和方程組很弱解的正則性[J].數學年刊A輯(中文版)，2002，23(3):283-288.

[11] 樊自安, 艾軍, 胡付高. 一類散度形式橢圓型方程很弱解的唯一性[J].數學的實踐與認識，2014,44(3):186-191.

[12] 李娟. 一類非齊次障礙問題的很弱解的局部可積性[J].山東大學學報(理學版)，2010,45(8):66-71.

(責任編輯：熊文濤)

2016-02-07

湖北省教育廳科學研究計劃項目(B2015032)

O175.25

A

2095-4824(2016)03-0122-03

作者簡介：樊自安(1972-), 男, 湖北廣水人,湖北工程學院數學與統計學院副教授, 碩士。