數(shù)形結合，妙解數(shù)學難題

江蘇省姜堰中學(225500)

周 鵬●

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數(shù)形結合，妙解數(shù)學難題

江蘇省姜堰中學(225500)

周 鵬●

數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想，不僅在數(shù)學中應用廣泛，在其他學科的學習中也是一種十分必要的數(shù)學工具，因此老師要盡自己最大的努力教好數(shù)形結合的使用方法，給同學們的學習生活帶來便利.

高中數(shù)學；數(shù)形結合；妙解難題

數(shù)形結合是一種極其重要的數(shù)學思想，它對學生解題能力的提升具有十分重要的意義.數(shù)形結合的使用大致可以分為兩種情況.一是利用數(shù)的精確準確性質(zhì)來表現(xiàn)形當中的某些特征或?qū)傩裕@就是用“數(shù)”來解釋“形”；二是利用形的直觀性簡潔明了的特征來描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系，這就是用“形”來幫助“數(shù)”.筆者結合高中數(shù)學教學經(jīng)驗，對如何在課堂教學中以及習題訓練中鍛煉學生的數(shù)形結合思想具有一定的研究與探索，下面簡要介紹幾點心得體會，希望對大家有所幫助.

一、韋恩圖解，元素分析

數(shù)形結合思想在解決集合問題中的體現(xiàn)就在于韋恩圖的使用，而集合問題又是學生最基礎的數(shù)學知識，所以老師一定十分關注，幫助學生打好高中數(shù)學的基礎.集合部分的知識點相對較龐雜，題型又較多，涉及到很多典型的問題，并且在歷年高考中都有所體現(xiàn)，而解好集合問題大都需要借助韋恩圖，所以老師在課堂教學中一定要強化韋恩圖的訓練，使學生能夠輕松拿下基礎分.例如，很多同學在習題訓練中都做過這樣的題目：某個班級有48名同學，每個人至少都要參加一個活動小組，其中參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別是28、25、15，而同時參加數(shù)理小組的人數(shù)是8人，同時參加數(shù)化小組的人數(shù)是6人，同時參加理化小組的人數(shù)是7人，問同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)是多少？這是一道典型的集合問題，如果僅僅采用數(shù)字的方式去求解會顯得十分困難，很多學生都會找不到解題思路，但是如果采用韋恩圖法來解決，就會覺得十分簡單.

二、形中覓數(shù)，巧求個數(shù)

高中方程在高中數(shù)學體系中占據(jù)大部分內(nèi)容，老師可能需要很多的課時才能夠?qū)⒄n本上所涉及的知識都講解透徹，所以大部分老師都會選擇通過習題訓練強化對基礎知識的掌握程度.而對于習題的選擇，也需要老師多多留心，盡可能地選擇一些具有代表性的題目，讓同學能夠做到觸類旁通.例如，在這部分學習完成之后，我都會向同學們布置這樣的任務：求方程lgx-sinx=0的解的個數(shù).這道題通過一般的算術方法是很難求出解的個數(shù)的，因此我們就要借助于形的力量.對問題再次分析，這個方程的解的個數(shù)就是y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點個數(shù)，因此只要我們畫出規(guī)范的圖象然后再進行個數(shù)查找即可.因為sinx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10.據(jù)此，我們可以在平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示.

形中覓數(shù)，通過觀察圖象，我們就可以清晰地看出兩條曲線的交點為三個，所以本題的答案為3.通過這種方法，根本不需要進行計算就能夠?qū)栴}解決，是一種十分方便的求解方法，由此也可以看出數(shù)形結合思想在解題中的妙處.

三、數(shù)中思形，解析不等

四、立體幾何，變相分析

立體幾何的題型種類繁多，學生在進行高考之前一定都進行過大量的習題訓練，都會一定的解題經(jīng)驗.其中有一部分疑難雜題可以利用數(shù)形結合的思想來解決，例如，若三棱錐A-BCD的其中一個側面ABC中存在一個動點P,它到底面BCD的距離與到棱AB的距離是相等的，那么動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是( ).

這道題巧妙地將立體幾何與解析幾何相聯(lián)系，屬于一道創(chuàng)新題目.對于這種題目我們就可以選擇特殊圖形來解決，即當AC⊥平面BCD時，那么問題就會得到轉化，P到AB的距離和BC的距離相等的點的軌跡，很明顯P點的軌跡就是∠ABC的角平分線.如果這道題目出現(xiàn)在高考中并且是選擇題目的話，僅僅通過這樣的分析就可以確定正確答案是選項D，但是如果出現(xiàn)在平時訓練中，老師還要對AC不垂直于平面BCD的一般情況作出討論，擴大學生的視野.

總之，數(shù)形結合思想的應用有很多，老師可以在多個方面進行擴展，使學生對數(shù)學的理解更加透徹，從而對數(shù)形結合思想有一個正確的認識，形成正確的思維習慣，為解題提供便利.

[1]周濤. 數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的滲透[J]. 數(shù)理化學習(高三版)， 2015(10)

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