例析新高考數(shù)學(xué)必修2《立體幾何中的角》

廣東省佛山市華附南海實(shí)驗(yàn)高中(528200)

周建軍 ●

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例析新高考數(shù)學(xué)必修2《立體幾何中的角》

廣東省佛山市華附南海實(shí)驗(yàn)高中(528200)

周建軍 ●

在新課標(biāo)高考中，廣東省將采用全國(guó)卷，而全國(guó)卷中試題大多以中檔題為主，立體幾何題已經(jīng)不再如廣東卷那樣屬于送分題.在全國(guó)卷的立體幾何問(wèn)題中，通常第一問(wèn)是證明直線(xiàn)的位置關(guān)系，第二問(wèn)是求角.有關(guān)立體幾何中角的問(wèn)題的求解已經(jīng)成為阻礙學(xué)生得分的主要因素.本文將以典型例題來(lái)闡述必修2立體幾何中角的有關(guān)問(wèn)題的有效教學(xué)和處理模式.

線(xiàn)線(xiàn)角；線(xiàn)面角；二面角；等體積法；空間角；空間想象能力

一、異面直線(xiàn)所成的角(線(xiàn)線(xiàn)角)

例1 如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與BC所成角的余弦值為_(kāi)___.

思考 異面直線(xiàn)所成的角本是空間角，不便直接求解，可考慮將其中一條直線(xiàn)平移至與另一條直線(xiàn)相交，構(gòu)建三角形，轉(zhuǎn)化為平面角，以三角形為載體，通過(guò)解三角形進(jìn)行求解.

解析 過(guò)點(diǎn)E作EF∥B1C1交A1B1于F，連結(jié)AF. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC∥B1C1. 又EF∥B1C1，所以BC∥EF. 直線(xiàn)AE與EF所成的角即為異面直線(xiàn)AE

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1.

∵EF∥B1C1，∴EF⊥平面ABB1A.

又AF?平面ABB1A1，∴EF⊥AF.

二、直線(xiàn)與平面所成的角(線(xiàn)面角)

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成角的大小為_(kāi)___.

思考1 根據(jù)線(xiàn)面角的定義，線(xiàn)面角指的是斜線(xiàn)和斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影的夾角.在這里，要得到斜線(xiàn)A1B的射影，需過(guò)點(diǎn)B作出平面A1B1CD的垂線(xiàn). 如何作出垂線(xiàn)并證明之是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

解析 過(guò)點(diǎn)B作BE⊥B1C于E，連結(jié)A1E.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1.

∵BE?平面BCC1B1，∴DC⊥BE.

又BE⊥B1C，DC∩B1C=C，∴BE⊥平面A1B1CD.

∴直線(xiàn)A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影是A1E.

∴A1B和A1E所成的角，即∠BA1E為直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角.

∵BE⊥平面A1B1CD，A1E?平面A1B1CD，

又∠BA1E為銳角，∴∠BA1E=30°.

因此，直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.

小結(jié) 在這里，有一種“作一得二”的思想可以歸納.過(guò)點(diǎn)B作BE⊥B1C于E，表面上只有一個(gè)垂直BE⊥B1C，但實(shí)際上BE處在被DC垂直的平面BCC1B1內(nèi)，所以又可得到另一個(gè)垂直DC⊥BE. 作一個(gè)垂直，而得到兩個(gè)垂直，這種思想用來(lái)作面的垂線(xiàn)在立體幾何中很常見(jiàn).當(dāng)然，也可先證明平面A1B1CD⊥平面BCC1B1，再找交線(xiàn)B1C，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥B1C于E，從而得到BE⊥平面A1B1CD.

思考2 當(dāng)過(guò)點(diǎn)作面的垂線(xiàn)不便于作出來(lái)時(shí)，那么斜線(xiàn)在面內(nèi)的射影就不便找到，但它卻是真實(shí)存在的.此時(shí)，可考慮用等體積法來(lái)求出點(diǎn)到面的距離，從而求解線(xiàn)面角.這種方法對(duì)圖形本身的要求不高，也不需過(guò)多地作輔助線(xiàn)，但要求進(jìn)行計(jì)算.

又θ是銳角，∴θ=30°.

因此，直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.

三、平面與平面所成的角(二面角)

例3 如圖3，在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥平面ABCD，∠APC=60°，則

(1)二面角P-AD-C的余弦值為_(kāi)___.

(2)二面角A-PB-C的余弦值為_(kāi)___.

(1)思考 二面角是空間角，不可直接求解.求解二面角，通常先作出二面角的平面角.在這里，可考慮用三垂線(xiàn)定理(或逆定理)的思想來(lái)作出二面角的平面角.

注 (Ⅰ)三垂線(xiàn)定理：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直.

(Ⅱ)三垂線(xiàn)定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直.

解析 過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于H，連結(jié)PH.

∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PO⊥AD.

又OH⊥AD，PO∩OH=O，

∴AD⊥平面POH.

又PH?平面POH，∴AD⊥PH.

又OH⊥AD，∴∠PHO是二面角P-AD-C的平面角.

∵OH⊥AD，CD⊥AD，∴OH∥CD.

在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥平面ABCD，

∴O為正方形ABCD的中心，即為AC的中點(diǎn).

∴AH=HD.

(2)思考 在正四棱錐P-ABCD中，△APB?△CPB. 兩個(gè)三角形有明顯的對(duì)稱(chēng)性.此時(shí)，可作出一個(gè)三角形的高，順應(yīng)得出另一個(gè)三角形的高，兩條高所形成的角即為二面角的平面角.

媽媽和勞拉、瑪麗在篷車(chē)?yán)锍灾姘吞敲郏R吃著掛在脖頸上的飼料袋里的谷粒，爸爸則走進(jìn)那家商店用獸皮交換旅途上需要的東西。他們不能在鎮(zhèn)子里待得太久，因?yàn)樗麄儽仨氃诋?dāng)天穿過(guò)丕平湖。

解析 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB于E，連結(jié)CE.∵△APB?△CPB，∴CE⊥PB.

又AE⊥PB，∴∠AEC是二面角A-PB-C的平面角.

應(yīng)用

(1)求異面直線(xiàn)PC與AD所成角的正切值；

(3)求直線(xiàn)PD與平面PBC所成角的正弦值.

(1)思考 異面直線(xiàn)PC與AD形成的是空間角，依題意，可考慮將AD平移至BC，轉(zhuǎn)化為PC與BC之間的夾角，將其放在△PBC中進(jìn)行求解.

解析 ∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC.

∴PC與BC所成的角即為異面直線(xiàn)PC與AD所成角，即為∠PCB.

∴AD2+PA2=PD2.∴AD⊥PA.

又四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB.又PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB.

又AD∥BC，∴BC⊥平面PAB. 又PB?平面PAB，

∴BC⊥PB.

在△PAB中，AB=3，PA=2，∠PAB=60°，

在矩形ABCD中，BC=AD=2.

(2)思考 由(1)知，AD⊥平面PAB. 可仿照例2中思考1的解析方法，“作一得二”作出平面ABD的垂線(xiàn)，從而構(gòu)建三垂線(xiàn)定理(或逆定理)的思想來(lái)作出二面角的平面角.

解析 過(guò)點(diǎn)作PO⊥AB于O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于H，連結(jié)PH.

由(1)知，AD⊥平面PAB. 又PO?平面PAB，∴AD⊥PO. 又PO⊥AB，AD∩AB=A,∴PO⊥平面ABD.∵BD?平面ABD，∴PO⊥BD.

又OH⊥BD,PO∩OH=O,∴BD⊥平面POH.

又PH?平面POH，∴BD⊥PH.又OH⊥BD，∴∠PHO是二面角P-BD-A的平面角.

∵PO⊥平面ABD，OH?平面ABD，∴PO⊥OH.

∴OB=AB-OA=3-1=2.

(3)思考 這里的線(xiàn)面角不容易作出斜線(xiàn)在面上的射影，很難作圖產(chǎn)生線(xiàn)面角，故優(yōu)先考慮用等體積法進(jìn)行求解.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部. 全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱[M]. 北京：人民教育出版社，2002.

[3] 人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)：數(shù)學(xué)2 [M]. 3版. 北京：人民教育出版社，2007.

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