低預緊扭矩螺栓連接懸臂梁的2倍諧振響應

李耀彬，于化東，王強龍，傘曉剛，劉震宇

(1.長春理工大學 光電工程學院；吉林 長春；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春)

?

低預緊扭矩螺栓連接懸臂梁的2倍諧振響應

李耀彬1，2，于化東1*，王強龍2，傘曉剛2，劉震宇2

(1.長春理工大學 光電工程學院；吉林 長春；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春)

為準確獲得光電設備中螺栓連接對系統結構動態響應特性的影響，研究了裝配連接環節導致的非線性振動特性。采用單螺對栓連接懸臂梁模型，對螺栓連接引起的結構振動特性的改變進行了研究和實驗。利用接觸有限元方法對低預緊扭矩下結構非線性振動特性進行了時域數值積分仿真分析，給出了不同激勵量級周期受迫激勵下的相軌跡曲線；結合快速傅里葉分析方法，指出此模型在低預緊扭矩下存在1/2頻率激勵下的諧振現象?；诩ふ衿鲗嶒?，給出了實驗自由振動響應幅值和受迫振動響應幅值的變化，證實了仿真結果的準確性。數值仿真和激振器實驗均表明：激勵量級越大，螺栓連接引起的非線性振動中自由振動分量對結構動態響應的影響越大。該方法對開展后續連接結構的非線性振動特性的研究有指導意義。

光電經緯儀；螺栓連接；懸臂梁；結構振動；非線性振動；諧波共振

1 引 言

光機結構的連接主要以螺栓連接為主。在預緊力作用下由于接觸面積變化和接觸應力變化因素的存在[1]，螺栓連接引起局部非線性剛度和阻尼變化[2]。在外部周期激勵載荷作用下，螺栓接觸界面運動狀態主要以局部接觸和分離為主[3]。螺栓連接結構屬于典型非線性振動系統[4]。

非線性振動系統存在遲滯、分叉、諧波響應等諸多和線性系統所不同的特性[5]。Abdelhafez利用多尺度方法對2次以及3次非線性系統在多頻激勵載荷下的諧振響應進行了分析[6]。Zhou等人利用IHBM方法車輛結構進行了分析，指出諧振峰值隨著激勵峰值的減少而降低[7]。由于螺栓連接引入的邊界條件非線性，結構亦存在如上響應特性。Iwan[8]最早利用彈簧和阻尼單元來表征停滯與滑動現象(Stick-slip Phenomenon)。Hassan[9]等給出的據實驗構造的解析模型中，結構非線性項和位移呈3次關系。Gaul以及Ibrahim[10]結合改進的Iwan模型分析了螺栓連接搭接梁模型在不同載荷下的遲滯循環現象(Hysteresis Loop)，指出激勵載荷增加，結構呈現非線性剛度漸軟特性。Hamid等通過實驗分析梁模型(Free-Free beam/Modal With a Lap Joint)，結構在小激勵量級下滑動(Slipping)貢獻主要非線性因素；在較大激勵量級下，拍擊(Slapping)占據主要影響地位[11]。崔進行懸臂梁模型在受迫振動下試驗，激勵頻率為自振頻率的整分數倍時結構諧波分量較為明顯[12]。受螺栓連接部位非線性恢復力以及阻尼的影響，非線性項對結構動態響應的調節作用影響結構穩定性；在小激勵幅值下結構可能產生較大的響應；非伺服頻段的激勵帶來的噪音影響結構的穩定性，從而影響光學系統精確度；部分外載荷激勵條件下結構甚至出現失穩現象[13-18]。

利用實驗數據結合Iwan模型進行解析模型建模的方法較為準確的表征了結構動態響應特性，仍然是實際模型的低階近似。為準確獲得螺栓連接對結構動態響應特性的影響，螺栓連接結構的準確數值分析對于工程實踐有著重要的指導意義。本文分兩部分對螺栓連接結構進行分析。第一部分利用對單螺栓連接懸臂梁模型進行時域仿真分析以及頻域的后處理分析。第二部分結合激振器實驗，給出了實驗自由振動響應幅值和受迫振動響應幅值的變化，證實了仿真結果的準確性。

圖1 網格劃分示意圖

2 低預緊載荷下的仿真

2.1 模型定義

上懸臂梁板尺寸為210 mm×40 mm×5 mm，中間通孔直徑為12 mm。底部支撐板尺寸為40 mm×40 mm×12 mm。采用M10螺栓連接上懸臂梁板和底座。材料密度為7 800 kg/m3，楊氏模量為2.05×1011N/m2，泊松比為0.3。螺栓預緊力定義為100 N。約束底座底邊。分別定義上懸臂梁板和螺母、上懸臂梁和底座、底座和螺栓之間接觸。接觸摩擦系數設為0.1。采用3D-Bolt實體單元(正六面體單元)對螺栓和螺母單元進行網格劃分，確保螺母和懸臂梁板、懸臂梁板和底座接觸區域網格正確映射劃分。在大變形小應變情況下進行結構的變形計算。定義Z方向為螺栓中心方向，X方向為沿懸臂梁板長度方向，Y方向按照右手螺旋法則確定。載荷激勵平行于螺栓中心軸方向。載荷加載狀況以及接觸定義如圖1所示。

表1 單元劃分

2.2 第一階共振頻率的計算

頻單點載荷激勵強迫振動的方式進行時域響應分析，結合傅立葉變換對響應結果進行采樣并分析。構造步進正弦線性掃頻載荷形式[19]：

(1)

式中：α為起始頻率；α+β×t為截至頻率。t為時間范圍。計算中，采樣頻率按照樣本信號最大頻率的2倍也即奈奎斯特頻率進行選取。采用傅立葉變換的頻率分辨率：

f0=fs/N=1/NTs=1/T，

(2)

式中：N為采樣點數，fs為采樣頻率，Ts為采樣間隔，NTs為采樣前模擬信號的時間長度T。

圖2 120～160 Hz掃頻載荷激勵下B點時間-位移曲線

圖3 120～160 Hz掃頻載荷激勵下B點幅頻特性曲線

2.3 超諧共振響應計算仿真

1/2頻率激勵下振動特性受外載荷激勵幅值大小的影響，在圖1所示激勵點A施加簡諧載荷F=FNsin(2×π×f×t)，計算結構采樣點B在Z方向位移響應和速度響應。

圖時間-位移響應

圖幅頻特性曲線

圖相圖

(a)FN=5 N

(b)FN=10 N

(c)FN=20 N

表2 數值仿真不同載荷下的響應振幅

4 單懸臂梁板的諧振實驗現象驗證

4.1 實驗系統組成

系統由實驗器件、加速度傳感器、振動功率放大器、數據采集和控制系統、激振器組成。數據采集控制系統為YMC 9232Dynamic Data Acquistion System，加速度傳感器為三軸加速度傳感器，Z方向靈敏度為5.18 mV/m/s2。功率放大器采用YMC-LA-500型號線性功率放大器，滿功率頻率為20～5 kHz。激振器采用YMC公司MS-200系列激振器，最大振幅10 mm，激勵頻率為DC-0-4 000 Hz。實驗器件由M10的外六角螺栓(DIN 933-1987)將210 mm×40 mm×5 mm的單懸臂梁板和固定底座(三維尺寸為90 mm×40 mm×24 mm)連接，底座利用4個M6的內六角螺栓全螺紋螺栓固定于光學平臺上。利用M5的雙頭螺紋桿連接懸臂梁板和激振器。利用生膠帶填充雙頭螺紋桿和激振器以及雙頭螺紋桿和懸臂螺紋孔之間的縫隙，同時上下各用2個M5的六角螺母實現限位防松。實驗預緊扭矩取0.2。材料為45號鋼。實驗系統如圖8所示。

圖8 測量系統示意圖

圖9 測試系統

4.2 實驗結果

(a)掃頻實驗快速傅立葉分析結果(a) FFT result about sweep excitation

(b)FE=300 mV幅頻特性曲線(b) Amplitude frequency of FE=300 mV

(c)FE=600 mV幅頻特性曲線(c)Amplitude frequency of FE=600 mV

(d)FE=900 mV幅頻特性曲線(d)Amplitude frequency of FE=900 mV

幅值/m/s2FE=300mVFE=600mVFE=900mVH(f0E/2)0．461．011．70H(f0E)0．300．771．40H(f0E)/H(f0E/2)0．650．760．82

實驗結果模型由于激振器連接桿的影響，懸臂梁的形式發生改變。因此，懸臂梁的第一階共振頻率和仿真中有所差別。但螺栓對于系統的影響和文中有限元數值仿真結果相似：結構在不同幅值的外載荷激勵下，受迫振動和由于非線性項引起自由振動解的幅值比變化規律相同，如圖11所示。

(a) 數值仿真(a)Numerical

(b)激振器實驗(b)Experimental

6 結 論

本文利用非線性時域有限元數值方法以及激振器實驗分析了低預緊扭矩螺栓連接懸臂梁模型的受迫振動，并得出如下結論：利用接觸問題的有限元時域仿真算法，對預緊力載荷作用下螺栓連接結構構建有限元模型可以準確分析螺栓連接結構的非線性振動特性。對比激振器實驗，數值仿真對螺栓連接結構在不同外載荷下振動形式的改變做出了準確的分析。相比于線性低階近似，此方法更為準確的反映了結構的實際動態響應特性。螺栓連接結構懸臂梁結構的周期受迫振動，存在較明顯的超諧共振現象。數值仿真和激振器實驗均表明外激勵載荷幅值越大，這種非線性振動現象越明顯，同時振動相圖模式發生明顯的改變。當周期激勵幅值達到一定程度后，螺栓連接結構出現諧共振。表現出較強的非線性振動現象。

[1] HARTWIGSEN C J， SONG Y， MCFARLAND D M，etal.. Experimental study of non-linear effects in a typical shear lap joint configuration [J].JournalofSoundandVibration， 2004， 277(1-2): 327-351.

[2] SONG Y， HARTWIGSEN C J， MCFARLAND D M，etal.. Simulation of dynamics of beam structures with bolted joints using adjusted Iwan beam elements [J].JournalofSoundandVibration， 2004， 273(1-2): 249-276.

[3] Groper M. Microslip and macroslip in bolted joints[J].ExperimentalMechanics， 1985， 25(2): 171-174.

[4] QIN Z， HAN Q， CHU F. Bolt loosening at rotating joint interface and its influence on rotor dynamics [J].EngineeringFailureAnalysis， 2016， 59: 456-466.

[5] 陳予恕， 曹登慶， 黃文虎. 近代機械非線性動力學與優化設計技術的若干問題[J]. 機械工程學報， 2007(11): 17-26. CHEN Y SH， CAO D Q， HUANG W H.Issues on modern mechanical nonlinear dynamics and optimal design Technology [J].ChineseJournalofMechanicalEngineering，2007(11): 17-26.(in Chinese)

[6] ABDELHAFEZ H M. Resonance of multiple frequency excitated systems with quadratic， cubic and quartic non-linearity [J].MathematicsandComputersinSimulation， 2002， 61(1): 17-34.

[7] ZHOU S， SONG G， SUN M，etal.. Nonlinear dynamic analysis of a quarter vehicle system with external periodic excitation [J].InternationalJournalofNon-LinearMechanics， 2016.

[8] IWAN W D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response [J].JournalofAppliedMechanics， 1966， 33(4): 893-&.

[9] AHMADIAN H， JALALI H. Identification of bolted lap joints parameters in assembled structures [J].MechanicalSystemsandSignalProcessing， 2007， 21(2): 1041-1050.

[10] IBRAHIM R A， PETTIT C L. Uncertainties and dynamic problems of bolted joints and other fasteners [J].JournalofSoundandVibration， 2005， 279(3-5): 857-936.

[11] IRANZAD M， AHMADIAN H. Identification of nonlinear bolted lap joint models [J].Computers&Structures， 2012， 96-97: 1-8.

[12] 崔秀英. 懸臂梁受迫振動的頻譜分析[J]. 振動·測試與診斷， 1995(4): 31-34. CUI X Y. Spectrum analysis about cantilever by forced vibration [J].JournalofVibrationMeasurement&Diagnosis， 1995(4): 31-34. (in Chinese)[13] LIU J， CHEN X， GAO J，etal.. Multiple-source multiple-harmonic active vibration control of variable section cylindrical structures: A numerical study [J].MechanicalSystemsandSignalProcessing， 2016.

[14] BLACHOWSKI B， GUTKOWSKI W. Effect of damaged circular flange-bolted connections on behaviour of tall towers， modelled by multilevel substructuring[J].EngineeringStructures， 2016， 111: 93-103.

[15] ABID M， KHAN A， NASH D H，etal.. Optimized bolt tightening strategies for gasketed flanged pipe joints of different sizes [J].InternationalJournalofPressureVesselsandPiping， 2016.

[16] ZHU S， SHAO G， WANG Y，etal.. Mechanical behavior of the CFRP lattice core sandwich bolted splice joints [J].CompositesPartB:Engineering， 2016， 93: 265-272.

[17] LIU J， OUYANG H， PENG J，etal.. Experimental and numerical studies of bolted joints subjected to axial excitation [J].Wear， 2016， 346-347: 66-77.

[18] 田士濤， 吳清文， 賀帥， 等. 空間機械臂鎖緊機構等效線性化分析及驗證[J]. 光學 精密工程， 2016(3): 590-599. TIAN SH T， WU Q W， HE SH，etal.. Linear analysis and practical tests of fixation mechanisms in space robotic arm [J].Opt.PrecisionEng.， 2016(3): 590-599. (in Chinese)

[19] 王強龍， 傘曉剛，劉震宇. 螺栓連接條件下結構振動模態的時頻分析方法[J]. 機械設計與制造， 2016， 7. WANG Q L， SAN X G， LIU ZH Y. Model analysis of structure with bolt connections using the method of transient response and frequency transformation [J].MachineryDesign&Manufacture，2016， 7. (in Chinese)

于化東(1961-)，男，吉林松原人，博士，教授，博士生導師,“863”計劃專家委員會委員，“973”項目首席專家，1998年于日本千葉大學獲得博士學位，現為長春理工大學機電工程學院教師，主要從事精密超精密加工技術、微納制造與檢測技術方面的研究。E-mail:yuhd@cust.edu.cn

(版權所有 未經許可 不得轉載)

Second super-harmonic resonance response of cantilever beamwith bolt joint under low pretension

LI Yao-bin1，2， YU Hua-dong1*， WANG Qiang-long2，SAN Xiao-gang2， LIU Zhen-yu2

(1.College of Photoelectrical Engineering，Changchun UniversityofScienceandTechnology，Changchun130022，China；2.ChangchunInstituteofOptics，FineMechanicsandPhysics，ChineseAcademyofSciences，Changchun130033，China)

To obtain the effect of bolt-joint in a theodolite on the dynamic response of system， the nonlinear property caused by assemble connection was researched. A single bolt connection cantilever model was used to analyze the change of structure vibration characteristics from the bolt-joint. Then， the finite element method was employed in the simulation analysis in time domain for the nonlinear vibration characteristics of cantilever model connected by the bolt joint under low pretension， and the phase diagrams under different loads were obtained. With Fast Fourier Transfer method， the super-harmonic resonances under 1/2 natural frequency excitation were pointed out. By an exciter experiment， the response amplitudes by free vibration and forced vibration were given， respectively， and the simulation results were verified. It shows that the greater the excitation magnitude is， the greater the impact from the nonlinear term is. This method has guiding significance for research on nonlinear vibration characteristics of connection structures.

photoelectric theodolite； bolt joint； contilever beam； structure vibration； nonlinear vibration; harmonic resonance

2016-07-20；

2016-08-17.

國家自然科學基金面上項目(No.51275504)；吉林省科技發展基金資助項目(No.20140519007JH)

1004-924X(2016)11-2769-08

TH113.1

A

10.3788/OPE.20162411.2769

李耀彬(1969-),男,遼寧錦州人,研究員,碩士生導師，主要從事精密機械設計及檢測、光電測量與控制方面的研究。E-mail:liyaobin7025@163.com

*Correspondingauthor，E-mail：yuhd@cust.edu.cn