弱廣義對角交叉積的表示范疇

陳笑緣， 賈 玲

(1. 浙江商業職業技術學院， 浙江 杭州 310053； 2. 魯東大學 數學與統計科學學院， 山東 煙臺 264025)

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弱廣義對角交叉積的表示范疇

陳笑緣1， 賈 玲2

(1. 浙江商業職業技術學院， 浙江 杭州 310053； 2. 魯東大學 數學與統計科學學院， 山東 煙臺 264025)

引入弱(H,A)-Yetter Drinfeld模和弱廣義對角交叉積代數，證明了弱廣義對角交叉積的表示范疇同構于弱(H,A)-Yetter Drinfeld模范疇.

弱Hopf代數；弱(H,A)-Yetter Drinfeld模；弱廣義對角交叉積

BOHM等[1]引入的弱Hopf代數是Hopf代數重要的推廣結構之一，隨著Hopf代數理論體系的日臻完善，其在數學物理、量子群等領域的應用日漸廣泛；Yetter-Drinfeld是Hopf代數理論中的重要結構，文獻[2-3]引入的Yetter-Drinfeld數組進一步推廣了結論，得到其上的模范疇同構于對角交叉積表示范疇；文獻[4]討論了Yetter-Drinfeld群模的表示范疇；文獻[5]將Yetter-Drinfeld結構在弱Hopf群余代數環境下進行了重新構建.

本文討論弱廣義對角交叉積代數的表示范疇，推廣了Hopf代數理論中的相應內容.關于弱Hopf代數的基本概念請參考文獻[1，5-6].

定義1[1]H是域k上的弱Hopf代數.一個代數A被稱為左H-余模代數指A是左H-余模且滿足：

(1)∑(ab)(-1)?(ab)(0)=∑a(-1)b(-1)?a(0)b(0)；

類似地，右H-余模代數是一個k-代數A且是右H-余模,滿足：

(3)∑(ab)[0]?(ab)[1]=∑a[0]b[0]?a[1]b[1]；

另外，如果A既是右H-余模代數又是左H-余模代數，且對任意a∈A，滿足:

(5)∑a[0](-1)?a[0](0)?a[1]=∑a(-1)?a(0)[0]?a(0)[1]，

則稱其為H-雙余模代數.

注2 條件(2)和(4)可分別被下列式子替換：

例1[1]H是k上的弱Hopf代數，則H是H-雙余模代數可通過余乘法運算.

定義2 H是k上的弱Hopf代數.A是H-雙余模代數.一個弱左-右-(H,A)-Yetter-Drinfeld模M指M是左A-模且是右H-模，且對任意a∈A,m∈M，滿足以下等價條件之一:

(6)∑(a·m)[0]?(a·m)[1]=∑a[0](0)·m[0]?

a(-1)m[1]S-1(a[0](1))；

(7)∑a[0]·m[0]?a[1]·m[1]=∑(a(0)·m)[0]?

(a(0)·m)[1]a(-1).

用AYDH表示弱(H,A)-Yetter-Drinfeld模范疇.

引理1 H是k上的弱Hopf代數.A是H-雙余模代數.則k-空間H*?A的如下乘法是結合的：

(α?a)(β?b)=∑α(a[0](-1)?βS-1(a[1]))? a[0](0), b,α,β∈H*,a,b∈A.

證明 事實上，對任意α,β,γ∈H*,a,b,c∈A,[(α?a)(β?b)](γ?c)=∑α(a[0](-1)?βS-1(a[1]))×

(a[0](0)[0](-1)b[0](-1)?γS-1(a[0](0)[1]b[1]))?

S-1(a[1]2))(a[0](-1)2b[0](-1)?γS-1(a[1]1b[1]))?

a[0](0)b[0](0)c=∑α(a[0](-1)?

(b[0](-1)?βS-1(b[1]))?S-1(a[1]))?

a[0](0)b[0](0)c=(α?a)[(β?b)(γ?c)].

引理2 H是k上的弱Hopf代數.A是H-雙余模代數，則形如α?a-(α?a)(ε?1)和α?a-(ε?1)(α?a),α∈H*,a∈A的元素所生成的k-空間I是H*?A的雙邊理想.

證明 實際上，對任意α,β∈H*,a,b∈A,

(α?a)(β?b)-(ε?1)(α?a)(β?b)=

∑α(α[0](-1)?βS-1(a[1]))?a[0](0)b-

(1[0](-1)?αS-1(1[1]))×

(1[0](0)[0](-1)?βS-1(1[0](0)[1]a[1]))?

S-1(a[1]))?a[0](0)b-(1[0](-1)1?α

S-1(1[1]2))×(1[0](-1)2a[0](-1)?β

∑α(a[0](-1)?βS-1(a[1]))?

a[0](0)b-α(a[0](-1)?βS-1(a[1]))?a[0](0)b=0.

(β?b)(α?a)-(β?b)(ε?1)(α?a)=

∑β(b[0](-1)?αS-1(b[1]))?b[0](0)a-

β(b[0](-1)?εS-1(b[1]))×

(b[0](0)[0](-1)?αS-1(b[0](0)[1]))?

S-1(b[1]))?b[0](0)a-β(b[0](-1)1?εS-1(b[1]2))×

(b[0](-1)2?αS-1(b[1]1))?b[0](0)a=

∑β(b[0](-1)?αS-1(b[1]))?b[0](0)a-

β(b[0](-1)?(εα)S-1(b[1]))?b[0](0)a=0.

其他2個式子可類似證明.

注3 (1)若H是Hopf代數，則弱對角交叉積就是對角交叉積[3].

(2)令A=H，左右余模由余乘法給出，則弱廣義對角交叉積就是通常意義下的弱量子偶D(H).

引理3 H是k上的弱Hopf代數,A是H-雙余模代數.則有

證明 事實上，a,b∈A,α,β∈H*,

S-1(1(0)[1]2))(1(-1)2?εS-1(1(0)[1]1))?

1(0)[0]a=∑(1[0](-1)?αS-1(1[1]))?

(1[0](0)[0](-1)?αS-1(1[0](0)[1]))?

∑(1[0](-1)1?αS-1(1[1]2))(1[0](-1)2?α

S-1(1[1]1))?1[0](0)=∑(1[0](-1)?(αβ)

證明 由式(9)，M顯然是左A-模.只需證明其是右H-余模.因為對任意m∈M和α,β∈H*,

(idM?α?β)(m[0][0]?m[0][1]?m[1])=

mβ1(S-1(1[1]))β3(1[0](-1))=

(idM?α?β)(m[0]?m[1]1?m[1]2)=

β1(S-1(1[1]1))β3(1[0](-1)2)=

∑((1[0](-1)?(αβ)S-1(1[1]))1[0](0))·m=

證明 若M∈AYDH，則M自然是左H*-模，其作用為α*m=∑α(m[1])m[0].定義

∑α(a[1]m[1]S-1(a[0](-1)))a[0](0)m,

α∈H*,m∈M,a∈A.

首先，斷言上述作用是合理的.事實上，對

α∈H*,m∈M,a∈A,

S-1(a[0](0)[0](-1)2))×

ε(S-1(a[1])a[0](0)[1]2m[1]2S-1(a[0](0)[0](-1)1)×

∑α(a[1]1m[1]1S-1(a[0](-1)2))×

ε(a[1]2m[1]2S-1(a[0](1)1))a[0]0m[0]×

S-1(a[0](-1))S-1(1[0](0)[0](-1))1[0](-1))1[0](0)[0](0)×

∑α(1[1]a[1]m[1]S-1(a[0](-1))×

S-1(1[0](-1)))1[0](0)a[0](0)·m[0]=

S-1(a[0](-1)3b[0](-1)2))×

β(S-1(a[1]3)a[1]2b[1]2m[1]2S-1(a[0](-1)2b[0](-1)1)×

a[0](-1)1)a[0](0)b[0](0)m[0]=

∑α(a[1]1b[1]1m[1]1S-1(a[0](-1)2b[0](-1)2))×

∑ε(m[1])m[0]=m.

∑f(α(a[1]m[1]S-1(a[0](-1)))a[0](0)·m)=

∑α(a[1]m[1]S-1(a[0](-1)))a[0](0)·f(m)=

∑(a[0](-1)2?α2S-1(a[1]1)a[0](0))°mα1×

∑(1[0](-1)?αS-1(1[1])1[0](0)a)°m=

[(1[0](-1)1?αS-1(1[1]2))(1[0](-1)2?εS-1(1[1]1))

1[0](0)a]°m=∑(idM?α)((a·m)[0]?

(a·m)[1])∑(idM?α)(a[0]·m[0]?a[1]m[1])=

∑(a[0][0](-1)?α2S-1(a[0][1])

∑(1[0](-1)a(-1)?αS-1(1[1])1[0](0)a(0))°m=

∑(1[0](-1)?α1S-1(1[1])

S-1(1[1]))(1[0](0)[0](-1)?εS-1(1[0](0)[1]))

1[0](0)[0](0)a(0)]°mα2(a(-1))=∑(idM?α)×

((a(0)·m)[0]?(a(0)·m)[1]a(-1)).

[1] BOHM G, NILL F, SZLACHANYI K. Weak Hopf algebras (I): Integral theory and C*-structure[J]. J Algebra, 1999,221:385-438.

[2] CAENEPEEL S, MILITARU G, ZHU S. Frobenius and separable functors for generalized module categories and nonlinear equations [C]// Lecture Notes in Mathematics 1787. Berlin: Springer Verlag,2002.

[3] HAUSSER F, NILL F. Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum groups[J]. Rev Math Phys, 2011,11(5):553-629.

[4] ZUNINO M. Yetter-Drinfeld modules for crossed structures[J]. J Pure Appl Algebra, 2004,193:313-343.

[5] JIA L. Yetter-Drinfeld π-modules over weak T-coalgebra[J]. Bull Braz Math Soc: New Series,2012,43(3):375-396.

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CHEN Xiaoyuan1, JIA Ling2

(1.ZhejiangBusinessCollege,Hangzhou310053,China; 2.SchoolofMathematicsandStatisticsScience,LudongUniversity,Yantai264025,ShandongProvince,China)

The representation category of weak generalized diagonal crossed product. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(6):672-675

weak Hopf algebra; weak (H,A)-Yetter Drinfeld module; weak generalized diagonal cross product

2015-10-22.

山東省自然科學基金資助項目(ZR2012AL02).

陳笑緣(1963-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2898-9976,女,教授，主要從事代數研究.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.06.008

O 153.3

A

1008-9497(2016)06-672-04