衛星通信中一種快速RPEM 算法

李良山，楊育紅，王 蘭

(信息工程大學 信息系統工程學院，河南 鄭州 450001)

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衛星通信中一種快速RPEM 算法

李良山，楊育紅，王 蘭

(信息工程大學 信息系統工程學院，河南 鄭州 450001)

記憶多項式預失真能夠有效地補償衛星信道的非線性失真，但存在收斂速度慢的缺點．將RPEM算法應用于衛星記憶多項式預失真中，提出了一種快速收縮遞歸預測誤差算法．該算法通過利用Shrinkage方法和L1范數與L2范數差值最小化公式，獲得了噪聲自由先驗誤差與噪聲自由后驗誤差的關系，推導了一種最佳遺忘因子，有效地提高了收斂速度．仿真結果表明，收縮遞歸預測誤差算法能夠有效地抑制信號的星座扭曲和頻譜再生，解決了非線性失真的問題，同時在幾乎不增加計算復雜性的基礎上，能夠獲得較快的收斂速度和較好的穩定性．

衛星通信;非線性;預失真;信道

當衛星通信鏈路預算足夠好時，高階幅度相移鍵控(Amplitude Phase Shift Keying，APSK)調制能夠進一步地增加系統的頻譜利用率，因而得到廣泛應用．但其具有較大的包絡起伏，對功率放大器的非線性比較敏感，信號通過該信道時容易引起非線性失真，產生碼間串擾．隨著通信帶寬的提高，也會出現記憶效應．為了保證良好的通信性能，必須解決信道記憶非線性失真的問題．

星載功率放大器記憶非線性失真的補償技術主要分為兩類: 預失真技術[1-4]和非線性均衡技術[5-6]．非線性均衡技術能夠有效地降低碼間串擾，但不能保證頻譜和功率的有效利用，因而可以在發射端進行預失真補償[7]．Volterra模型預失真器能夠很好地補償功率放大器的非線性失真，但其具有較多的抽頭系數，隨著階數的增加計算復雜度呈非線性遞增[2]．文獻[8]指出，可以采用記憶多項式模型代替Volterra模型，以降低運算復雜度，且能夠保證系統性能．

對于預失真器的自適應算法，傳統的算法主要有最小均方(Least Mean Squares，LMS)算法、遞推最小二乘(Recursive Least Squares，RLS)算法和遞歸預測誤差方法(Recursive Prediction Error Method，RPEM)算法．文獻[9]研究了一種較低復雜度的RLS預失真算法，在減少計算復雜度的基礎上達到傳統RLS算法預失真性能．文獻[10]給出了基于Wiener模型的濾波LMS算法和濾波RPEM算法．其研究表明，LMS算法具有較低的計算復雜度，但收斂速度慢，穩態誤差大，而RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩態誤差．文獻[11]提出了基于Volterra模型功率放大器的Volterra濾波LMS、RPEM預失真算法，相比而言，RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩態誤差．文獻[12]提出了基于多項式預失真的一種變步長修正最小均方(Variable Step-Size Modified Least Mean Squares，VSSMLMS)算法，相比LMS算法和NLMS算法，有效地提高了預失真的收斂速度和穩態誤差．

針對衛星信道中預失真算法收斂速度慢的問題，筆者將RPEM算法應用于衛星記憶多項式預失真中，提出了收縮遞歸預測誤差方法(SHrinkage Recursive-Prediction Error Method，SH-RPEM)算法．該算法通過利用Shrinkage方法和L1范數與L2范數差值最小化的公式，獲得了無噪聲先驗誤差與無噪聲后驗誤差，并用無噪聲后驗誤差能量最小化的方法推導了一種最佳遺忘因子．仿真結果表明，SH-RPEM算法在解決非線性失真的同時，能夠獲得較快的收斂速度．

1 系統模型

圖1為高階APSK調制下的衛星通信系統等效模型，信源產生的信息序列分別經過APSK調制、平方根升余弦發送濾波器(Square Root Raised Cosine filter， SRRC)、預失真、高功率放大器(High Power Amplifier， HPA)和信道后到達接收端，再經過匹配濾波器和判決后得到所需的信息比特序列．

圖2 間接預失真工作原理

圖1 衛星通信系統模型

圖2給出了衛星通信系統間接預失真工作原理，其中預失真為奇數階記憶多項式模型[12]，且多項式訓練模塊與預失真的結構完全相同．HPA為Wiener模型，由無記憶Saleh模型的行波管放大器(Traveling Wave Tube Amplifier， TWTA) 非線性模塊g(·)和線性濾波模塊H級聯組成，并分別引起衛星信道的非線性失真和記憶效應失真．預失真的目的是使信號x(n)與z(n)呈線性關系．

首先，信號x(n)經過記憶多項式預失真后形成信號y(n)，則輸入輸出之間滿足

其中，K和M分別為記憶多項式的最高階次與記憶深度，k為奇數，θkm為預失真參數．

進一步，預失真輸出信號y(n)經過線性濾波模塊H后輸出為

其中，H(z-1)=h0+h1z-1+…+hkhz-hkh，hk0為線性濾波模塊的權系數，k0=0，1，2，…，kh，kh為正整數．

TWTA會產生幅度-幅度(AM-AM)和幅度-相位(AM-PM)效應，使得輸入信號y1(n)和輸出信號z(n)之間呈非線性關系．即 z(n)= A[ρ(n)] expj(φ0(n)+ Φ[ρ(n)])，其中， A[ρ(n)]= a1ρ(n) (1+ b1ρ2(n))，Φ[ρ(n)]= a2ρ2(n) (1+ b2ρ2(n))，分別描述AM-AM和AM-PM特性; ρ(n)和φ0(n)分別為y1(n)的幅值和相位，a1，a2，b1，b2取值為 a1=2，b1=1，a2= π/3，b2=1．

再者，Wiener功率放大器輸出信號z(n)分別經過加性高斯白噪聲v(n)和記憶多項式訓練模塊后有

2 預失真算法

2.1 VSSMLMS算法

為了解決多項式預失真中LMS算法收斂速度慢和穩態誤差大的缺點，文獻[12]提出了一種新的收斂速度快穩態誤差小的VSSMLMS算法，結合圖2可知，VSSMLMS算法權系數迭代公式為

VSSMLMS算法利用輸入信號瞬時能量Z(n)2和瞬時誤差信號之間的關系建立了一種變步長因子，相比LMS算法，能夠獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差．

2.2 RPEM算法

RPEM算法[10-11]因具有較快的收斂速度和LMS算法的相似性而被作為預失真系數更新的重要算法，其最小化代價函數為

其中，θ為式(3)中預失真權系數矢量．RPEM算法的權系數更新滿足e(n)關于θ*的負梯度方向，因而多項式訓練模塊參數更新輸入信號矢量為

由此可知，滿足式(5)的最佳化的參數更新矢量θopt=P(n) pφ(n)，其中，P(n)= E[φ(n) φH(n)]-1，pφ(n)= E[y*(n) φ(n)]．根據式(4)～(6)可知，RPEM算法如下:

其中，λ0=0.99和λ(0)=0.95為最佳值[10-11]．在實際應用過程中，遺忘因子λ(n)為遞推關系式，相比RLS算法具有較快的收斂速度．因而，為了提高算法的性能，有必要研究RPEM算法的一種最佳遺忘因子．

2.3 SH-RPEM算法

為了進一步提高RPEM算法的收斂速度，需要深入研究RPEM算法．令u(n)為變步長因子，代替式(7)中的u，可得變步長的遞推關系為

其中，P(n)=PH(n)．將式(10)代入式(11)中，同時求取εf(n)功率可得

將εf(n)2關于u(n)求導并使導數值為0，化簡可得

為了研究方便，同時將式(13)兩邊取期望并近似處理，可得

u(n)=Eef(n)2EφH(n) P(n) φ(n)·Eef(n)2+Ev(n)2

再次將式(7)中P(n)=P(n-1)-P(n-1) φ(n) S-1(n) φH(n) P(n-1)λ(n)兩邊進行求逆運算，則有

在實際應用過程中[10-11]，遺忘因子通常為0.95≤λ(n)≤1.00，故近似迭代過程中算法遺忘因子滿足 λ(n)≈ λ(n-1)．令 λ(n)≈ λ(n-1)= β0，代入式(16)中，可得

式(17)兩邊取期望，可得

其中，Mt為預失真器參數更新矢量的維數．

令D=1，a=ef(n)，則根據代價函數可得

0.5ef(n)-e(n)2+tef(n)1=sign(e(n)) maxe(n)

若使算法具有較快的收斂速度，可以適當地調整遺忘因子變化速率，使得遺忘因子的變化與收斂速度之間處于最佳狀態．根據泰勒不等式，進一步將式(22)近似處理可得

將式(23)帶入RPEM算法中，可知遺忘因子表達式為

綜合以上推導，可得SH-RPEM算法如下:

綜上所述，為了在解決衛星通信中功率放大器非線性失真問題的同時提高RPEM算法的收斂性能，通過對傳統算法的分析，建立了收斂步長和遺忘因子的近似關系，獲得了一種最佳的遺忘因子表達式，推導了SH-RPEM算法．SH-RPEM算法具有收斂速度快、剩余誤差小和穩定性好等特點．

3 復雜性分析

這里給出了VSSMLMS算法[12]、RPEM算法[11]、SH-RPEM算法以及RLS算法[2]的計算復雜性比較，如表1所示．算法的計算復雜性能夠通過每次迭代過程中加法運算次數和乘法運算次數表示．各算法的計算復雜性與多項式預失真的參數矢量維數和輸入信號矢量有關，也與算法迭代次數有關．在表1中，Mt= 0.5(K+ 1)(M+ 1)，K和M分別為記憶多項式的最高階次與記憶深度．

表1 各算法復雜性比較

4 性能仿真

圖3分別給出了預失真的輸出信號星座圖和功率譜仿真結果．從圖3中可知，無預失真時信號出現了星座扭曲和頻譜再生現象；而有預失真時，輸出信號并未出現星座扭曲和頻譜再生．圖3(b)中說明了相比于VSSMLMS算法[12]，SH-RPEM算法可以更加有效地補償信號的頻譜再生，也就是更有效地解決高功率放大器非線性失真的問題．

圖3 星座圖和功率譜仿真結果

為了更好地比較預失真算法的收斂速度和穩定性，在經過800次實驗過程平均后，各算法歸一化均方誤差[2]如圖4所示．由圖4(a)可知，LMS算法的穩態歸一化均方誤差為 -28 dB，穩定性差;VSSMLMS算法的穩態歸一化均方誤差為 -32 dB 左右，穩定性好; 而SH-RPEM算法的穩態歸一化均方誤差為 -58 dB 左右，穩定性稍差．綜合比較可知，SH-RPEM算法具有更好的性能．

圖4 歸一化均方誤差

從圖4(b)可知，RLS算法在迭代 1 400 次后歸一化均方誤差為 -56 dB 左右; RPEM算法在迭代 1 000 次后歸一化均方誤差為 -55 dB 左右，并且表現出較大的毛刺幅度，穩定性較差; SH-RPEM算法在迭代110次后歸一化均方誤差為 -58 dB 左右，并且表現出較小的毛刺幅度，穩定性較好．相比RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有最快的收斂速度、較小的穩態歸一化誤差和較好的穩定性．

5 結 論

針對衛星通信中預失真算法收斂速度慢的問題，筆者提出了一種SH-RPEM算法，獲得了一種最佳的遺忘因子，有效地增強了收斂速度．仿真結果表明，在星座圖和功率譜方面，SH-RPEM算法能夠更有效地抑制信號的星座扭曲和頻譜再生;在收斂速度和歸一化均方誤差方面，相比于LMS算法、VSSMLMS算法、RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩態歸一化均方誤差．綜上所述，SH-RPEM算法在更加有效地解決非線性失真的同時，具有較好的收斂性能．

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(編輯：李恩科)

Fast RPEM algorithm in satellite communication

LILiangshan，YANGYuhong，WANGLan

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450001, China)

The memory polynomial pre-distortion is an effective technique to compensate the nonlinearity for the satellite channel. However, its adaptive algorithm has the defect of the slow convergence speed. To counteract this problem, a fast shrinkage Recursive Prediction Error Method (SH-RPEM) algorithm is devised for the memory polynomial pre-distortion over the nonlinear satellite channel. By using a known Shrinkage method andL1-L2minimization formulation, the relationship between the noise-free posteriori and priori error signal is obtained. Furthermore, an optimal forgetting factor which can significantly enhance the convergence speed is proposed by minimizing the mean square of the noise-free posteriori error signal. Simulation results show that the SH-RPEM algorithm can effectively suppress constellation wrapping and spectrum regrowth of the signal and solve the nonlinear distortion. Moreover, the SH-RPEM algorithm can achieve a faster convergence speed and better stability without increasing the computational complexity.Key Words: satellite communication; nonlinear; pre-distortion; channel

2015-11-09

時間：2016-04-01

國家自然科學基金資助項目(61379006，61171108)

李良山(1989-)，男，信息工程大學碩士研究生，E-mail: liliangshan168@126.com．

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.tn.20160401.1622.042.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.06.021

TN927

A

1001-2400(2016)06-0122-07