基于壓縮感知的多普勒超分辨模型研究

趙凱恒，伍光新，王建明

(南京電子技術(shù)研究所, 南京 210039)

?

·信號(hào)處理·

基于壓縮感知的多普勒超分辨模型研究

趙凱恒，伍光新，王建明

(南京電子技術(shù)研究所, 南京 210039)

低脈沖重復(fù)頻率(PRF)雷達(dá)是解決多目標(biāo)多普勒模糊的關(guān)鍵技術(shù)之一，基于此雷達(dá)工作體制，提出一種基于壓縮感知(CS)理論的多普勒超分辨處理方法，利用該方式下回波信號(hào)在相參積累時(shí)間內(nèi)的時(shí)域欠采樣特性及多普勒域的稀疏特性，構(gòu)建了多普勒超分辨的CS模型，并采用正交匹配追蹤算法對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行超分辨處理。同時(shí)，提出了一種改進(jìn)算法，即基于SVD分解的二次測(cè)量及動(dòng)態(tài)感知聯(lián)合優(yōu)化算法模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性及可靠性。

多普勒超分辨；壓縮感知；多重復(fù)頻率；SVD分解；感知矩陣；動(dòng)態(tài)感知

0 引 言

多普勒超分辨是信號(hào)處理中的重要研究?jī)?nèi)容之一，在雷達(dá)成像、機(jī)群分辨等軍事領(lǐng)域尤為重要。傳統(tǒng)的多普勒處理方式是將接收信號(hào)通過(guò)一個(gè)多普勒濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)，相干積累時(shí)間的大小限制了多普勒分辨率的提高。若目標(biāo)在雷達(dá)波束照射期間或者雷達(dá)波束處于掃描狀態(tài)時(shí)發(fā)生越距離單元走動(dòng)，目標(biāo)的有效相干積累時(shí)間將受到極大的限制[1]。

2004年，Donoho與Cands等人提出壓縮感知理論，一個(gè)充分利用信號(hào)稀疏性或可壓縮性的全新信號(hào)采集與編解碼理論。該理論表明，當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，通過(guò)采集少量的信號(hào)投影值就可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)[2]。

在雷達(dá)場(chǎng)景中，由于目標(biāo)在多普勒域的稀疏特性，因此可以應(yīng)用壓縮感知理論，在有限的相干積累時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的多普勒超分辨[3]。然而稀疏字典的非正交性影響了多普勒信號(hào)的重構(gòu)精度和重構(gòu)概率，限制了其超分辨的能力。

基于此，本文提出一種動(dòng)態(tài)感知聯(lián)合優(yōu)化算法模型(SVD-TSM DP)優(yōu)化算法，其是在原超分辨模型的基礎(chǔ)上增加一測(cè)量步驟，通過(guò)降低感知矩陣的相關(guān)性來(lái)提高重構(gòu)概率和重構(gòu)能力；同時(shí)，為了以最大概率重構(gòu)出原始信號(hào)，提出一種動(dòng)態(tài)生成測(cè)量矩陣的聯(lián)合優(yōu)化算法，相關(guān)理論框圖如圖1所示。

圖1 多重PRF壓縮感知模型與SVD-TSM DP優(yōu)化模型對(duì)比圖

1 多重PRF基本采樣模型

脈沖重復(fù)頻率(PRF)[4]是脈沖體制雷達(dá)的主要參數(shù)之一，本文在張玉璽等[5]提出的基于壓縮感知理論的多普勒解模糊處理的基礎(chǔ)上進(jìn)行多普勒超分辨工作，模型的論證過(guò)程可參考文獻(xiàn)[5]。

基于壓縮感知的多普勒解模糊模型[5]為

min‖s‖1st.As=y

(1)

式中：s為信號(hào)多普勒頻譜響應(yīng)；y為慢時(shí)間域非均勻采樣序列；A由雷達(dá)各PRF值、感興趣目標(biāo)的多普勒頻率范圍fmax、每個(gè)采樣脈沖所對(duì)應(yīng)的慢時(shí)間取樣時(shí)刻tm(m= 0,1,…,M-1)、相參時(shí)間內(nèi)總的脈沖采樣數(shù)M以及多普勒頻率抽樣位置fn(n=0, 1,…,N-1)決定

(2)

當(dāng)考慮噪聲的情況，上述模型轉(zhuǎn)化為

min‖s‖1st.As+n=y

(3)

式(3)即為本文進(jìn)行多普勒超分辨的基礎(chǔ)模型。

2 SVD-TSM DP算法

2.1 SVD矩陣優(yōu)化

在壓縮感知理論中，矩陣的RIP性質(zhì)決定了信號(hào)的恢復(fù)能力，并且通過(guò)定義RIP常數(shù)來(lái)刻畫(huà)某一矩陣性質(zhì)的好壞[6]。

文獻(xiàn)[6]中給出了判斷一個(gè)矩陣是否滿(mǎn)足RIP性質(zhì)的計(jì)算也是比較繁瑣和困難的。除RIP理論可以衡量一個(gè)矩陣處理稀疏信號(hào)的能力外，人們提出了相關(guān)性判別理論、矩陣Spark判別理論、測(cè)量算子零空間理論及k-neighborly理論等。在這些理論中，只有相關(guān)性判別理論能夠較為直觀地判別某一矩陣的形態(tài)[6]。因此本文主要通過(guò)相關(guān)性判別理論作為優(yōu)化算法的前提。

感知矩陣A的各列間的互相關(guān)系數(shù)[7]可以用下式求得

S=AHA

(4)

式中：S對(duì)角線(xiàn)上為各列的自相關(guān)系數(shù)，其他元素為對(duì)應(yīng)列之間的互相關(guān)系數(shù)，我們的目標(biāo)是使S盡可能的逼近單位矩陣I，下面開(kāi)始進(jìn)行SVD優(yōu)化算法理論分析。

基于壓縮感知理論的多重復(fù)頻率信號(hào)多普勒信號(hào)超分辨的求解模型為

min‖s‖1st.As+n=y

式中：A為M×N矩陣；s為N×1向量，M遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N。為了保證模型的重構(gòu)能力，我們?cè)谶x取雷達(dá)PRF參數(shù)時(shí)保證A行滿(mǎn)秩條件。

現(xiàn)在對(duì)以上模型兩邊同時(shí)乘以一個(gè)M×M的矩陣Ψ，此處稱(chēng)之為優(yōu)化矩陣，得到新的方程為y′=ΨAs，另y′=y，得y=ΨAs，我們的最終目標(biāo)是使新得到的壓縮感知矩陣ΨA的相關(guān)矩陣近似逼近單位陣。

S=BHB=AHΨHΨA

(5)

整理得

(6)

(7)

(8)

將λ1=[λΘ] 代入式(8)得

(9)

由于λ和λ2均為對(duì)角陣，另

(10)

(11)

式(9)可以寫(xiě)為

(12)

由于V1為酉矩陣，因此令

βi=1/|αi|2， i=1,2,…,M

(13)

則S近似為單位陣。因此我們得到

(14)

因?yàn)棣?ΨHΨ，所以我們另

(15)

我們得到了二次測(cè)量矩陣Ψ基于原始測(cè)量矩陣A的表達(dá)式。

基于壓縮感知理論的多重復(fù)頻率信號(hào)多普勒信號(hào)超分辨的二次測(cè)量求解模型模型為

min‖s‖1st.ΨAs+Ψn=y

(16)

稱(chēng)之為SVD-STM算法模型。

2.2 SVD-TSM DP算法

在SVD-STM模型中，由于稀疏字典的冗余性，使得SVD-TSM算法的性能大大降低，同時(shí)OMP算法[8]具有很復(fù)雜的運(yùn)算，使得本算法執(zhí)行效率偏低。因此，提出一種動(dòng)態(tài)矩陣形成的聯(lián)合優(yōu)化算法。本算法首先通過(guò)常規(guī)多普勒解模糊方法確定目標(biāo)多普勒位置，然后根據(jù)目標(biāo)的多普勒位置動(dòng)態(tài)選擇多普勒頻率值f，再由f確定壓縮感知算法所需的感知矩陣，此時(shí)模型的稀疏字典由于只包含目標(biāo)位置附近的稀疏基向量，因此對(duì)于分辨率相同的情況下，由于多普勒頻率范圍的縮小，N可以選擇相對(duì)較小的值。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行原始?jí)嚎s感知模型的多普勒超分辨處理以及二次測(cè)量多普勒超分辨處理，根據(jù)常規(guī)解模糊處理的結(jié)果選擇重構(gòu)效果最好的一個(gè)，從而得到我們想要的超分辨處理結(jié)果。算法流程圖如圖2所示。

動(dòng)態(tài)生成感知矩陣的規(guī)則為：首先，確定稀疏字典的規(guī)模，即選定M和N；然后，應(yīng)用常規(guī)多普勒解模糊算法得出多普勒頻率所在的num個(gè)位置；第三步，根據(jù)所得的頻率大概位置在每個(gè)頻率點(diǎn)附近開(kāi)頻率窗，頻率窗大小為L(zhǎng)=N/num，如圖3所示。

圖2 SVD-TSM DP算法流程圖

圖3 多普勒頻率開(kāi)窗示意圖

判別規(guī)則為：將相同窗內(nèi)的多普勒超分辨處理結(jié)果與常規(guī)解模糊處理結(jié)果的頻率進(jìn)行比較，小于偏離門(mén)限則超分辨結(jié)果成功。

3 仿真分析

對(duì)于多重參差方式，仿真所采用的三種PRF值分別為fr1=1 048 Hz，fr2=905 Hz，fr3=1 097 Hz；每種PRF發(fā)射的子脈沖數(shù)為85個(gè)，總相參處理時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)為M=255。通過(guò)分析可知常規(guī)算法的分辨率為10 Hz左右。

3.1 矩陣RIP性質(zhì)驗(yàn)證

(17)

采用本文上述基于壓縮感知理論的多普勒超分辨處理， 設(shè)置多普勒門(mén)寬度Δf =0.8Hz、2.4Hz、5.6Hz、10Hz，N=2 000，頻率范圍從0-Δf ×N。按式(2)構(gòu)造CS矩陣A，對(duì)不同K-稀疏情況下的RIP屬性驗(yàn)證結(jié)果如圖4所示，隨機(jī)驗(yàn)證次數(shù)為10×K ×N次[4]，RIC近似值按式(17)計(jì)算。根據(jù)圖4的結(jié)果，超分辨處理中所用的確定型CS矩陣A在Δf=0.8Hz時(shí)不滿(mǎn)足無(wú)失真條件，在其他Δf處滿(mǎn)足無(wú)失真重構(gòu)條件，并且SVD優(yōu)化算法可以提高矩陣的RIP性，相較未優(yōu)化前有更好的重構(gòu)性能，可以保證對(duì)多普勒譜s的有效估計(jì)。

圖4 RIC近似值

3.2 SVD-TSM DP算法仿真驗(yàn)證

3.2.1 相鄰目標(biāo)分辨能力仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)定k=2，M=255，原始超分辨模型、SVD-STM模型采用N=2 000，SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N= 500，多普勒分辨率Δf從0.4到10，不加噪聲，通過(guò)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)來(lái)統(tǒng)計(jì)其在不同多普勒分辨率下原始超分辨模型、SVD-STM模型和SVD-STM DP模型的重構(gòu)概率，重建算法采用OMP算法，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同多普勒分辨率情況下三種模型重構(gòu)概率對(duì)比圖

如圖所示，多普勒分辨率大于2 Hz時(shí)，SVD-STM算法效果明顯優(yōu)于原始模型，并且當(dāng)多普勒分辨率大于6 Hz時(shí)重構(gòu)概率100%，而在小于2 Hz時(shí)原始模型優(yōu)于SVD-STM算法，而SVD-STM DP算法則綜合利用了兩種模型的優(yōu)點(diǎn)，重構(gòu)性能大幅提升，尤其在分辨率為2.4 Hz時(shí)重構(gòu)概率達(dá)到了99.4%，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)處理算法的分辨率。

3.2.2 多個(gè)目標(biāo)分辨能力仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)定M=255，原始超分辨模型、SVD-STM模型采用N=2 000，SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N=500，分辨率為2.4 Hz，k從1到20，不加噪聲，通過(guò)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)來(lái)統(tǒng)計(jì)其在不同稀疏度下原始超分辨模型、SVD-STM模型和SVD-STM DP模型的重構(gòu)概率，重構(gòu)算法采用OMP算法，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同稀疏度情況下三種模型重構(gòu)概率對(duì)比圖

如圖6所示，原始模型在稀疏度為3時(shí)其重構(gòu)概率已經(jīng)降到了14.4%，而SVD-STM模型的重構(gòu)性能相比原始模型有了很大提高。當(dāng)k=7時(shí)，重構(gòu)概率降到了15.4%，而基于動(dòng)態(tài)感知的SVD-STM DP算法相對(duì)前兩種算法其性能有了顯著提升；當(dāng)k=10時(shí)，其重構(gòu)概率為57.4%；當(dāng)k=13時(shí)，其重構(gòu)概率降到了10.2%，其多目標(biāo)分辨能力有了顯著提升。

3.2.3 不同信噪比下重構(gòu)性能仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)定M=255， SVD-STM DP模型多普勒頻率總的窗大小選擇N=500，分辨率為2.4 Hz，k=2，目標(biāo)多普勒頻率為f1=69.6 Hz,f2=530.4 Hz，信噪比從0 dB到40 dB，對(duì)SVD-STM DP進(jìn)行仿真，統(tǒng)計(jì)的相對(duì)誤差如圖7所示。

圖7 不同信噪比下SVD-STM DP算法相對(duì)誤差性能曲線(xiàn)

由圖7所示，當(dāng)信噪比大于0 dB的時(shí)候，相對(duì)誤差隨著信噪比的增加線(xiàn)性減小，當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí)，相對(duì)誤差比降到10%以?xún)?nèi)，20 dB時(shí)相對(duì)誤差比降到1%以?xún)?nèi)，因此本算法在信噪比大于0 dB時(shí)具有較好的性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于壓縮感知的多普勒超分辨模型，感知矩陣滿(mǎn)足RIP條件。提出的SVD-STM DP算法本質(zhì)上采用SVD分解進(jìn)行感知矩陣的RIP性能優(yōu)化，改善了傳統(tǒng)壓縮感知重構(gòu)算法的適用范圍，提升了同時(shí)多目標(biāo)分辨能力，能夠在低信噪比環(huán)境下適用，且明顯降低了運(yùn)算量，相對(duì)傳統(tǒng)多普勒處理算法具有更高的分辨率及更優(yōu)的估計(jì)性能，是一種適應(yīng)性很強(qiáng)的超分辨算法。

[1] 劉記紅, 徐少坤, 高勛章,等. 壓縮感知雷達(dá)成像技術(shù)綜述[J].信號(hào)處理，2011，27(2): 252-260. LIU Jihong, XU Shaokun, GAO Xunzhang, et al. A review of radar imaging technique based on compressed sensing[J]. Signal Processing，2011，27(2): 252-260.

[2] 汪 祺. 壓縮感知綜述[DB/OL]. [2015-03-01]. http://wenku.baidu.com/view/3c058397dd88d0d233d46af7.html，2011. 10.20. WANG Qi. A review of compressed sensing[DB/OL].[2015-03-01].http://wenku.baidu.com/view/3c058397dd88d0d233d46af7.html，2011.10.20.

[3] CANDES E. Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(2): 489-509.

[4] 屠亞蘭. 非均勻采樣信號(hào)重構(gòu)技術(shù)及其在PD雷達(dá)HPRF信號(hào)處理中的應(yīng)用[J]. 現(xiàn)代雷達(dá)，1997, 19(2): 84-87. TU Yalan. Reconstruction techniques of signals nonuniformly sampled and its application to PD radar signal processing in HPRF[J]. Modern Radar，1997, 19(2): 84-87.

[5] 張玉璽, 孫進(jìn)平, 張冰塵, 等. 基于壓縮感知理論的多普勒解模糊處理[J]. 電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33(9): 2103-2107. ZHANG Yuxi, SUN Jinping, ZHANG Binchen, et al. Doppler ambiguity resolution based on compressive sensing theory[J]. Journal of Electronics & Information Technology，2011，33(9): 2103-2107.

[6] 徐志強(qiáng). 壓縮感知[DB/OL].[2015-03-01]. http://3y.uu456.com/bp-47dfe211866fb84ae45c8db5-1.html,2012.1.12. XU Zhiqiang. Compressive sensing[DB/OL].[2015-03-01]. http://3y.uu456.com/bp-47dfe211866fb84ae45c8db5-1.html，2012.1.12.

[7] 賀亞鵬, 朱曉華, 莊珊娜, 等. 壓縮感知雷達(dá)波形優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，35(4): 519-524. HE Yapeng, ZHU Xiaohua, ZHUANG Shanna, et al. Optimal waveform design for compressive sensing radar[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology，2011，35(4): 519-524.

[8] TROPP J A, GILLBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Transactions on Information Theory,2007,53(12):4655- 4666.

趙凱恒 男，1988年生,碩士研究生。研究方向?yàn)閴嚎s感知,雷達(dá)總體系統(tǒng)研究等。

伍光新 男, 1980年生,博士,高級(jí)工程師。研究方向?yàn)橄嗫仃嚴(yán)走_(dá)總體技術(shù), 雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別技術(shù)等。

王建明 男，1970年生，博士,研究員級(jí)高工。研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)工程，自適應(yīng)陣列處理等。

A Study on Doppler Super Resolution Algorithm Model Based on Compressive Sensing

ZHAO Kaiheng，WU Guangxin，WANG Jianming

(Nanjing Research Institute of Electronics Technology, Nanjing 210039, China)

Low pulse repetition frequency (PRF) radar is one of the key technologies for Doppler ambiguity resolution of multiple targets. With the traditional radar system, a Doppler super resolution method based on compressive sensing is proposed. Under the analysis of the sub sampling characteristics in time domain and sparse characteristics in Doppler domain during the coherent processing interval, the CS model of Doppler super resolution is established,and the OMP algorithm is used in the processing. On the basis of the original algorithm, an improved algorithm is proposed named joint optimization algorithm of SVD-two step measurement and dynamic perception (SVD-TSM DP), and the simulation results verify the effectiveness and reliability of the improved algorithm.

Doppler super resolution; compressive sensing; low pulse repetition frequency; singular value decomposition; sensing matrix; dynamic perception

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.03.008

趙凱恒 Email：zkheng2010@126.com

2015-10-11

2015-12-18

TN911.7

A

1004-7859(2016)03-0038-05