具廣義功能反應(yīng)函數(shù)非自治捕食系統(tǒng)的持久性和概周期問(wèn)題

齊新社，鄧?yán)冢S瑞平，王娜

(1.西安通信學(xué)院，陜西 西安 710106；2.邊防學(xué)院，陜西 西安 710108)

具廣義功能反應(yīng)函數(shù)非自治捕食系統(tǒng)的持久性和概周期問(wèn)題

齊新社1，鄧?yán)?，黃瑞平1，王娜1

(1.西安通信學(xué)院，陜西 西安 710106；2.邊防學(xué)院，陜西 西安 710108)

針對(duì)既有捕食關(guān)系，有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的三種群混合非自治捕食系統(tǒng)，將經(jīng)典的Holling功能反應(yīng)函數(shù)推廣為廣義功能反應(yīng)函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)，運(yùn)用常微分方程定性理論知識(shí)，研究了系統(tǒng)的持續(xù)性和全局漸近穩(wěn)定性，并進(jìn)一步討論了此系統(tǒng)的正概周期解的存在性和穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)存在唯一、全局漸近穩(wěn)定正概周期解的充分條件，對(duì)已有的結(jié)論進(jìn)行了較大程度的推廣.

功能反應(yīng)函數(shù)；持續(xù)性；概周期解

1 引言

近年來(lái)，食餌捕食系統(tǒng)的周期解受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，得到了種群持續(xù)生存和存在全局漸近穩(wěn)定的正周期解的充分條件[1-4].在許多情況下，特別是考慮到季節(jié)及種群的繁殖等因素的影響，一個(gè)更切合實(shí)際且更一般的食餌捕食模型應(yīng)當(dāng)是概周期的.眾所周知，概周期現(xiàn)象是以周期現(xiàn)象作為它的特例，是比周期現(xiàn)象更廣泛的一類(lèi)現(xiàn)象，因而具有較高的研究?jī)r(jià)值.食餌–捕食系統(tǒng)中存在著各式各樣的食餌對(duì)捕食者的功能性反應(yīng)函數(shù)，其中最為常見(jiàn)的就是HollingII類(lèi)和HollingIII類(lèi)[5].已有許多文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了研究.近來(lái)又相繼提出并研究了具HollingIV類(lèi)功能反應(yīng)函數(shù)

(見(jiàn)文獻(xiàn)[6])和具一般的Holling類(lèi)功能性反應(yīng)函數(shù)(見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7])的捕食系統(tǒng)，得到了極限環(huán)的存在唯一性條件.

2 持續(xù)性

定理2.1 假設(shè)系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足以下條件：

其中xL，xM，yL，ym見(jiàn)下面證明過(guò)程中所取的值，則系統(tǒng)(1)是永久性持續(xù)生存的[8].

3 全局漸近穩(wěn)定性

下面討論系統(tǒng)(1)的全局漸近穩(wěn)定性.

定理3.1 若系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足定理1中的條件(H1)，(H2)，(H3)及下面三個(gè)條件：

則系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的.

4 概周期解的存在唯一性

為了研究系統(tǒng)(1)的概周期解的存在唯一性，考慮下述乘積系統(tǒng)

引理4.1 設(shè)D是R3+的一個(gè)開(kāi)集，函數(shù)V(t，x，y)定義在R+×D×D上，滿(mǎn)足：

而且設(shè)原系統(tǒng)(1)當(dāng)t＞t0＞0時(shí)有位于緊集S?D中的解，則系統(tǒng)(1)在S中存在唯一且一致漸近穩(wěn)定的概周期解p(t)，滿(mǎn)足mod(p)?f.

定理4.1 若概周期系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足條件(H1)，(H2)，(H3)，(H4)，(H5)，(H6)，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正概周期解，且是全局漸近穩(wěn)定的.

參考文獻(xiàn)

[1]蘆雪娟，堵秀鳳.一類(lèi)具有常數(shù)收獲率的功能性反應(yīng)模型的定性分析 [J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26(6)：62-765.

[2]姜玉秋.一類(lèi)稀疏效應(yīng)下食餌-捕食者系統(tǒng)的脈沖控制[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2008，46(1)：23-26.

[3]劉振杰.具有時(shí)滯和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的N種群食物鏈系統(tǒng)的周期解[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(2)：277-280.

[4]趙明，程榮福.一類(lèi)具生物控制和比率型功能反應(yīng)的食物鏈系統(tǒng)周期解的存在性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2009，47(4)：730-736.

[5]張樹(shù)文，譚德君.具有 HollingⅡ類(lèi)功能反應(yīng)且周期系數(shù)的三種群混合模型的研究 [J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，15(3)：353-357.

[6]王繼華，曾憲武.一類(lèi)具有簡(jiǎn)化 HollingⅣ類(lèi)功能反應(yīng)的捕食 -食餌模型的定性分析 [J].數(shù)學(xué)雜志，2004，24(6)：701-705.

[7]Chen Liujuan，Sun Jianhua.Qualitative analysia on a class of ecosystem[J].Ann.of Diff.Eqs.，2004，20(4)：337-341.

[8]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)模型與研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

Persistence and almost periodic solutions of non autonomous predator prey system generalized functional response

Qi Xinshe1，Deng Lei2，Huang Ruiping1，Wang Na1
(1.Xi′an Communication Institute，Xi′an 710106，China；2.Frontier Academy，Xi′an 710108，China)

In this paper，the mixed model with predatoriness and competition of three species is discussed. Through intending the classical Holling functional response with general functional response and building up the Liapunov function，the globe asymptotically stable and durative of system are studied.Then the stability and existing of almost periodic solution are discussed，and obtain some sufficient conditions for a unique positively global asymptotical stability almost periodic solution and extend the current conclusion.

functional response，solution，persistence，almost periodic

O175

A

1008-5513(2016)03-0243-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.003

2016-04-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金(61305083).

齊新社(1974-)，碩士，副教授，主要研究方向：微分方程定性理論研究.

2010 MSC:34D05，34D20