偏錐b-度量空間中的不動點定理

張慧芳，薛西鋒

(西北大學數學學院，陜西 西安 710127)

偏錐b-度量空間中的不動點定理

張慧芳，薛西鋒

(西北大學數學學院，陜西 西安 710127)

在偏錐度量空間的基礎上，介紹了偏錐b-度量空間的相關概念，提出了偏錐b-度量空間和錐b-度量空間的關系，并給出了一個簡單的例子，最后研究了偏錐b-度量空間中在沒有正規性的條件下的一些不動點定理，從而推廣了巴拿赫壓縮原理.

偏錐b-度量空間；不動點定理；非正規性

1 引言

文獻 [1]提出了錐度量空間及一些基本概念，并研究了正規錐下的一些不動點定理，文獻[2]研究了非正規錐度量空間中的不動點定理.文獻[3]提出了錐b-度量空間中在沒有正規性條件下的一些不動點定理，文獻[4]在非正規的偏錐度量空間中推廣了巴拿赫壓縮原理，本文在文獻[1-4]的基礎上，提出了偏錐b-度量空間的相關概念，并指出了其和錐b-度量空間的關系，最后證明了非正規偏錐b-度量空間中的一些不動點定理.

2 預備知識

設E是一個拓撲向量空間，P是E的一個非空閉子集，若滿足：

則稱P為E中的一個錐.設x，y∈E，若x≤y?y-x∈P和x?y?y-x∈intP，則稱“≤”和“?”都為E中的偏序，這里intP表示P的內部.若intPΦ，則稱P為體錐.如果對于任意的x，y∈E都存在常數M＞0，使得當θ≤x≤y，都有‖x‖≤M‖y‖，則稱P為范數向量空間(E，‖·‖)中的正規錐，而滿足上式最小的M稱為P的正規常數.

引理 2.1[4]設P為范數向量空間(E，‖·‖)的一個體錐，{un}是E的一個序列，若對每個ε∈intP，存在一個正整數n0，使得ε±un∈intP，即un?ε，對所有的n≥n0，則un依范數收斂于θ.

引理2.2[5]設(X，d)為Rn+上的完備的錐度量空間，且有映射 T：X→X.若存在一個線性有界映射L：Rn+→Rn+，且它的譜半徑r(L)＜1，使得

定義 2.1[1]設 X 是一個非空集合，P是拓撲向量空間 E的一個錐，假設映射 d：X×X→P滿足：

定義 2.2[3]設X是一個非空集合，P是拓撲向量空間E的一個錐，s≥1為給定的實數，假設映射d：X×X-→P滿足：

定義 2.3[4]設 X 是一個非空集合，P是拓撲向量空間 E的一個錐.假設對于任意的x，y，z∈X，映射p：X×X-→P滿足：

定義 2.4 設X是一個非空集合，P是拓撲向量空間E的一個錐，s≥1為給定的實數.假設對于任意的x，y，z∈X，映射p：X×X-→P滿足：

注 2.1每個錐b-度量空間都是一個偏錐b-度量空間.下面的例子表明了偏錐b-度量空間卻不一定是錐b-度量空間.

定義2.5[4]設(X，p)為一個偏錐b-度量空間，{xn}?X，x∈X，則

定義2.6[6-7]設(X，p)為范數向量空間(E，‖·‖)上的關于體錐P的偏錐b-度量空間.

3 主要結果及其證明

定理3.1 設(X，p)是范數向量空間(E，‖·‖)的一個體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間，且有映射 T：X→X.如果存在一個線性有界映射L：P→P，且r(L)＜1，使得

定理3.2 設(X，p)是范數向量空間(E，‖·‖)的一個體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間，且有映射 T：X→X.若存在四個非負數c1，c2，c3，c4，且c1+c2+c3+2c4＜1，使得

參考文獻

[1]Huang Longguang，Zhang Xian.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Mathematica Analysis and Applications，2007，332：1468-1476.

[2]Rezapour S，Hamlbarani R.Some notes on the paper’Cone Metric Spaces and fixed Point theorems of contractive mappings’[J].Mathematica Analysis and Applications，2008，345：719-724.

[3]Huang H，Xu S.Fixed Point theorems of contractive mappings in cone b-metric spaces and applications[J]. Fixed Point Theory and Applications，2014，2014：1-5..

[4]Jiang S，Li Z.Extensions of Banach contraction principle to partial cone metric spaces over a non-normai solid cone[J].Fixed Point Theory and Applications，2013，2013(1)：1-9.

[5]Agarwal R P.Contraction and approximate contraction with an application to multi-point boundary value problems[J].Comput.Appl.Math.，1983，9：315-325.

[6]Sonmez A.Fixed Point theorems in partial cone metric spaces[J].arxiv，2011：1101.2741v2.

[7]Sonmez A.On partial cone metric space[J].arxiv，2012：1207.6766v1.

Fixed point theorems in partial cone b-metric spaces

Zhang Huifang，Xue Xifeng
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China)

In this paper，we introduce the relevant concepts of partial cone b-metric spaces on the basis of partial cone metric spaces.Then we put forward the relationship between partial cone b-metric spaces and cone b-metric spaces and give a simple example.At last，We study some fixed point theorems in partial cone b-metric spaces over a non-normal solid cone.Our results also generalize Banach contraction principle.

partial cone b-metric spaces，fixed point theorems，non-normality

O177.91

A

1008-5513(2016)03-0263-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.05

2015-11-04.

陜西省自然科學基金(2012JM1017).

張慧芳(1990-)，碩士生，研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:60B12