外加橫向激勵對固-鉸支承管道流固耦合振動的影響

朱衛(wèi)平,周楚健,狄勤豐

(上海大學上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所,上海　200072)

外加橫向激勵對固-鉸支承管道流固耦合振動的影響

朱衛(wèi)平,周楚健,狄勤豐

(上海大學上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所,上海200072)

首先,由Hamilton原理推導外側(cè)施加橫向激勵的輸液管道流固耦合彎曲振動微分方程,針對固-鉸支承管道提出一種新的振型函數(shù),利用Galerkin法求得前五階固有頻率表達式,并且通過對比驗證了新振型函數(shù)的正確性.其次,在一階截斷情況下求得這類管道的撓度、彎矩和剪力表達式,討論了流速、液壓和外激頻率變化對固-鉸支承管道中點撓度和最大彎矩的影響.結(jié)果表明,由新振型函數(shù)確定的前五階固有頻率不僅計算簡便而且具有很高的精度,同時驗證了輸液管道固有頻率對液壓和流速的依賴性,也證實了對于流固耦合問題,結(jié)構(gòu)發(fā)生共振與外激頻率接近結(jié)構(gòu)固有頻率有關(guān)同樣適用.

流固耦合；固有頻率；受迫振動；Galerkin法；固-鉸支承管道

管道普遍存在于水利水電、石油化工、航空航天、海洋工程、城市供氣、供水排水等領(lǐng)域,被稱為是除公路、鐵路、水運和航空以外的第五大運輸方式.管道大多存在流固耦合振動問題,例如在日常生活中打開自來水龍頭時聽到管路隆隆的振動聲,給花園澆水時軟管的扭抖等都與水管的流固耦合效應(yīng)有關(guān).隨著科學技術(shù)的不斷進步,現(xiàn)代管道結(jié)構(gòu)朝著長距離、高壓、高流速方向發(fā)展,對管道的設(shè)計要求愈來愈高,控制不好會導致嚴重的噪聲污染和管道破裂等災(zāi)難性事故.因此,人們必須比以往更加重視這一問題.

輸液管道流固耦合振動問題的基本模型雖然經(jīng)過簡化,但卻不能忽略流體和結(jié)構(gòu)之間的相互作用而單獨對流體和管道進行討論.管道在流體載荷的作用下會發(fā)生變形和運動,而管道的變形和運動又會反過來影響管道內(nèi)流場的分布,繼而改變流體載荷的大小和分布,如此往復,便形成了流體和管道的耦合振動.自20世紀50年代以來,國內(nèi)外學者已經(jīng)對管道流固耦合振動問題進行了大量的研究.最初研究主要集中在典型約束條件下的線性振動問題[1-2],而近二十多年,研究更多關(guān)注的是各種非線性振動問題[3-6],以及熱效應(yīng)[7]、含裂紋的管[8]、有分枝的管[9]等.利用有限元軟件可以研究更復雜的流動作用[10].以往的研究較少涉及受外加激勵作用的管道流固耦合振動問題.

本工作研究固-鉸支承輸液管道施加橫向周期激勵的強迫振動問題,從Hamilton原理導出的線性流固耦合彎曲振動微分方程入手,以多項式和三角函數(shù)近似描述振型函數(shù),采用Galerkin法,給出固有頻率、撓度、彎矩和剪力計算公式,并結(jié)合算例進行對比和討論.

1　基本方程

固-鉸支承輸液管道模型如圖1所示,該模型服從Euler梁假定,流體沿橫截面取平均,根據(jù)Hamilton原理,有

式中,T為管道和液體的動能,V為管道的彈性勢能,δWnc為非保守力做的功.T,V,δWnc的具體表達式如下：

式中,f為梁撓度,E為管材彈性模量,I為管道橫截面慣性矩,Ai為管道內(nèi)液體橫截面面積, m為單位長度管道的質(zhì)量,m0為單位長度液體的質(zhì)量,P為液體壓強,v為液體流速,Fk為作用在x軸坐標為ck的集中力.若記a=(m0v2+PAi)/EI,b=(m+m0)/EI,k=2m0v/EI,則按變分原理化簡,由式(1)可得如下形式的微分方程：式中,帶系數(shù)k的項為哥氏慣性力,是流體相對于管道具有線速度v,而管道橫截面又繞自身中性軸轉(zhuǎn)動的結(jié)果.式(2)即為帶橫向外激勵的輸液管道流固耦合彎曲振動微分方程,對于小轉(zhuǎn)動梁,可略去哥氏慣性力k,以便采用分離變量法求解.

圖1　固-鉸支承輸液管道示意圖Fig.1　Schematic diagram of clamped-hinged pipeline

2　近似理論解

2.1自由振動固有頻率

根據(jù)分離變量法,將f(x,t)=Y(x)T(t)代入式(2),令Fk=0,并略去哥氏慣性力,整理得

對于圖1所示的固-鉸支承結(jié)構(gòu),假設(shè)

式中,ai為待定常數(shù),Ni為振型函數(shù).可以看出,式(6)滿足固-鉸支承梁兩端全部邊界條件：Y(0)=0,Y＇＇(0)=0,Y(l)=0和Y＇＇(l)=0.這類問題的振型函數(shù)一般只取式(6)中的三角函數(shù)部分,這就導致固定端的剪力恒為0,即Y＇＇＇(0)≡0.若以完整的式(5)作為振型函數(shù),則能克服固定端的剪力恒為0的缺點.若要計算結(jié)構(gòu)的前五階固有頻率,可對Y(x)進行五階截斷,即

將式(7)代入式(5),然后進行積分,考慮到δai的任意性,必有

式中,hij(i,j=1,2,…,5)為已知參數(shù)a、管長l和特征參數(shù)c的表達式.齊次方程組(8)有非零解的條件是|hij|=0,展開此行列式可得

對任一有物理意義的固-鉸支承管道,解一元五次代數(shù)方程(9)可以得到5個正實根ci(i= 1,2,…,5).將5個正實根分別代入式(4),則可求得固-鉸支承管道的前五階固有頻率

為驗證本方法的正確性,考慮v=0,P=0的情況,此時模型退化為普通固-鉸支承梁的自由振動問題.由于此種情況下無液壓、無流速,梁的彎曲剛度為管道彎曲剛度,梁的質(zhì)量為管材質(zhì)量與液體質(zhì)量之和,則前五階固有頻率的準確值[11]為

取固-鉸支承管道(垂直懸掛)長度l=9 m,外徑D=89 mm,內(nèi)徑d=76 mm,彈性模量E= 2×1011Pa,泊松比μ=0.3,管材密度為7800 kg/m3,流體密度為1 000 kg/m3,然后分別按式(10)和(11)計算,結(jié)果如表1所示.

表1　自由振動情況下普通固-鉸支承梁固有頻率的對比Table 1　Comparisons of natural frequencies of free vibrating champed-hinged beam

從表1可知,第一階固有頻率下得出的解與準確解幾乎重合,其余情況下的最大相對誤差約為2%.當流速v為0,50,70 m/s,液壓P為0～10 MPa時,固-鉸支承梁結(jié)構(gòu)前四階固有頻率的變化如圖2所示.可以看出,各階固有頻率均隨流速和壓力的增大而減小.

圖2　不同流速下固有頻率隨液壓的變化Fig.2　Natural frequencies varying with liquid pressure at different flow velocities

流固耦合振動問題最顯著的特征就是結(jié)構(gòu)固有頻率依賴于流體壓力和流速.由于流固耦合問題求解析解的復雜性,在已有報道中較難找到便于工程應(yīng)用的固-鉸支承梁流固耦合固有頻率算式,而本工作給出的式(9)和(10)則為實際需要提供了便利.

2.2強迫振動

為簡單起見,設(shè)激勵

式中,F0為激勵的幅值,?為激勵頻率.

固-鉸支承管道的撓度

式中,

式(14)為式(6)的一階截斷.將式(12)～(14)代入式(2),同時略去哥氏慣性力,并對式(14)變分(δY1(x)=N1(x)δa1),再利用Galerkin法,可得

或

對式(16)進行積分,整理后可得

式中,ω1為一階固有頻率,

其中分子和分母分別代表系統(tǒng)的廣義剛度和廣義質(zhì)量；Q1為廣義力,

需要注意的是,式(18)表示的ω1是直接取一階振型截斷的結(jié)果,其精度比按式(10)取前五階振型截斷得到的ω1略低,但二者的物理意義相同.對式(18)進行積分,可得

當不計流速和液壓影響時,a=0,式(20)退化為式(11)中i=1的情況,二者相對誤差約為2%.當流速v＞0時,要使式(20)中的ω1為實數(shù),液壓必須滿足：

當流速v=0時,由式(21)可求得極限壓力：

當壓力P=0時,由式(21)可求得極限流速：

在任何情況下,液壓均不能超過管道破裂強度.關(guān)于管道破裂強度有多種經(jīng)驗公式,如美國石油協(xié)會(American Petroleum Institute,API)標準要求

式中,σys為管材屈服極限,D為管道外徑,t為管道壁厚.如按計算自由振動固有頻率(見表1)時所取的管道尺寸,再取σys=550 MPa,則由式(21)可得P≤70 MPa.根據(jù)式(22)和(23)可求得液壓和流速的極限分別為15.7 MPa和125.2 m/s,由此可以初步估算圖2所示情況下流速和液壓所容許的變化范圍.

方程(17)對應(yīng)的零初始條件解為

將式(25)代入式(13),并利用式(14)和(19),可求得固-鉸支承管道的撓度為

3　算例

以圖1所示的結(jié)構(gòu)為例(垂直懸掛放置),設(shè)激勵Fk=F0sin(?t)作用點的x坐標ck= 0.5l,F0滿足5F0l3/(768EI)=0.01,即當管道處于靜止狀態(tài)且內(nèi)部無流體時,F0作用在跨度中點能使其作用點產(chǎn)生0.01 m的撓度,其余參數(shù)與計算固-鉸支承梁自由振動固有頻率(見表1)時相同.

圖3　不同液壓和流速下固-鉸支承管道中點撓度時程曲線Fig.3　Middle point deflections varying with time under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline

圖4為激勵頻率?=7π rad/s,液壓P為1.5,3.0,4.5 MPa時,在0～30 s內(nèi)固-鉸支承管道固定端的最大彎矩隨流速的變化.由于流速能夠改變系統(tǒng)的固有頻率,隨著流速的增加,固有頻率可能會接近或遠離激勵頻率,從而導致共振的發(fā)生或平息.由圖4可以看出,峰值所在區(qū)間為發(fā)生共振時的流速區(qū)間,這一結(jié)果可以解釋為何有的自來水龍頭當開到某一位置(某一流速)時會聽到強烈的振動聲.同時應(yīng)注意,單純高壓并不意味著會產(chǎn)生較大的振幅.圖4中, P=4.5 MPa對應(yīng)的振動彎矩最小,這是因為共振的發(fā)生本質(zhì)上取決于流固耦合共同產(chǎn)生的固有頻率與激勵頻率是否接近.

圖4　不同液壓下固-鉸支承管道最大彎矩隨流速的變化(0～30 s)Fig.4　Maximum bending moments varying with flow rate under different pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

圖5為0～30 s內(nèi)不同液壓和流速下固-鉸支承管道固定端發(fā)生的最大彎矩隨激勵頻率的變化.P=0MPa和v=0m/s,P=5.0 MPa和v=50 m/s,P=10 MPa,v=70 m/s 3種情況對應(yīng)的一階固有頻率ω1分別為24.80,17.93和5.65 rad/s.盡管激勵幅值不變,但當激勵頻率與特定工況的一階固有頻率接近時,彎矩將變得非常大(不考慮阻尼時為無窮大).結(jié)構(gòu)設(shè)計時應(yīng)特別注意這種情況.

圖5　液壓和流速不同時固-鉸支承管道最大彎矩隨激勵頻率的變化(0～30 s)Fig.5　Maximum bending moments varying with stimulating frequency under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

4　結(jié)束語

本工作從工程實用的角度分析了固-鉸支承輸液管道彎曲振動的固有頻率與液壓和流速的關(guān)系，以及管道撓度和彎矩在外加激勵作用下的響應(yīng).由Hamilton原理推導了施加橫向集中激勵作用的細長管道流固耦合彎曲振動微分方程,針對固-鉸支承管道提出一種新的振型函數(shù),結(jié)合Galerkin法獲得五階固有頻率近似解以及一階截斷的強迫振動解,討論了固-鉸支承輸液管道中點撓度、最大彎矩與液壓、流速、激勵頻率的關(guān)系.研究結(jié)果能夠幫助解釋日常生活中發(fā)生的一些流固耦合現(xiàn)象,能夠為有關(guān)工程設(shè)計提供理論支持,也為進一步深入研究奠定了基礎(chǔ).對于大撓度管道或者管內(nèi)流速較大的情形,振動微分方程中的科氏慣性力不能忽略,但若考慮科氏慣性力,將會增加理論分析的難度.對于輸氣管,由于氣體密度與所受壓力之間有較強的依賴性,需要補充具體(非理想)氣體的狀態(tài)方程方可利用本工作中的方法進行求解.

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Effect of lateral stimuli on vibration of clamped-hinged pipeline with fluid-structure interaction

ZHU Weiping,ZHOU Chujian,DI Qinfeng
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

The fluid-structure interaction vibration equation of a clamped-hinged pipeline under steady flow,liquid pressure and lateral stimulating force is derived based on the Hamilton principle.A new mode function suitable for the Galerkin method is used to solve the equation.Expressions of the first five orders of natural frequencies of the system are derived and validated.Next,deflection,bending moment,and transverse force exerted on the cross-section of the clamped-hinged pipeline are expressed with the first-order approximation of the mode function.The effects of liquid pressure,flow velocity,and stimulating frequency on the middle-point deflection,maximal bending moment throughout the clamped-hinged pipeline are discussed.The results show that the natural frequencies of the clamped-hinged pipeline are easy to calculate and with high accuracy using the method. Their values depend on the liquid pressure and flow velocity in the pipe.The phenomenon that resonance occurs when the natural frequency is close to the stimulating frequency also exists in fluid-structure interaction.

fluid-structure interaction；natural frequency；forced vibration；Galerkin method；clamped-hinged pipeline

O 322

A

1007-2861(2016)05-0597-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.023

2015-03-05

國家自然科學基金資助項目(U1663205,51174130)；上海市重點學科建設(shè)資助項目(S30106)；上海市科委部分地方院校能力建設(shè)計劃重點資助項目(12160500200)

朱衛(wèi)平(1962—),男,研究員,博士生導師,博士,研究方向為生物力學、振動力學. E-mail:wpzhu@shu.edu.cn