一種改進的模極大值混沌信號降噪方法

劉云俠，劉培超，初振云，王克生

(山東科技大學 工程實訓中心，山東 青島 266590)

?

一種改進的模極大值混沌信號降噪方法

劉云俠，劉培超，初振云，王克生

(山東科技大學 工程實訓中心，山東 青島 266590)

基于混沌和噪聲的不同表現特征，提出一種改進的小波模極大值信號降噪方法。首先，該方法根據不同尺度噪聲殘余率的差別，確定離散二進制小波變換的最優分解尺度。然后，結合奇異譜理論對小波變換后的近似系數進行處理，去除表征噪聲的較小奇異值；利用空間尺度相關性分析細節系數，自適應選取模極大值的閾值范圍，提取有用信號，體現混沌系統內部特性。以Lorenz模型和月太陽黑子為例進行仿真分析，驗證了本方法的可行性和實用性，提高了系統的信噪比，降低了系統的重構誤差。

小波模極大值；奇異譜分析；空間尺度相關；降噪

混沌來源于確定性動力系統，具有初始敏感性和不可預測性，在各類學科中得到了廣泛應用[1-2]。實際觀測混沌信號都含有一定的噪聲，噪聲的普遍存在破壞了系統內在特性，影響了對系統的進一步研究[3]，因此對混沌信號進行有效降噪具有重要意義。

近年來，小波理論的日益完善，使其在信號降噪領域發揮了重要作用[4]。在小波降噪方法中，模極大值降噪方法具備良好的理論基礎，無需事先知道噪聲的方差，因此能夠準確刻畫信號的奇異性和局部特性。模極大值方法[5-7]由Mallat等提出，能夠去除噪聲對應的模極大值點，對混沌信號進行有效的時頻分析。關于該降噪理論的研究，也出現了一些改進方法[8-11]，有基于模極大值小波域的包絡降噪方法、閾值與模極大值跟蹤相結合的降噪方法以及基于模極大值曲線長度閾值的降噪方法等，這些方法均具有一定降噪效果，但是在降噪過程中，小波分解尺度和模極大值閾值的準確選取較困難。

本文針對小波模極大值降噪過程中存在的問題，提出一種改進的模極大值混沌信號降噪方法。該方法首先對混沌信號進行離散二進制小波變換，然后分別利用奇異譜和尺度相關性，對近似系數和細節系數進行處理，客觀確定模極大值的閾值范圍，進而去除代表噪聲的奇異點。為了反映降噪效果，分別從時間域和空間域對降噪前后的信號進行分析，不同角度呈現所提方法降噪的可行性。

1 基本模極大值降噪原理

信號經小波變換后，其系數的模極大值包含信號的奇異性，通過閾值的設置、分析和抑制可以實現奇異性強度的改變，達到降噪的目的[5]。

假設在L2(R)空間內，對實際觀測混沌信號f(n)進行離散小波變換，可以得到：

(1)

通常，信號奇異點包含本質信息，奇異性用Lipschitz指數描述。有用信號的Lipschitz指數為正值，噪聲的Lipschitz指數為負值。小波變換的模極大值與Lipschitz指數之間具有如下的關系：

(2)

其中：系數A>0，b表示離散小波平移因子的系數。有用信號和噪聲在小波不同分解尺度上的模極大值具有不同的特性。α>0時，小波模極大值隨著分解尺度的增大而增大，說明該處的奇異性主要由信號引起；反之，模極大值隨著尺度的增大而減小，說明該處的奇異性主要由噪聲引起。

基本的小波模極大值降噪方法具有一定的實用性，但是分解尺度和模極大值閾值范圍的確定比較困難。小波變換分解尺度過多過少，都會導致有用信號丟失，信噪比下降。模極大值范圍選取不當，也會造成各個尺度上對應的小波系數中含有的噪聲較多，降噪偏差增大。

2 一種改進模極大值降噪方法

針對基本模極大值降噪方法的缺點，本文提出一種改進的模極大值降噪方法。該方法先對混沌信號進行離散二進制小波分解，噪聲包含在由高頻組成的細節系數中。通過細化小波分解信號，利用噪聲殘余率的計算確定最優的分解尺度，結合尺度相關性分析自適應確定模極大值的閾值范圍，來對小波系數進行處理，實質是抑制信號中的噪聲恢復有用信號。

改進的模極大值降噪方法的基本過程如下：

1)選取合適的離散二進制小波，對含噪聲混沌信號進行J尺度小波分解，確定最優的分解尺度。本文主要通過小波變換后不同尺度上小波系數的噪聲殘余率來確定最優分解尺度，從而解決基本模極大值降噪方法分解尺度難確定的問題。

2)小波分解近似系數分析。雖然近似系數是有用信號的近似，但仍包含一定的噪聲成分，本文主要對其進行奇異譜分解，去除較小代表噪聲的奇異值。

3)小波分解高頻細節系數模極大值閾值范圍的客觀自適應選取。結合空間尺度相關分析對模極大值的閾值進行量化處理，保留系數中的有用信息，從而解決基本模極大值降噪方法模極大值閾值范圍難確定的問題。

4)為了對本文提出降噪方法的降噪效果進行驗證，主要從時間域和空間域進行分析，多角度體現降噪的性能。

在以上過程中，關鍵的是最優分解尺度和模極大值閾值范圍的確定。從某種程度上講，模極大值閾值范圍的準確選取直接關系著降噪的效果和對信號的進一步分析。

2.1 最優分解尺度選取

利用離散二進制小波對信號進行變換，分解尺度的選取非常重要。最優分解尺度的確定，利于小波系數的準確分析，提高系統的信噪比。通過小波變換后不同尺度上小波系數的噪聲殘余率來確定最優分解尺度，噪聲殘余率的定義為：

(3)

通過式(3)可以看出，當噪聲殘余率取值最小時，所對應分解尺度的近似系數越逼近原始有用信號，即為小波變換的最優分解尺度。

2.2 小波分解近似系數分析

混沌信號經過小波變換，會被分解為近似系數和細節系數。基本模極大值降噪方法只對細節系數進行分析，忽略了近似系數中的噪聲，降噪效果不明顯。在充分考慮混沌和噪聲特性的基礎上，對近似系數和細節系數分別進行分析。

(4)

(5)

選取前l個主分量和特征向量對近似系數進行重構，可以得到：

(6)

重構后的近似系數，進一步降低了信號中的噪聲，能夠增強系統的整體特性。

2.3 細節系數模極大值分析

模極大值閾值范圍的選取與降噪的效果有著直接關系，也是信號降噪的關鍵。為了客觀準確地對模極大值閾值范圍自適應選取，本文采用空間尺度相關性對細節系數進行分析。由于有用信號和噪聲能量隨著尺度的增大變化不同，因此可以對不同尺度細節系數進行相關性分析。

假設信號小波變換后尺度j上位置n處的細節系數為dj(n)，那么相關系數矩陣如式(7)所示：

Cj(n)=dj(n)×dj+1(n)。

(7)

由于相鄰尺度信號相互影響，一般選取相關運算的尺度數為2。同時，定義歸一化相關系數矩陣如下：

(8)

(9)

對細節信號dJ(n)，有用信號的能量較大，噪聲的能量較小，因此模極大值的閾值范圍選取不應太大，以免去除過多的有用信號。此時，可以通過比較NorCj(n)與dj(n)的絕對值對細節系數進行分析，具體如下：

(10)

對經過上述處理的近似系數和各層細節系數進行重構，就得到了降噪后的信號，即：

(11)

通過分析可以看出，該降噪方法能夠更大程度的保留信號，去除噪聲，體現系統的結構特性。

2.4 降噪評價標準

為驗證所提方法降噪效果的優劣，主要從以下兩個方面分析。

一方面，對已知動態特性的混沌信號，計算其信噪比SNR和均方根誤差RMSE，公式分別如下：

(12)

另一方面，對實際觀測混沌信號，從時間相關性Tcorr及空間遞歸性Rec分析，公式分別如下：

(13)

對于混沌信號，具有低頻特性，自相關函數值遠大于噪聲，遞歸圖對稱且具有一定的規律性，確定性和遞歸度較大。相反，噪聲具有高頻特性，自相關函數值較小，遞歸圖雜亂無章。因此，可以通過以上指標對降噪前后的信號進行分析，從而反映降噪方法的性能。

3 仿真實例分析

基于以上理論，本文主要對加噪聲的Lorenz混沌信號和實際觀測太陽黑子進行降噪分析。

3.1 Lorenz系統

Lorenz為已知動態特性的系統，其模型方程如下：

(14)

當σ=10，r=28，b=8/3時，Lorenz為混沌系統。利用離散二進制小波db2～db10分別對加噪20%的Lorenz混沌信號進行6尺度小波變換，各個尺度小波系數的噪聲殘余率如表1所示。

由表1可以看出，噪聲殘余率隨著分解尺度的增加先減小后增大，這主要是由于信號中包含噪聲所致。當分解尺度為3時，小波系數的噪聲殘余率最小。因此，采用本文方法對混沌信號降噪時，選擇db7小波，最優分解尺度為3。

表1 不同尺度的噪聲殘余率

Tab.1 Noise residual rate in different scales

分解尺度噪聲殘余率db2db3db4db5db6db7db8db9db1010.52180.52660.52260.51400.50680.50540.50980.51610.519620.28580.26910.25730.27470.27660.26020.26950.27980.264430.18280.15260.14130.14410.14090.14060.14120.13910.142940.62890.38160.25460.30780.21790.19790.24640.17500.183953.06882.62502.61152.41652.25002.19342.25612.23492.039368.93688.88509.38299.33099.02659.32599.51289.32359.3740

分別利用基本的小波模極大值方法、小波閾值方法和本文方法對加噪20%的Lorenz信號降噪，降噪前后的相空間圖如圖 1所示：

圖1 Lorenz信號降噪相空間比較

Fig.1 Phase space comparision of Lorenz signal before and after noise reduction

當噪聲水平分別為5%、10%、15%、20%、30%、 50%、70%、90% 和100%時，降噪后系統SNR和RMSE 曲線如圖2所示。

圖2 不同噪聲水平下的SNR和RMSE曲線

Fig.2 SNR and RMSE Curves under different noise levels

通過對比可以看出，本文方法能夠對已知動態特性的Lorenz混沌信號進行有效的降噪，在提高信噪比的同時，降低了系統的均方根誤差。

3.2 太陽黑子

太陽黑子，能夠反映太陽的活動，對地球水文、氣候的變化有著直接影響[12]。由于環境、噪聲各種因素的影響，實際觀測太陽黑子數的混沌特性不明顯，影響進一步的研究，因此對其進行有效的降噪具有很重要的意義。

選取1761年1月到2010年12月共3 000個太陽黑子數，利用db7小波進行3尺度離散二進制小波變換，分別采用基本模極大值方法、小波閾值方法和本文方法對其進行降噪。在時間域，降噪前后太陽黑子及本文方法降噪后去除噪聲部分的自相關函數值如表2所示。

在空間域，主要是對實際觀測太陽黑子進行遞歸分析。遞歸現象是確定性動力系統的一個最基本的特征，也是混沌系統的特點。取降噪前后200個數據，當嵌入維數為5，延遲時間為1，空間信號距離為10時，進行仿真分析，三種方法降噪前后的遞歸圖如圖3所示。

表2 自相關函數值

圖3 太陽黑子遞歸圖

Fig.3 Recursive graphs of sunspots

通過表2和圖3可以看出，采用本文方法降噪后的太陽黑子自相關性更強，遠大于去除噪聲部分的自相關函數值，實際觀測太陽黑子的遞歸規律雜亂無章，采用降噪方法降噪后，呈現了一定的遞歸和確定性。通過對比發現，本文方法在去除系統噪聲的同時，很好的展現了系統的混沌動態特性，從而為進一步的研究提供了理論基礎。

4 結論

本文根據信號和噪聲在小波變換不同尺度上有不同的表現特性，結合奇異譜和空間尺度相關分析，對基本模極大值降噪方法進行了改進。改進降噪方法不僅能夠對實際觀測混沌信號進行有效降噪，而且降噪性能穩定，能夠很好保持信號的奇異性和光滑性。通過對Lorenz和實際觀測太陽黑子進行仿真試驗，并從信噪比、均方根誤差、自相關函數及遞歸圖等方面對降噪效果進行對比，證明了本文改進方法降噪的有效性。

[1]MOLAIE M,JAFARI S,MORADI M H,et al.A chaotic viewpoint on noise reduction from respiratorysounds[J].Biomedical Signal Processing and Control,2014,10:245-249.

[2]WU Q,LAW R,WU E,et al.A hybrid-forecasting model reducing Gaussian noise based on the Gaussian support vector regression machine and chaoticparticle swarm optimization[J].Information Sciences,2013,238(20):96-110.

[3]BEHERA S K,DAS D P,SUBUDHI B.Functional link artificial neural network applied to active noise control of a mixture of tonal and chaotic noise[J].Applied Soft Computing,2014,23:51-60.

[4]MURGUIA J S,CAMPOS C E.Wavelet analysis of chaotic time series[J].Revista Mexicana De Fisica,2006,52(2):155-162.

[5]MALLAT S,WEN L H.Singularity detection and processing with waveletes[J].IEEE Transactions on Information Theory,1992,38(2):617-643.

[6]ZHANG L,BAO P,PAN Q.Threshold analysis in wavelet-based denoising[J].Electronics Letters,2001,37(24):1485-1486.

[7]DAVID L,DONOHO J.Denoising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.

[8]HSU C F.Adaptive fuzzy wavelet neural controller design for chaos synchronization[J].Expert Systems with Applications,2011,38(8):10475-10483.

[10]HAN M,LIU Y,XI J.Noise smoothing for nonlinear time series using wavelet soft threshold[J].IEEE Signal Processing Letters,2006,14(1):62-65.

[12]GEORGE L,XENOPHON M.The sunspot as an autonomous dynamical system:A model for the growth and decay phases of sunspots[J].Physica A:Statistical Mechanics and Its Applications,2007,379(2):436-458.

(責任編輯：傅 游)

An Improved Modulus Maximum Method for Noise Reduction of Chaotic Signals

LIU Yunxia,LIU Peichao,CHU Zhenyun,WANG Kesheng

(Engineering Training Center,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

Based on the different features between chaos and noise,an improved wavelet modulus maximum method is proposed for noise reduction of signals. Firstly,the optimal decomposition yardstick of discrete binary wavelet is determined by noise residual rate analysis in different scales. Secondly,the approximate coefficients are handled by the singular spectrum analysis in order to remove the less singular value which can character noise,while the spatial scales relevancy is used for the analysis of the wavelet coefficients in different scales in order to determine the threshold range of the wavelet modulus maximum treatment adaptively and reserve the useful signals mixed in noise and reflect the internal characteristics of chaotic system. The chaotic signals generated by Lorenz model and monthly sunspots are respectively applied for simulation analysis,the numerical experiment results confirm the advantages of the method raised in this paper,including the improved signal to noise ratio and the reduced reconstruction error of the system.

wavelet modulus maximum; singular spectrum analysis; spatial scales relevant; noise reduction

2016-01-14

劉云俠(1983—)，女，山東臨沂人，助教，碩士，主要從事非線性信號處理和智能控制的研究. E-mail：liuyunxia06@163.com

TN911

1672-3767(2016)05-0114-07