混合變分不等式的變分原理

黃冬梅

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009)

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混合變分不等式的變分原理

黃冬梅

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009)

描述并分析了有限維空間中混合變分不等式的變分原理,同時給出了混合變分不等式的解基于鞍點的刻畫,最后,針對一些特殊情型給出了混合變分不等式問題基于經典優化問題的等價性刻畫。因為線性，非線性補問題也可納入混合變分不等式問題的框架，所以文章中得到的結果也可以直接用于這類問題。

變分不等式；混合變分不等式；變分原理

0 引 言

混合變分不等式是Duvaut與Lions在文獻[1]中引入的,

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,?y∈K，

(1)

1 預備知識

為了描述問題(1)的變分原理,先介紹一些凸分析中的基本概念和結果[6,7]。

定義的函數δK稱為K的示性函數。由δK的定義,可以驗證δK是一個閉正常凸函數而且domδK=K。

f(y)-f(x)≥〈ξ,y-x〉

則稱ξ為凸函數f在點x處的次梯度。一般來說,在某點處的次梯度未必只有一個,將f在點x處的全體次梯度構成的集合記為?f(x),并稱之為f在點x處的次微分。

這表明，x∈levf(f°g,β)，即f°g下半連續。

即f+g是閉的。

凸函數的次微分與共軛函數之間有著如下的聯系[6,7]。

此外,若f為閉正常凸函數,則ξ∈?f(x)也等價于x∈?f*(ξ)。

有了上述準備, 可以將混合不等式問題(1)的解與函數次微分之間聯系起來。

證明 先證充分性。由于K為閉凸集,δK為閉正常凸函數,又由于f也為閉正常凸函數,且domf∩K≠?，利用引理1,f+δK也為閉正常凸函數。假設-F(x)∈?(f+IK)(x),則

(f+δK)(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉。

(2)

特別地,取y∈domf∩K,則上式變為

f(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉,

這表明x∈K。在(1)中取y∈K,則有

f(y)-f(x)≥〈-F(x),y-x〉,?y∈K,

也即

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,?y∈K。

這樣,x是混合變分不等式問題(1)的解。

再證必要性,假設x∈K是混合變分不等式問題(1)的解,則對任意的y∈K,有

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0，

從而

(f+δK)(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉。

由次梯度的定義,有-F(x)∈?(f+δK)(x)。

2 混合變分不等式問題的變分原理

(3)

(4)

我們有如下的結果:

(f+h+δK)(x)+(f+h+δK)*(ξ)≥〈ξ,x〉。

(5)

特別地,任取ξ=▽h(x)-F(x)及x∈K,有

f(x)+h(x)+(f+h+δK)*(▽h(x)-F(x))≥〈▽h(x)-F(x),x〉，

(6)

即是

(7)

(8)

其中h如(3)所定義。

(9)

我們有如下的結論：

(h+δK)(x)+(h+δK)*(ξ)≥〈x,ξ〉。

(10)

由于domf∩domh∩K≠?,特別地,任取ξ=-F(x)-▽f(x)+▽h(x)及x∈K,有

h(x)+(h+δk)*(-F(x)-▽f(x)+▽h(x))≥〈x,-F(x)-▽f(x))+▽h(x)〉，

從而

由于f,h在包含K的某個開鄰域上連續可微, 由次微分定義有

?h(x)={▽h(x)},?f(x)={▽f(x)}。

從而有

-F(x)∈?(f+δK)(x)。

由引理2,知x是混合變分不等式(1)的解。

(3)證明與定理1對應結果的證明類似。

3 混合變分不等式的解與鞍點

在本節中,K,f,h與前面一樣且K?domf∩domh。為了引入與定理1中的變分原理相對應的對偶變分原理,定義L1∶K×K→(-∞,+∞)如下：

L1(x,y)=〈y-x,▽h(x)-F(x)〉+f(x)-f(y)+h(x)-h(y)。

(11)

當f在包含K的某個鄰域上連續可微時,下面引入與定理2中的變分原理相對應的對偶變分原理。定義L2∶K×K→(-∞,+∞)

L2(x,y)=〈F(x)+▽f(x)-▽h(x),x-y〉+h(x)-h(y)。

(12)

且有與定理3類似的如下結果。

證明 與定理3的證明類似。

4 例子

本節將給出第3節中關于變分不等式(1)變分原理應用的一些具體例子。

例1 設混合變分不等式(1)中的K是一個閉凸集,f在包含K的某個開鄰域上連續可微,則在(8)中取h(x)≡0,有

F(x)+▽f(x)∈K*,〈F(x)+▽f(x),x〉=0。

當然,它們也都等價于如下的最小值問題

在(8)中令h≡0,x∈K,由定理2,混合變分不等式問題(1)等價于求如下函數的最小值問題

[1] DUVAUT G，LIONS J.Les inequations en mechanique et en physique[M].Paris：Dunod,1972.

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[3] HAN W M，REDDY B D.On the finite element method for mixed variational inequalities arising in elastoplasticity[J].SIAM J. Numer.Anal.1995,32(6):1778-1807.

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[10] AUCHMUTY G.Duality for nonconvex variational principles[J].J.Differential Equations.1983,50(1):80-145.

Variational Principles for Mixed Variational Inequalities

HUANG Dongmei

(College of Mathematic and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637002,China)

The theory of mixed variational inequality problems has wide applications in economics,finance,optimization and game theory.This paper describes and analyzes variational principles for the solution of mixed variational inequalities on closed convex sets in finite dimensional Euclidean spaces.A saddle point characterization of the solution is also given.Some special cases are also given to illustrate mixed variational inequalities.Since linear,and nonlinear complementarity problems may be framed as mixed variational inequalities,this theory also applies to such problems.

variational inequality;mixed variational inequality;variational principle

1673-5072(2016)03-0297-06

2015-12-26 基金項目：國家自然科學基金項目(11371015)；教育部科學技術重點項目(211163);四川省青年科技基金(2012JQ0035)

黃冬梅(1980—) , 女, 湖北荊州人,講師,主要從事優化理論及應用研究。

黃冬梅，E-mail: huangdmmath@163.com

O221

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.03.012