構建數學模型感悟數學魅力
——《點表示數》教學案例

韋 莉

【教學內容】

浙教版五年級上冊第114頁。

【教學目標】

1.通過探究方格紙中點的不同位置，認識數的表示方法。

2.在觀察、猜測、驗證的學習過程中，培養學生有序思考的意識和推理概括能力。

3.在學與用的過程中，感受數學的神奇與魅力。

【教學重、難點】

感知不同位置表示的位值。

【教學過程】

一、揭示課題、嘗試探索

師：今天我們一起來研究在方格里用點表示數。（板書）

師：同學們請看，3應該怎么表示？

生：把點放在從右邊數第三個格子表示3。

生：點在右邊數的第1個格子代表1，點在右邊數第2個格子代表2，在這兩個格子里都放點就可以表示3了,因為1和2合起來是3。

師:其他同學和他想的一樣嗎？

師：大家發現了么？從右起第1個格子放點代表1，在第2格放點代表2，這兩個位置都放上點，合起來代表3。

【說明：參照教材直接出圖，學生很容易受十進制計數法的影響看成“21”或“12”，很難和表示3聯系起來。直接將問題“3應該怎么表示”拋給學生讓他們思考，體現了兩點：一是開放，學生猜想3是怎么表示的，他們有自己的想法，也得到了表達的機會。二是意外，學生的想法看似合理，但結果卻出乎他們的意料。在經歷了對計數法進行再創造的思考，學生的學習熱情高漲，充滿對新計數法探索的欲望。】

師：4可以怎樣表示呢？

生：可以這樣放點，從右邊起，第1個格子放1個點，第2個格子放1個點，這樣表示的是3，要表示4就得在第1格再放一個點。

生：可是一個格子只能放一個點！

生：我覺得在右邊數第3個格子放1個點。

生：在右邊第4格放點。

師：同學們對于4的表示方法，各有各的想法，你們覺得誰最有道理？我們先采用在右起第3個格放點來代表4的方法。等會兒再往下研究看看行不行。

【說明：讓學生討論“4”的表示，初步感知在“每格只能放1個點”的前提下怎樣表示4更合適？實際上從右邊起第1格和第2格都畫上點時，能表示的最大的數是3，要表示4，就需要再往前一格，這是二進制中一次明顯的“進位”，盡管這時很多學生尚未能感受到，而少數學生也只有模糊地感知，但這里的認知刺激已構成對新計數方法的猜想，指明了后續研究的方向和目標，是學生建構位值概念的起步。交流過程中，教師不急于介入引導，學生的思維品質在相互的交流碰撞中逐漸提升。】

師：觀察1～4的表示方法，你有什么發現？

一個格子只能放1個點

生：我發現代表1是在從右往左第1個格子放1個點，代表2是在右往左第2個格子放1個點，但是代表3，就是在從右往左第1格和第2格各放上1個點，運用了加法，把它算出來了。

生：要代表某個數的話，可以是兩個數的和，也可以在某個位置上放1個點。

師：同學們隱隱約約感覺到了在這些數的表示中只用1個點來表示哪幾個數？

生：1、2、4。

師：而3是？

生：3得用1和2合起來表示。

生：我想問一個問題，如果“3”可以用加法表示，“4”那里能不能用加法來表示呢？

師：你們說呢？

生：不可以，因為2加2或1加3等于4，如果用1和3的話，1的位置就會重疊；如果用2加2的話，第2格就會重復。

師：誰還有補充？

生：像3這樣可以用多個點相加來表示，不行的話，那些數就用一個點來表示。

師：這樣的想法可不可行呢？接下來我們借助1、2、4這幾個單點表示的數，看看能不能表示出其它的數。請你在練習紙上第1題，用鉛筆畫一畫，寫一寫。

（學生獨立完成，展示學生作業）

師：同學們，請停筆，眼睛看到大屏幕。讓我們一起來聽聽他的想法。

生：我覺得4加1表示5，所以在第3格畫一個點，在第1格畫一個點；4加2等于6，在第3格畫一個點，在第2格畫一個點；4加3等于7，所以在第3格畫一個點，在第2格和第1格各畫一個點，4加2加1是7。8的話應該是……

師：他不知道怎么表示8，有沒有辦法表示8？

生：我覺得，因為7用4、2、1來相加，7的下格就是8。

生：因為4加2加1表示7了，8呢只能是 4加 4，5加 3，7加1，如果這樣的話那它都會有重疊，所以需要用另一個新格子表示8。

師：剛才咱們借助1、2、4表示出了5～7，在表示8的時候，同學們都發現了，右起3格子都填滿的時候，最大只能表示幾？

生：7。

師：我們要表示8，只能再往前1格，在右起第4格放點表示8。

師：現在回想一下，剛才咱們用右起3格的位置放點表示4，是不是有一些道理？

生：是。

【說明：“4為什么不能也像3那樣用加法表示？”“怎樣表示8？”這些問題的提出都反映出理解進制是難點。所以更要讓學生去經歷從產生困難到克服困難的過程，強化“1個格子只能放1個點子”、“需要新的格子表示”等等非常具象的二進制概念，感受計數單位的產生和擴展。在此基礎上，教師引導明確：前面三格（即3個計數單位）都放點最多只能表示7，表示“8”的時候，要用一個新的格子（新的計數單位）來表示。再回應前面“4”的表示，學生對單位、進制的感知從朦朧到逐步清晰。】

師：從1～8的表示中(出示圖)，你又有什么發現？

生：我發現用點代表的數，如果幾個數相加能表示，就不用新的格子表示，如果幾個數相加起來不能表示，就要用新的格子表示。

生：從1～8，能用加法的用加法，不能用加法的獨占一格，用上新的格子，前面的這些點要全部去掉。

生：我發現，像前面比如說3填滿了兩格，4就要用第3格來表示，7填滿了3格，8就要用第4格來表示。

生：我想強調一下：無論怎么加，它都會重復的話，就要新添一格來表示這個數。

【說明：有經歷，還需有反思，才能形成經驗、甚至是概括性的認識。鼓勵學生基于個性化的理解，使用個性化的語言來評價和概括“用點表示數”的活動，從不同角度、不同認知層次來揭示新的計數方法的實質，包括位值、進制等等。】

師：那么從你們的發言中，是不是可以發現在這些數中，有些是特別重要的？

生：1、2、4、8。

師：既然這么重要，我們把它請出來，表示在黑板上。

師：想說什么？你來說。

生：我發現2是1的2倍，4是2的2倍，8是4的2倍。

生：我發現了每向右一格，表示的數都會乘2。

師：你們還有什么問題想提出來嗎？

生：我想問，為什么有這樣的規律呢？

師：會提問也是會學習的表現。

師：好，看來同學們都關注了這幾個位置所表示的數以及它們之間的關系，有同學還提出了問題，猜想一下，右起下一個格子表示？

生：16。

師：你們怎么知道是16的？

生：8×2=16。

生：因為用前面這些數加起來：8+4+2+1=15，所以要新開一個數表示16。

師：是不是和你們想的一樣呢？我們繼續借助 1、2、4、8表示更多的數來試一試。

（學生介紹9～16的數的表示）

師：這樣表示可以嗎？不對的請改正過來。

師：現在1～16都在方格里用點表示出來了，對于這種用點表示數的方式你有什么認識嗎？

生：一些數相加都不能得到一個數，就得重新開一格來表示。

生：從右往左，每一個格子表示的數都是乘2、乘2……

生：一些數是單個格子就能表示的，許多數是由多個格子加起來表示的。

生：我發現，新開一格的數，等于它右邊所有格子表示的數相加再加上1。

師：如果繼續往下，16左邊這一格表示幾？再左邊一格？

生：32，64。

師：用點子在格子里可以表示這么多不同的數，點在不同的位置，表示不同的數。

二、學以致用，深化體驗

師：根據剛才學到的用點表示數的方法，把答案寫在方框里。

師：我看到你是第一個舉手完成的，是不是有什么妙招？

生：一個一個格子加起來。根據上面表示數的方法，把答案寫在□里。

師：在格子里畫點分別表示58和 75。

生：想能不能用64，超過58，然后用32加16，沒有達到58，就加上8和2。

生：75，最大的 64，75-64=11，再找出最大的比它小的，11-8等于3，再找出最大的2，然后減去剩下1。

在格子里畫點分別表示58、75。

三、總結反思、拓展提升

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生：用點表示數，只要用白板 上 的 那 些 數（1、2、4、8、16……）。

生：用加法運算，可以表示出一個數。

師：謝謝同學們的分享，在方格里用點表示數，不同的位置可以表示不同的數。其實，在數的領域里，這樣的想法也被廣泛應用，計算機的運算就是不同通過把0和1放在不同的位置表示出不同的數來實現的。

（播放課件：如果格子里有點子，就記作1，沒有就記作0。1就可以這樣表示“1”，2可以這樣表示“10”，繼續出示表示 2、3、4……的二進制數，所有的數都可以用0和1這兩個數來表示！）

師：很神奇吧！今天這節課我們就研究到這兒，謝謝同學們的參與，下課！