Grouplet變換原理及技術(shù)綜述

李斌++李德來++張瓊

摘 要

Gourplet變換是一種新的稀疏表示方法，克服了傳統(tǒng)Fourier和小波等變換不能很好利用圖像幾何結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)，從而得到更好的稀疏表示效果。本文首先分析了傳統(tǒng)算法在信號稀疏表示上的不足，然后綜合介紹grouplet變換原理，對正交Grouplet、緊支撐Grouplet、小波Grouplet等原理進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】稀疏表示 Grouplet 關(guān)聯(lián)場 幾何結(jié)構(gòu)

1 引言

數(shù)據(jù)的稀疏表示有利于數(shù)據(jù)的壓縮、分析和處理，是應(yīng)用數(shù)學(xué)和信號處理領(lǐng)域研究的一個熱點(diǎn)。其核心思想是在能完全刻畫信號特征的空間中（時域、頻域、時-頻域、時-頻-空域等）尋找一組“完備基（B={gm}m）”，使得信號f在該基上的投影（fi=）只存在少數(shù)幾個大的分量，其它分量都為零或者接近零。

Wavelet變換由于其基存在有限階消失矩和時頻緊支撐特性，對于存在有限個奇異點(diǎn)的一維信號能夠得到稀疏表示，同時可以得到信號的時頻分布，較好地彌補(bǔ)了Fourier變換的不足。但是對于存有有限長度不連續(xù)的圖像，小波基的效果也并不理想。

為了得到更理想的稀疏表示，Mallat 在文獻(xiàn)[1]中提出了Gouplet變換的概念，并構(gòu)造了正交Grouplet 和緊支撐Grouplet，更好地利用了圖像的幾何結(jié)構(gòu)。相比于其它的調(diào)和分析基，Grouple變換充分利用了圖像本身的幾何結(jié)構(gòu)，更加靈活，因此可以得到更理想的效果。

2 Grouplet理論和算法流程

Grouplet提出了一種“關(guān)聯(lián)場（Association Field）”的概念，使Grouplet基不僅能逼近小區(qū)域內(nèi)任意形狀的幾何流（包括圖像中的交叉點(diǎn)），而且能逼近圖像中關(guān)聯(lián)性很長的幾何結(jié)構(gòu)。下面對Grouplet的三種類型分別進(jìn)行分析。

2.1 正交Grouplet

受到Haar變換的啟發(fā)，正交Grouplet的構(gòu)造可以用類似Haar變換的公式來完成。 在尺度2°上，令，矩陣s[n]用于表示每個的平均支撐區(qū)間大小。初始化時，由于是由一個f[n]得來的，所以s[n]=1。在尺度2j上，Gj-1被分解為Gj和，對于得到的，，有：

基于正交Grouplet圖像分解和Grouplet基的例子如圖1所示。圖1（b）（e）分別為J=6個不同尺度的變換系數(shù)得到的圖像，黑、灰、白分別代表變換系數(shù)為負(fù)、零、正。從（b）（e）中可以看出，大部分系數(shù)都為零，說明該正交Grouplet變換能得到稀疏的表示。圖（c）給出了Grouplet基在幾個尺度下的形狀。

2.2 緊支撐Grouplet

正交Grouplet變換嚴(yán)格的正交性使其喪失了“移不變”特性，從而造成其在諸如去噪和計(jì)算機(jī)圖形應(yīng)用等方面達(dá)不到理想的效果。為了解決這個問題，Mallat提出通過在原網(wǎng)格中用點(diǎn)m的偏序來取代網(wǎng)格的分割，用偽距離d和塊匹配的方法來進(jìn)行關(guān)聯(lián)場的計(jì)算。

算法剛開始時在尺度2°上，令，s[n]=1。在j從1到J的不同尺度下，如果，則有：

圖2為分別應(yīng)用正交Grouplet和緊支撐Grouplet對圖像進(jìn)行相同門限（3σ）下去噪的結(jié)果。（a）原圖；（b）為加入噪聲后的圖像（PSNR=26dB）；（c）為正交Grouplet系數(shù)；（d）為緊支撐Grouplet系數(shù)；（e）（f）分別對應(yīng)相同門限處理方法對；（c）（d）處理后重建的圖像。其中（e）的PSNR=27.3dB，（f）的PSNR=29.5dB。可以看出緊支撐Grouplet去噪效果要明顯好于正交Grouplet。

2.3 Wavelet Grouplet

由于Wavelet變換已經(jīng)可以得到圖像的系數(shù)表示，只是在圖像的邊緣處Wavelet系數(shù)較大。對于三個方向的小波分量可以分別應(yīng)用不同的點(diǎn)集分割方式。如對于k=1方向的小波系數(shù)分量，由于大的小波系數(shù)對應(yīng)圖像中“沿垂直”方向的幾何正則性，可以對該方向的小波系數(shù)采用行分割的方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)場的計(jì)算和Grouplet變換；對于k=2方向的小波系數(shù)分量，由于大的小波系數(shù)對應(yīng)圖像中“沿水平”方向的幾何正則性，可以對該方向的小波系數(shù)采用列分割的方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)場的計(jì)算和Grouplet變換；對于k=3方向的小波系數(shù)分量，由于大的小波系數(shù)對應(yīng)圖像中“沿水平和垂直”方向都存在的幾何正則性，可以對該方向的小波系數(shù)采用行或者列分割的方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)場的計(jì)算和Grouplet變換。對實(shí)際圖像的分解結(jié)果如圖3所示。

這種變換對應(yīng)的基可以表示為：

3 結(jié)論

本文介紹了Grouplet相對于常規(guī)Fourier變化和wavelet變化在數(shù)據(jù)稀疏表示方面的優(yōu)勢。分析了三種典型的 Grouplet類型，正交Grouplet變化可看成有Haar 小波基演變而來；緊支撐Grouplet克服了正交Grouplet變換嚴(yán)格的正交性，在諸如去噪和計(jì)算機(jī)圖形應(yīng)用等方面的效果更加理想。Wavelet Grouplet 則是在wavelet 的基礎(chǔ)上對小波分解的4個主方向 采用列分割的方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)場的計(jì)算和Grouplet變換得到。并對各個過程給出了試驗(yàn)結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]Stéphane Mallat，Geometrical grouplets，Appl.Comput.Harmon. Anal.26（2009）161-180.

[2]Aldo Maalouf， and Mohamed Chaker Larabi，Grouplet-Based Color Image Super-Resolution，17thEuropean Signal Processing Conference，August 25-28th，2009.

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[4]Maalouf A，Larabi M C，F(xiàn)ernandez-Maloigne C.A grouplet-based reduced reference image quality assessment[C].International Workshop on Quality of Multimedia Experience. 2009：59-63.

[5]Weisberg M K，Prinz M，Clayton R N， et al.A new metal-rich chondrite grouplet[J].Meteoritics & Planetary Science， 2001，36（03）：401-418.

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作者簡介

李斌（1981-），男，湖北省人。碩士學(xué)位。現(xiàn)為汕頭超聲儀器研究所有限公司高級工程師。主要研究方向?yàn)獒t(yī)用超聲信號處理。

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汕頭超聲儀器研究所有限公司 廣東省汕頭市 515041