抗差自適應Kalman濾波模型的可行性分析

熊文全，胡家興

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015）

抗差自適應Kalman濾波模型的可行性分析

熊文全1，胡家興1

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015）

將抗差估計原理引入到經典Kalman濾波（CKF）方法中，即抗差自適應Kalman濾波（RAKF），在抑制觀測粗差及狀態擾動方面，存在明顯的優勢。通過大壩變形監測實例說明，在變形監測數據處理中RAKF比CKF解算結果更可靠有效。RAKF在抑制狀態預報粗差及觀測粗差方面的優勢是顯而易見的，是一種可行的有效估值方法。

CKF；RAKF；自適應因子；可行性

Kalman濾波在測量數據處理，特別是在工程變形和地殼變形、動態數據處理與GPS定位定軌等方面的應用廣泛[1]。CKF是一種高效濾波，但容易受觀測樣本和參數預報值質量的影響，抗差Kalman濾波能有效解決各種因觀測值或參數預報值的質量問題而引起的參數解不可靠問題，可有效減小觀測值隨機噪聲；但其可靠性必須以重復迭代計算為代價[2-3]。而自適應Kalman濾波可以較好地減小狀態預報值的隨機誤差[4-5]。將二者的優勢結合起來，采用RAKF，從理論上可以得到更加可靠的結果。

本文首先介紹了RAKF的基本原理，再通過實例說明了它在抑制觀測粗差及狀態擾動方面存在的明顯優勢，并在數據濾波估計方面比CKF值更可靠有效。當系統狀態預報值或觀測值存在粗差，或二者同時存在時，RAKF能有效抑制它們所帶來的不良影響。

1 RAKF

式中，LK為觀測向量；AK為設計矩陣；VK為殘差向量，其協方差矩陣為QK；XK為狀態參數向量；XK-1為K-1歷元的狀態向量，其估計值為K-1，K-1的殘差向量為；WK-1為狀態方程誤差向量，相應協方差陣為QWK-1；ΦK,K-1為狀態轉移矩陣。假設在K時刻增加新觀測LK，K-1歷元的狀態XK-1的濾波值為K-1，相應觀測誤差方程和狀態誤差方程分別為：

抗差自適應濾波的基本原則為：

式中，αK為自適應因子；為觀測量L的抗K差等價權，它是觀測向量權矩陣的自適應估值；PXK為的權矩陣[6]。則抗差自適應濾波的解為：

則上述抗差自適應濾波解可表示成式（7）的形式。其中增益矩陣和濾波方差分別為：

可知，當α=1，RAKF就是經典的抗差Kalman濾波。

對于其預測值的精度可采用式（10）進行[1,6]：

2 自適應因子α的確定

自適應因子α由觀測信息與狀態預測信息不符值確定，具有實時自適應功能。它作用于預測狀態向量K的協方差矩陣，主要對狀態不符值或狀態擾動進行自適應修正，以達到抵抗狀態誤差的擾動效果[7-9]。自適應因子一般取值在0至1之間。因此假設K時刻狀態參數的真值為XK，則與一步預測值K之差為[8,10]：

但是，一般狀態參數的真值是無法知道的，因此這里取由K時刻觀測值直接求解出的抗差解近似代替其真值，其中為抗差等價權。則式（14）可寫成：

當抗差解與一步預測值相同時，Y為零，即近似認為系統不存在擾動或系統擾動很小，其對濾波值精度影響可忽略不計。當Y值越小，即由觀測值求出的抗差解與一步預測值越接近，從數學期望的角度來說，一步預測值的期望值更加接近由觀測值直接求出的抗差解。

因此，可以采用M估計中的Huber函數來確定自適應因子的取值，其具體公式如下：

式中，c一般取1.5～2。當Y值越大，其對應的自適應因子越小，從而降低其所對應的狀態參數權值，達到抵抗系統可能存在的粗差的目的，并抑制狀態預報誤差對濾波值的影響。

3 實例分析

某大壩上布設了5個水平變形監測點，2012年初對其進行了近一個月的連續水平變形監測，觀測值為等時間間隔（1 d）。現將其中一點（P4點）28期的水平徑向原始觀測值列于表1[11]，對此進行CKF處理和RAKF處理，其中狀態參數的初始值由前兩期的觀測結果確定，從第2期開始進行濾波處理。

1）大壩動態變形監測系統的Kalman濾波數學模型的建立。由于在構筑物的變形監測中，系統一般是定常的，且動力模型噪聲WK和觀察噪聲V 一般都是平穩隨機序列，故ΦK.K-1、AK、QWK-1和QK都是常陣。

設觀測點的狀態向量為XK=[X，λ]T，其中X為徑向觀測值；λ為觀測點的徑向變動速率，由式（1）、（2）得狀態方程和觀測方程，其轉移矩陣及系數矩陣分別為：

3）Kalman濾波分析。CKF與RAKF進行預報及濾波后預報殘差、濾波殘差及其相應精度見圖1。

表1 P4點28期水平徑向原始觀測值/mm

圖1 無粗差時RAKF與CKF預報及濾波比較

從圖1可知，當觀測值及狀態預報值不存在粗差的前提下，CKF和RAKF濾波在進行狀態預報及濾波時，無論從預報殘差和預報精度，還是從濾波殘差和濾波精度上，RAKF總體上明顯優于CKF。因此，RAKF濾波在進行變形監測數據處理與預報時，只要數學模型建立合理，濾波值與預報值都明顯優于CKF，并能足夠滿足工程要求。

RAKF在抑制狀態預報粗差及觀測粗差對預報值和濾波值的影響方面，本文采用3種方案進行分析。

方案1：對濾波狀態初始值加入粗差，即在第1次初始值預報時，人為加入了5 mm的誤差，即X0=[92.69 mm，0.47 mm/d]，對P4點的28期數據分別進行CKF和RAKF處理，得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應的殘差圖及精度見圖2。

方案2：對P4點的28期原始觀測數據中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差，分別進行CKF和RAKF處理，得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應的殘差圖及精度見圖3。

方案3：對濾波狀態初始值加入粗差5 mm的同時，并對P4點的28期原始觀測數據中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差，即方案1與方案2的疊加，然后分別進行CKF和RAKF處理，得到的預報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應的殘差圖及精度見圖4。

圖2 狀態初始預測存在粗差時RAKF 與CKF預報及濾波比較

圖3 觀測值存在粗差時RAKF 與CKF預報及濾波比較

圖4 觀測值及狀態初始值都存在粗差時RAKF與CKF預報及濾波比較

由圖2可知，當預報存在粗差時，RAKF預報結果更能反映粗差存在的點位，且預報精度優于CKF，在抑制狀態預報粗差對濾波帶來不良影響效果方面，無論從濾波值還是精度方面，RAKF都明顯優于CKF；由圖3、圖4可知，無論是方案2還是方案3，在預報方面，RAKF與CKF預報結果相當，在粗差點反映和預報精度上，RAKF優于CKF，而在濾波方面，RAKF能夠很好凸顯粗差點位置，且能夠很好地抑制觀測粗差及狀態預報粗差對后期濾波的不良影響。無論是濾波結果還是精度，RAKF都總體明顯優于CKF。

4 結 語

本文從RAKF基本理論出發，通過某大壩變形監測實例，在正確確定初始狀態模型值后，用CKF和RAKF同時進行了數據處理，得出的結果是當系統不存在粗差或不存在微小擾動時，無論是預報還是濾波及其相關精度方面，RAKF總體上明顯優于CKF，其濾波值與預報值都能滿足工程的要求。對RAKF在抑制狀態預報粗差及觀測粗差所帶來的影響方面作了進一步的分析，從實驗數據分析來看，當系統存在粗差或微小擾動時，RAKF在抑制狀態預報粗差及觀測粗差對濾波值影響方面效果是顯著的，是對CKF濾波的一種改進，同時，隨著濾波時間的增長，逐漸趨于平穩。因此，在進行變形監測數據處理與分析時，無論是在預報結果、濾波結果還是其精度方面，RAKF比CKF更可靠有效，是一種可行的有效估值方法。

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P258

B

1672-4623（2016）05-0103-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.05.032

熊文全，高級工程師，主要從事控制測量、礦山測量、工程測量、變形監測及其應用開發工作。

2015-07-09。