抗差自適應(yīng)Kalman濾波模型的可行性分析

熊文全，胡家興

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015）

抗差自適應(yīng)Kalman濾波模型的可行性分析

熊文全1，胡家興1

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015）

將抗差估計原理引入到經(jīng)典Kalman濾波（CKF）方法中，即抗差自適應(yīng)Kalman濾波（RAKF），在抑制觀測粗差及狀態(tài)擾動方面，存在明顯的優(yōu)勢。通過大壩變形監(jiān)測實(shí)例說明，在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中RAKF比CKF解算結(jié)果更可靠有效。RAKF在抑制狀態(tài)預(yù)報粗差及觀測粗差方面的優(yōu)勢是顯而易見的，是一種可行的有效估值方法。

CKF；RAKF；自適應(yīng)因子；可行性

Kalman濾波在測量數(shù)據(jù)處理，特別是在工程變形和地殼變形、動態(tài)數(shù)據(jù)處理與GPS定位定軌等方面的應(yīng)用廣泛[1]。CKF是一種高效濾波，但容易受觀測樣本和參數(shù)預(yù)報值質(zhì)量的影響，抗差Kalman濾波能有效解決各種因觀測值或參數(shù)預(yù)報值的質(zhì)量問題而引起的參數(shù)解不可靠問題，可有效減小觀測值隨機(jī)噪聲；但其可靠性必須以重復(fù)迭代計算為代價[2-3]。而自適應(yīng)Kalman濾波可以較好地減小狀態(tài)預(yù)報值的隨機(jī)誤差[4-5]。將二者的優(yōu)勢結(jié)合起來，采用RAKF，從理論上可以得到更加可靠的結(jié)果。

本文首先介紹了RAKF的基本原理，再通過實(shí)例說明了它在抑制觀測粗差及狀態(tài)擾動方面存在的明顯優(yōu)勢，并在數(shù)據(jù)濾波估計方面比CKF值更可靠有效。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)報值或觀測值存在粗差，或二者同時存在時，RAKF能有效抑制它們所帶來的不良影響。

1 RAKF

式中，LK為觀測向量；AK為設(shè)計矩陣；VK為殘差向量，其協(xié)方差矩陣為QK；XK為狀態(tài)參數(shù)向量；XK-1為K-1歷元的狀態(tài)向量，其估計值為K-1，K-1的殘差向量為；WK-1為狀態(tài)方程誤差向量，相應(yīng)協(xié)方差陣為QWK-1；ΦK,K-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。假設(shè)在K時刻增加新觀測LK，K-1歷元的狀態(tài)XK-1的濾波值為K-1，相應(yīng)觀測誤差方程和狀態(tài)誤差方程分別為：

抗差自適應(yīng)濾波的基本原則為：

式中，αK為自適應(yīng)因子；為觀測量L的抗K差等價權(quán)，它是觀測向量權(quán)矩陣的自適應(yīng)估值；PXK為的權(quán)矩陣[6]。則抗差自適應(yīng)濾波的解為：

則上述抗差自適應(yīng)濾波解可表示成式（7）的形式。其中增益矩陣和濾波方差分別為：

可知，當(dāng)α=1，RAKF就是經(jīng)典的抗差Kalman濾波。

對于其預(yù)測值的精度可采用式（10）進(jìn)行[1,6]：

2 自適應(yīng)因子α的確定

自適應(yīng)因子α由觀測信息與狀態(tài)預(yù)測信息不符值確定，具有實(shí)時自適應(yīng)功能。它作用于預(yù)測狀態(tài)向量K的協(xié)方差矩陣，主要對狀態(tài)不符值或狀態(tài)擾動進(jìn)行自適應(yīng)修正，以達(dá)到抵抗?fàn)顟B(tài)誤差的擾動效果[7-9]。自適應(yīng)因子一般取值在0至1之間。因此假設(shè)K時刻狀態(tài)參數(shù)的真值為XK，則與一步預(yù)測值K之差為[8,10]：

但是，一般狀態(tài)參數(shù)的真值是無法知道的，因此這里取由K時刻觀測值直接求解出的抗差解近似代替其真值，其中為抗差等價權(quán)。則式（14）可寫成：

當(dāng)抗差解與一步預(yù)測值相同時，Y為零，即近似認(rèn)為系統(tǒng)不存在擾動或系統(tǒng)擾動很小，其對濾波值精度影響可忽略不計。當(dāng)Y值越小，即由觀測值求出的抗差解與一步預(yù)測值越接近，從數(shù)學(xué)期望的角度來說，一步預(yù)測值的期望值更加接近由觀測值直接求出的抗差解。

因此，可以采用M估計中的Huber函數(shù)來確定自適應(yīng)因子的取值，其具體公式如下：

式中，c一般取1.5～2。當(dāng)Y值越大，其對應(yīng)的自適應(yīng)因子越小，從而降低其所對應(yīng)的狀態(tài)參數(shù)權(quán)值，達(dá)到抵抗系統(tǒng)可能存在的粗差的目的，并抑制狀態(tài)預(yù)報誤差對濾波值的影響。

3 實(shí)例分析

某大壩上布設(shè)了5個水平變形監(jiān)測點(diǎn)，2012年初對其進(jìn)行了近一個月的連續(xù)水平變形監(jiān)測，觀測值為等時間間隔（1 d）。現(xiàn)將其中一點(diǎn)（P4點(diǎn)）28期的水平徑向原始觀測值列于表1[11]，對此進(jìn)行CKF處理和RAKF處理，其中狀態(tài)參數(shù)的初始值由前兩期的觀測結(jié)果確定，從第2期開始進(jìn)行濾波處理。

1）大壩動態(tài)變形監(jiān)測系統(tǒng)的Kalman濾波數(shù)學(xué)模型的建立。由于在構(gòu)筑物的變形監(jiān)測中，系統(tǒng)一般是定常的，且動力模型噪聲WK和觀察噪聲V 一般都是平穩(wěn)隨機(jī)序列，故ΦK.K-1、AK、QWK-1和QK都是常陣。

設(shè)觀測點(diǎn)的狀態(tài)向量為XK=[X，λ]T，其中X為徑向觀測值；λ為觀測點(diǎn)的徑向變動速率，由式（1）、（2）得狀態(tài)方程和觀測方程，其轉(zhuǎn)移矩陣及系數(shù)矩陣分別為：

3）Kalman濾波分析。CKF與RAKF進(jìn)行預(yù)報及濾波后預(yù)報殘差、濾波殘差及其相應(yīng)精度見圖1。

表1 P4點(diǎn)28期水平徑向原始觀測值/mm

圖1 無粗差時RAKF與CKF預(yù)報及濾波比較

從圖1可知，當(dāng)觀測值及狀態(tài)預(yù)報值不存在粗差的前提下，CKF和RAKF濾波在進(jìn)行狀態(tài)預(yù)報及濾波時，無論從預(yù)報殘差和預(yù)報精度，還是從濾波殘差和濾波精度上，RAKF總體上明顯優(yōu)于CKF。因此，RAKF濾波在進(jìn)行變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與預(yù)報時，只要數(shù)學(xué)模型建立合理，濾波值與預(yù)報值都明顯優(yōu)于CKF，并能足夠滿足工程要求。

RAKF在抑制狀態(tài)預(yù)報粗差及觀測粗差對預(yù)報值和濾波值的影響方面，本文采用3種方案進(jìn)行分析。

方案1：對濾波狀態(tài)初始值加入粗差，即在第1次初始值預(yù)報時，人為加入了5 mm的誤差，即X0=[92.69 mm，0.47 mm/d]，對P4點(diǎn)的28期數(shù)據(jù)分別進(jìn)行CKF和RAKF處理，得到的預(yù)報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應(yīng)的殘差圖及精度見圖2。

方案2：對P4點(diǎn)的28期原始觀測數(shù)據(jù)中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差，分別進(jìn)行CKF和RAKF處理，得到的預(yù)報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應(yīng)的殘差圖及精度見圖3。

方案3：對濾波狀態(tài)初始值加入粗差5 mm的同時，并對P4點(diǎn)的28期原始觀測數(shù)據(jù)中第3期和第8期分別加入3 mm和5 mm的粗差，即方案1與方案2的疊加，然后分別進(jìn)行CKF和RAKF處理，得到的預(yù)報值和濾波值分別與原始觀測值作差，得到相應(yīng)的殘差圖及精度見圖4。

圖2 狀態(tài)初始預(yù)測存在粗差時RAKF 與CKF預(yù)報及濾波比較

圖3 觀測值存在粗差時RAKF 與CKF預(yù)報及濾波比較

圖4 觀測值及狀態(tài)初始值都存在粗差時RAKF與CKF預(yù)報及濾波比較

由圖2可知，當(dāng)預(yù)報存在粗差時，RAKF預(yù)報結(jié)果更能反映粗差存在的點(diǎn)位，且預(yù)報精度優(yōu)于CKF，在抑制狀態(tài)預(yù)報粗差對濾波帶來不良影響效果方面，無論從濾波值還是精度方面，RAKF都明顯優(yōu)于CKF；由圖3、圖4可知，無論是方案2還是方案3，在預(yù)報方面，RAKF與CKF預(yù)報結(jié)果相當(dāng)，在粗差點(diǎn)反映和預(yù)報精度上，RAKF優(yōu)于CKF，而在濾波方面，RAKF能夠很好凸顯粗差點(diǎn)位置，且能夠很好地抑制觀測粗差及狀態(tài)預(yù)報粗差對后期濾波的不良影響。無論是濾波結(jié)果還是精度，RAKF都總體明顯優(yōu)于CKF。

4 結(jié) 語

本文從RAKF基本理論出發(fā)，通過某大壩變形監(jiān)測實(shí)例，在正確確定初始狀態(tài)模型值后，用CKF和RAKF同時進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理，得出的結(jié)果是當(dāng)系統(tǒng)不存在粗差或不存在微小擾動時，無論是預(yù)報還是濾波及其相關(guān)精度方面，RAKF總體上明顯優(yōu)于CKF，其濾波值與預(yù)報值都能滿足工程的要求。對RAKF在抑制狀態(tài)預(yù)報粗差及觀測粗差所帶來的影響方面作了進(jìn)一步的分析，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析來看，當(dāng)系統(tǒng)存在粗差或微小擾動時，RAKF在抑制狀態(tài)預(yù)報粗差及觀測粗差對濾波值影響方面效果是顯著的，是對CKF濾波的一種改進(jìn)，同時，隨著濾波時間的增長，逐漸趨于平穩(wěn)。因此，在進(jìn)行變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與分析時，無論是在預(yù)報結(jié)果、濾波結(jié)果還是其精度方面，RAKF比CKF更可靠有效，是一種可行的有效估值方法。

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B

1672-4623（2016）05-0103-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.05.032

熊文全，高級工程師，主要從事控制測量、礦山測量、工程測量、變形監(jiān)測及其應(yīng)用開發(fā)工作。

2015-07-09。