計及鐵心損耗和磁滯效應改進的變壓器模型

李慧奇 李曉孟 李金忠 張書琦 閆彥剛

(1.新能源電力系統國家重點實驗室(華北電力大學) 保定 071003 2.中國電力科學研究院 北京 100192)

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計及鐵心損耗和磁滯效應改進的變壓器模型

李慧奇1李曉孟1李金忠2張書琦2閆彥剛1

(1.新能源電力系統國家重點實驗室(華北電力大學) 保定 071003 2.中國電力科學研究院 北京 100192)

分析電力系統暫態過程或鐵磁諧振等問題時，建立變壓器精確的等效非線性模型非常關鍵。基于變壓器的空載實驗，利用非線性電阻和考慮磁滯效應的非線性電感的并聯來等效變壓器鐵心勵磁支路，并給出了變壓器的等效電路模型和勵磁支路參數特性的計算方法。在工頻條件下，分別建立了模型變壓器和單相三柱變壓器JMB-500的等效模型，計算結果與測量結果吻合很好。最后，建立了模型變壓器在不同頻率下的等效模型，該文的計算結果與測量結果也同樣吻合，證明了該文方法的有效性和準確性。

損耗 變壓器 鐵心 磁滯 模型

0 引言

變壓器是電力系統中重要的電氣設備之一，針對變壓器模型，國內外學者進行了大量的研究工作，采用不同的方法對變壓器進行了建模。文獻[1]中，考慮到變壓器鐵心的非線性主要受飽和、磁滯和渦流的影響，指出磁鏈-電流曲線是鐵心飽和非線性模型的重要一部分。文獻[2]用非線性電阻與非線性電感并聯來模擬變壓器，并用數學函數來表示鐵心勵磁特性。文獻[3]用基于損耗函數磁滯模型來描述非線性電感的磁滯回線，但缺少物理機理，并且解析式計算中需要已知鐵心的幾何以及物理參數等，這些參數不易得到。文獻[4，5]基于變壓器飽和非線性特性進行了建模，但沒有考慮到磁滯的影響。文獻[6-8]提出了變壓器時域模型和頻域模型，計算過程中需要通過實驗測得變壓器的幾何以及物理參數，在很多情況下，這些參數測量不易實現。變壓器勵磁支路參數的準確性對于變壓器研究至關重要，特別是在分析變壓器鐵磁諧振、電磁暫態過程、直流偏磁及勵磁涌流等問題[9-11]時，需建立變壓器的準確模型。文獻[12]對330 kV系統中切除空載變壓器的過電壓進行了建模研究，利用所建變壓器非線性模型所得的過電壓幅值為396.519 kV，較變壓器線性模型過電壓幅值582.036 kV有了很大改進，但所建變壓器模型并未考慮到磁滯的影響。文獻[13]對變壓器電磁暫態仿真進行了建模研究，所建變壓器模型同樣未考慮到磁滯的影響，所計算勵磁電流與PSCAD仿真結果仍有一定差距。上述所提出的變壓器模型，以韋-安曲線描述鐵心非線性磁化特性[14]，其勵磁支路參數模型的確定并未體現出磁滯對變壓器的影響，這與變壓器的實際工作機理不完全一致。

本文基于變壓器空載實驗，根據變壓器鐵心磁化機理和電路原理，對變壓器勵磁支路等效電路模型中非線性電阻和非線性電感參數進行改進，提出了一種考慮鐵磁材料磁滯特性和鐵心非線性的變壓器等效電路模型。所建的變壓器模型，其勵磁支路的非線性電阻和非線性電感能夠準確反映出變壓器勵磁過程。依據本文方法，在兩種不同鐵磁材料的變壓器中進行了實驗測量和仿真計算，模型的計算結果和實驗結果吻合很好。最后分析了不同頻率下變壓器對應的等效模型，本文模型的計算結果與測量結果吻合很好，證明了本文方法的有效性和準確性。

1 改進變壓器新模型

1.1 變壓器空載的損耗特性

圖1為單相變壓器的等效電路，圖中用非線性電阻RN及非線性電感LN替代變壓器勵磁阻抗。由于變壓器漏阻抗相對于勵磁阻抗很小，本文忽略[15]。

圖1 單相變壓器的等效電路Fig.1 The equivalent circuit of single-phase transformer

對變壓器進行空載實驗，測量變壓器有效值U、勵磁電流有效值I和空載損耗P，記錄變壓器一次電流i波形和一次電壓u波形。變壓器在正弦激勵情況下，有

(1)

式中，u為電壓瞬時值；U為電壓有效值；ω為電壓角頻率。

非線性電阻RN參數特性可以用一條過原點的曲線u-iR描述。將u-iR曲線上原點到(uk，iRk)共k+1個點分段線性化為k段，有

(2)

式中，j=1，2，3,…，k。

由電阻功率定義，結合式(2)有

(3)

式中，ωtRj= arccos(uk-j/uk)，j=1，2，3,…，k-1。

由空載變壓器鐵心損耗可知，在正弦交變磁場下鐵心的損耗由磁滯損耗、渦流損耗和附加損耗[16-19]三部分組成。式(3)在計算變壓器勵磁支路參數時，將變壓器的空載損耗完全歸結于一個非線性電阻的損耗，這與空載時變壓器鐵心損耗機理不一致。本文根據變壓器鐵心磁化機理和電路原理，進一步改進了變壓器模型。

1.2 改進變壓器模型參數的計算

基于1.1節中求得的u-iR曲線和變壓器的一次電流i，由基爾霍夫電流定律可求出電感支路瞬時電流

iL=i-iR

(4)

非線性電感的磁鏈為

(5)

由式(4)和式(5)所求得的非線性電感參數特性Ψ-iL曲線是一條回線，而不是一條簡單的單值曲線，該回線考慮了非線性電感的磁滯效應。則此時非線性電感LN對應損耗PL為

(6)

根據鐵磁材料的損耗機理，變壓器空載損耗應為變壓器等效模型中非線性電阻的損耗與非線性電感的損耗(這部分損耗由磁滯效應引起)之和，故對非線性電阻所消耗的損耗做如下修正

(7)

重復式(2)～(7)，直至求得的非線性電阻的損耗滿足誤差，即△P=PRn+1-PRn<ε則停止循環，得到非線性電阻和非線性電感的最終參數。

2 實驗驗證和應用

為了驗證本文提出的變壓器模型的有效性，對一臺電壓比為1∶1的變壓器模型進行了建模和驗證。變壓器的一次側、二次側的匝數均為700匝，鐵心為電力變壓器常用硅鋼30Q120，鐵心的截面積為30 mm3.6 mm。電源為WF1973信號源與功率放大器NF4510構成的標準正弦電壓源，變壓器的空載損耗、電壓和勵磁電流同時由精密功率分析儀WT3000測得。通過空載實驗獲得的變壓器的空載損耗、一次電壓和勵磁電流的有效值見表1。

表1 變壓器空載實驗數據Tab.1 Transformer no-load test data

由實驗數據和本文提出的改進建模方法，得到的變壓器等效模型的非線性電阻RN的參數u-iR曲線如圖2所示。非線性電感LN的參數Ψ-iL曲線如圖3所示，圖中的每一條Ψ-iL回線對應圖2中u-iR曲線上的一個點。為便于觀察，圖3僅給出圖2中7個點對應的回線，對應的電壓值分別為3.533 V、14.191 V、19.438 V、22.992 V、26.527 V、29.368 V和30.067 V。圖4為勵磁電壓值為30.067 V時對應的一條非線性電感的韋-安回線。從圖4中可明顯地看出，改進模型的非線性電感不再是單調曲線而是考慮了磁滯影響的回線，該回線反映了變壓器在空載時的磁滯效應。

圖2 變壓器模型的非線性電阻參數Fig.2 The parameter of non-linear resistor of transformer’s model

圖3 變壓器模型非線性電感的參數Fig.3 The parameter of non-linear inductance of transformer’s model

圖4 變壓器模型的磁鏈電流特性曲線Fig.4 Flux-current characteristic curve of transformer’s model

為驗證所建變壓器模型的正確性，圖5給出了電壓為30.067 V時實驗測得的勵磁電流、本文算法及未考慮磁滯效應所得到的勵磁電流的對比。可以看出，未考慮磁滯效應所得到的勵磁電流為每個峰值左右對稱的曲線，這與實驗結果不吻合。

圖5 變壓器勵磁電流計算和測量結果的對比Fig.5 Comparison between calculated and measured results of excited currents of transformer

然而要建立一個完整的，能夠反映空載、負載、過載等多種工況下的變壓器模型，可基于一定數量的實驗數據結合神經網絡算法(從本文的工作經驗，數據以15組為宜)得到任意電壓下變壓器等效模型的參數。例如計算表1之外的任一電壓(如22.27 V)的變壓器參數。圖6為通過神經網絡算法結合本文模型得到的勵磁電流和實際勵磁電流對比結果。從圖5、圖6中可看出：基于本文方法得到的變壓器模型的勵磁支路參數特性更符合變壓器空載損耗機理。從計算結果與測量結果的對比可明顯看出，本文方法與實驗結果吻合很好，在計算精度上比以往發表的結果有了很大的提高。

圖6 變壓器勵磁電流計算和測量結果的對比Fig.6 Comparison between calculated and measured results of excited currents of transformer

為進一步驗證方法的有效性，對一臺單相三柱式變壓器JMB-500進行了實驗和建模。變壓器JMB-500等效模型的非線性電阻RN和非線性電感LN如圖7和圖8所示。圖9給出了電壓在23 V時本文方法的結果、測量結果及與未考慮磁滯效應的勵磁電流的對比。結果表明，本文所建的模型考慮了鐵心磁滯效應的影響，得到的變壓器勵磁支路參數能更準確地反映變壓器的電磁過程。模型計算結果和實驗結果吻合很好，驗證了方法的準確性。

圖7 JMB-500變壓器的非線性電阻參數Fig.7 The parameter of non-linear resistor of JMB-500

圖8 JMB-500非線性電感的參數Fig.8 The parameter of non-linear inductance of JMB-500

圖9 JMB-500勵磁電流計算和測量結果的對比Fig.9 Comparison between calculated and measured results of excited currents of JMB-500

3 不同頻率下變壓器模型

近年來，隨著電力電子技術的廣泛應用，電力系統諧波污染[20-23]日益嚴重。不同頻率正弦激勵下變壓器的模型是研究諧波對變壓器運行特性影響的基礎。在不同頻率下變壓器的建模有多種方法[24，25]，應用本文改進的變壓器建模方法，在不同頻率下對模型變壓器進行了空載實驗、建模和驗證。

圖10給出了頻率分別為50 Hz、100 Hz、150 Hz以及200 Hz時的激磁支路非線性電阻RN參數特性(由于實驗設備功率有限，功率放大器NF4510的最大輸出功率為1 kV·A，實驗的最高頻率為200 Hz)。圖11僅給出了頻率為150 Hz對應的電感的Ψ-iL回線。圖12給出了在150 Hz條件下電壓為90.201 V時勵磁電流的測量結果、本文算法及未考慮磁滯算法所得勵磁電流的對比結果。圖13給出了頻率分別為50 Hz、100 Hz、150 Hz以及200 Hz，相同磁感應強度B時所對應的非線性電感參數。可看出，不同頻率下，變壓器損耗特性和勵磁特性均不相同，在不同頻率下不能僅用工頻下的變壓器參數特性來代替非工頻下的情況，需要建立不同頻率下的變壓器模型。應用本文方法所建變壓器模型能夠準確地計算不同頻率下變壓器勵磁情況，是研究含有高次諧波工況下變壓器模型的基礎。限于篇幅，關于本文中所建變壓器模型求解及復雜諧波下變壓器建模等問題不再展開。

圖10 不同頻率下非線性電阻參數Fig.10 Nonlinear resistance parameters at different frequencies

圖11 變壓器模型的非線性電感參數Fig.11 The parameter of non-linear inductance of transformer’s model

圖12 變壓器勵磁電流計算和測量結果的對比Fig.12 Comparison between calculated and measured results of excited currents of transformer

圖13 不同頻率下非線性電感參數Fig.13 Nonlinear inductance parameters at different frequencies

4 結論

變壓器是電力系統中重要的電氣設備之一，分析變壓器鐵磁諧振、電磁暫態過程、直流偏磁以及勵磁涌流等問題需要建立準確的變壓器模型。本文利用非線性電阻與考慮磁滯效應的非線性電感的并聯來建立變壓器模型，并給出了變壓器勵磁支路非線性電阻和非線性電感參數的計算方法。在工頻條件下，針對一臺模型變壓器和一臺實際的單相三柱變壓器，建立了變壓器的等效模型，模型計算結果與測量結果吻合很好，證明了本文方法的有效性和準確性。最后，針對模型變壓器，建立了不同頻率下的變壓器模型，所建模型的計算結果與測量結果吻合很好。本文工作對于研究變壓器鐵磁諧振、電磁暫態過程、直流偏磁和勵磁涌流等問題具有重要意義，也是研究含高次諧波工況下變壓器模型的基礎。

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An Improved Transformer Model Considering of the Losses and Hysteresis of the Core

Li Huiqi1Li Xiaomeng1Li Jinzhong2Zhang Shuqi2Yan Yangang1

(1.The State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System With Renewable Energy Sources North China Electric Power University Baoding 071003 China 2.China Electric Power Research Institute Beijing 100192 China)

In order to analyze the power system transient process or ferromagnetic resonance problems，a precise equivalent nonlinear model of a transformer is important.Based on no-load transformer test，an equivalent circuit model of the transformer and a calculation method of magnetizing branch parameter are proposed，which uses nonlinear resistors and parallel connection between inductance considering nonlinear and hysteresis.The equivalent circuit of a model transformer magnetizing branch circuit model is implemented through no-load test measurement in the paper.The calculated results are found to be in good agreement with the measured data.Simultaneously,this method is also used to establish a circuit model of an origin single-phase three-limb transformer,JMB500.Again,and the computed results agree well with the measured data.Finally,the equivalent circuits of transformer model are obtained at different frequencies and the comparison between the computed data and the measured data also shows good agreement,which proves the validity and accuracy of the modeling method proposed in this paper.

Losses，transformer，core，hysteresis，model

國家自然科學基金資助項目(51577066,51307057)。

2015-10-10 改稿日期2016-04-30

TM401

李慧奇 男，1970年生，副教授，博士，研究方向為電磁場數值計算和電磁兼容。

E-mail：huiqili@263.net(通信作者)

李曉孟 男，1991年生，研究生，研究方向為電磁場數值計算。

E-mail：1194253042@qq.com