r次冪平均s-凸函數及其Jensen型不等式

宋振云，陳少元，胡付高

(1.湖北職業技術學院機電工程學院，湖北 孝感 432000；2.湖北職業技術學院教務處，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學院數學與統計學院，湖北 孝感 432100)

r次冪平均s-凸函數及其Jensen型不等式

宋振云1，陳少元2，胡付高3

(1.湖北職業技術學院機電工程學院，湖北 孝感 432000；2.湖北職業技術學院教務處，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學院數學與統計學院，湖北 孝感 432100)

考慮了函數的凸性及其廣義凸性，提出并研究了r次冪平均s-凸函數，討論了它的若干判定定理及運算性質，建立了其Jensen型不等式，并給出了Jensen型不等式的等價形式及推論.研究結果表明，r次冪平均s-凸函數是算術凸函數(凸函數)、幾何凸函數、調和凸函數、平方凸函數、調和平方凸函數以及r-平均凸函數的推廣，為研究新的凸函數和推廣拓展凸函數概念探索了一條新途徑.

s-凸函數；r次冪平均s-凸函數；判定定理；Jensen型不等式.

0 引言

凸函數是應用十分廣泛的一類重要函數，其不可替代的作用已是我們大家所熟知的.因此，以凸集和凸函數為主要內容的凸分析便成為近年來數學研究中一個十分活躍的研究領域，特別是以實函數有意義的連續區間上任意兩點的冪平均函數值與其對應點函數值的同一冪平均值的大小比較而確定的經典凸函數概念隨著研究的深入被不斷推陳出新.目前，采用此類方法建立的凸函數，先后被提出的有算術凸函數(凸函數)、幾何凸函數[1]、調和凸函數[2]、平方凸函數[3]、調和平方凸函數[4]、r-平均凸函數[5]等.也有以實函數有意義的連續區間上任意兩點的冪平均函數值與其對應點函數值的不同冪平均值的大小比較而確定的凸函數概念，如指數凸函數(GA-凸函數[6])、GH-凸函數[7]及其推廣GM-凸函數[8]等，又如對數凸函數[9](AG-凸函數)、AH-凸函數[10]及其推廣AM-凸函數[11]等.然而，換一個角度思考，則會發生新的變化.1985年，文獻[12]給出了Godunova-Levin函數定義：

定義1 設f(x)是定義在區間I?R上的非負值函數.若?x1，x2∈I及?λ∈(0，1)，有

(1)

則稱f(x)是Godunova-Levin函數，或稱f(x)屬于Q(I)函數類.

定義2[13]設s∈(0，1]，f：R→R.若?x1，x2∈R及?λ∈[0，1]，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λsf(x1)+(1-λ)sf(x2)，

(2)

在此后的研究中，許多專家學者以s-凸函數為主要對象進行了卓有成效的研究，尤其是對s-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式的探索取得了豐碩成果.[14-19]本文受此啟發，提出了r次冪平均s-凸函數的概念，通過對r次冪平均s-凸函數的系統研究，給出了r次冪平均s-凸函數的若干判定定理和運算性質，建立了r次冪平均s-凸函數的Jensen型不等式.

定義3 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+.若?x1，x2∈I及?t∈[0，1]，存在r∈R，使得

(3)

(4)

則稱f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數. 若上述不等號反向，則稱f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數.

顯然，當s=1且r分別等于1，0，-1，2，-2及r∈R時，r次冪平均s-凸函數即分別為凸函數、幾何凸函數、調和凸函數、平方凸函數、調和平方凸函數和r-平均凸函數.

1 r次冪平均s-凸函數的判定及性質

本文約定所有討論只考慮r≠0的情況，關于r=0時的相關問題將另文討論.因為區間I?R+上的實值函數μ(x)=xr當r≠0時是單調的，因此記μ(I)=Ir.

定理1 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

(ⅰ) 當r>0時，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數的充要條件是(f(x1/r))r為Ir上的s-凸(凹)函數；

(ⅱ) 當r<0時，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數的充要條件是(f(x1/r))r為Ir上的s-凹(凸)函數.

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).設g(x)=(f(x1/r))r(x∈Ir，且r>0).

充分性.如果g(x)=(f(x1/r))r為Ir上的s-凸函數，且r>0，那么?x1，x2∈I及?t∈[0，1]，有

故f為I上的r次冪平均s-凸函數.

必要性.如果f為I上的r次冪平均s-凸函數，r>0，那么?x1，x2∈Ir及?t∈[0，1]，則有

因此g(x)=(f(x1/r))r是Ir上的s-凸函數.

若f在I上是s-凹函數，則上述證明中的不等號反向，所以定理1(ⅰ)的后半部分成立.

定理2 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).

充分性.若φ(t)是[0，1]上的s-凸函數，則

注意到r>0，且f是I上的正值函數，所以

從而f為I上的r次冪平均s-凸函數.

必要性. ?x1，x2∈I及?t1，t2∈[0，1]，根據正數的冪平均性質[20]有

若φ(t)在[0，1]上是s-凹函數，并注意到r>0，則上述證明中的不等號反向，故定理2(ⅰ)的后半部分亦成立.

定理3 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

(ⅰ) 當r>0時，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數的充要條件是?x1，x2，x3∈I，x1

(ⅱ) 當r<0時，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數的充要條件是?x1，x2，x3∈I，x1

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).

如果f為I上的r次冪平均s-凹函數，并注意到r>0，則上述證明中的不等號反向，所以定理3(ⅰ)的后半部分成立.

定理4 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，f是I上二階可導函數，且r>0.

(ⅰ) 若?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≥0，則f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數；

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數，則?x∈I，

xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0.

t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r≤ts(f(x1))r+(1-t)s(f(x2))r，

[t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r]1/r≤[ts(f(x1))r+(1-t)s(f(x2))r]1/r.

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數，且r>0，則

所以f(x)是I上的r-平均凹函數，即 ?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0(r>0).

類似地有如下結論.

定理5 設I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，f是I上二階可導函數，且r<0.

(ⅰ) 若?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0，則f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數；

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數，則?x∈I有

xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≥0.

定理6 設A，I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，μ：A→B?I，則：

(ⅰ) 若y=f(u)是I上嚴格遞增的r次冪平均s-凸函數，u=μ(x)是A上的r-平均凸函數，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數；

(ⅱ) 若y=f(u)是I上嚴格遞減的r次冪平均s-凸函數，u=μ(x)是A上的r-平均凹函數，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數；

(ⅲ) 若y=f(u)是I上嚴格遞增的r次冪平均s-凹函數，u=μ(x)是A上的r-平均凹函數，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凹函數；

(ⅳ) 若y=f(u)是I上嚴格遞減的r次冪平均s-凹函數，u=μ(x)是A上的r-平均凸函數，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凹函數.

證明 僅證(ⅰ)，同理可證(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).

根據定義3知y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數.

2 r次冪平均s-凸函數的Jensen型不等式

(5)

證明 設f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數，r>0.當n=1時，t1=1，(5)式為恒等式，所以n=1時定理成立.當n=2時，?x1，x2∈I及?t1，t2∈[0，1]滿足t1+t2=1，由r次冪平均s-凸函數的定義3有

所以當n=2時定理成立.

所以當n=k+1時，不等式(5)成立.類似可證，當r<0時(5)式仍然成立.

若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數，則證明中的不等號均反向，因此定理的后半部分成立.定理證畢.

定理7的一個等價形式為：

定理8 設I?R+，s∈(0，1]，f(x)為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數，?xi∈I及?pi∈R+(i=1，2，…，n)，則

上式中令p1=p2=…=pn，則有：

推論 設I?R+，s∈(0，1]，f(x)為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數.則?xi∈I(i=1，2，…，n)，有

[1] 楊露.關于幾何凸函數的不等式[J].河北大學學報(自然科學版)，2002，22(2)：325-328.

[2] 吳善和.調和凸函數與琴生型不等式[J].四川師范大學學報(自然科學版)，2004，27(4)：382-386.

[3] 吳善和.平方凸函數與琴生型不等式[J].首都師范大學學報(自然科學版)，2005，26(1)：16-21.

[4] 宋振云，陳少元.調和平方凸函數及其Jensen型不等式[J].首都師范大學學報(自然科學版)，2015，36(3)：7-14.

[5] 席博彥，包圖雅.關于r-平均凸函數的一些性質[J].數學的實踐與認識，2008，38(12)：113-119.

[6] 吳善和.GA-凸函數與琴生型不等式[J].貴州師范大學學報(自然科學版)，2004，22(2)：52-55.

[7] 陳少元.GH-凸函數及其Jensen型不等式[J].首都師范大學學報(自然科學版)，2013，34(5)：1-5.

[8] 宋振云，陳少元.GM-凸函數及其Jensen不等式[J].數學的實踐與認識，2014，44(20)：280-287.

[9] 宋振云，涂瓊霞.對數凸函數的幾何平均型Hadamard不等式[J].湖南理工學院學報(自然科學版)，2011，24(1)：8-11.

[10] 陳少元.AH-凸函數及其應用[J].湖北職業技術學院學報，2013，16(2)：16-19.

[11] 宋振云.AM-凸函數及其Jensen型不等式[J].淮北師范大學學報(自然科學版)，2015，36(1)：1-7.

[12] GODUNOVA E K，LEVIN V I.Neravenstva dlja funkciiirokogo klassa soder?a?ego vypuklye，monotonnye I nekotorye drugie vidy funkcii[M].Moskva：MGPI，1985：138-142.

[13] HUDZIK H，MALIGRANDA L.Some remarks ons-convex functions[J].Aequationes Math，1994，48：100-111.

[14] DRAGOMIR S S，FITZPATRICK S.The Hadamard’s inequality fors-convex functions in the second sense[J].Dem Onstratio Math，1999，32(4)：687-696.

[15] KIRMACI U S.Hadamard-type inequalities fors-convex functions[J].Appl Math Comp，2007，193：26-35.

[16] ALOMARI M，DARUS M.Hadamard-type inequalities fors-convex functions[J].Itn Math Forum，2008，40：1965-1975.

[17] HUSSAIN S，BHATTI M I，IQBAL M.Hadamard-type inequalities fors-convex functions[J] I Punjab Univ J Math，2009，41：51-60.

[18] MEHMET Z S，ERHAN S，?ZDEMIR E M.On new inequalities of Simpson’s type fors-convex functions[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，60：2191-2199.

[19] MERVE AVCI，HAVVA KAVURMACI，?ZDEMIR E M.New inequalities of Hermite-Hadamard type vias-convex functions in the second sense with applications[J].Applied Mathematics and Computation，2011，217：5171-5176.

[20] 匡繼昌，常用不等式 [M].濟南：山東科學技術出版社，2010：53-63.

(責任編輯：李亞軍)

The rth power mean s-convex function and its Jensen-type inequality

SONG Zhen-yun1，CHEN Shao-yuan2，HU Fu-gao3

(1.Mechanical and Electrical Engineering School，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China；2.Dean’s Office，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China；3.School of Mathematics and Statistics，Hubei Engineering University，Xiaogan 432100，China)

The definition ofrth power means-convex function is put forward.Several decision theorems and operation properties are given，as well as the Jensen-type inequality and its equivalent form.The results show that therth power means-convex function is extended from arithmetic convex function，geometric convex function，harmonic convex function，square convex function，harmonic square convex function andr-mean convex function，which finds a new way to study new convex functions and the extension of convex functions.

s-convex function；rth power means-convex function；judgment theorem；Jensen-type inequality

1000-1832(2016)04-0019-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.005

2015-09-11

教育部科學技術研究重點項目(212109).

宋振云(1958—)，男，教授，主要從事高等數學教學及凸分析研究.

O 178 [學科代碼] 110·34

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