利用待定系數法構造分數階MKdV方程級數解

高憶先，徐 飛

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

利用待定系數法構造分數階MKdV方程級數解

高憶先，徐 飛

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

考慮了一維分數階MKdV方程的初值問題：

分數階微積分；分數階MKdV方程；待定系數法；級數近似解

0 引言

1834年，英國科學家Russel觀察到孤立波現象，并于1844年在《英國科學促進協會第14屆會議報告》上發表的“論波動”一文中首次提出“孤立波”的概念，這是淺水波運動的一種穩定解.但其當時未能對此做出論證并使物理學家們信服他的論斷.隨后，有關孤立波的問題在物理學家中引起長期而廣泛的爭論.直到1895年，Korteweg和de Vries研究淺水波運動，在長波近似及小振幅的假設下，建立了一維數學模型，才成功地解釋了孤立波現象.他們所建立的方程為

(1)

其中g為重力加速度，l為水深，η為水波相對于平衡位置的高度，而α和σ是常數.將上述方程作一個適當的自變數和未知函數的變換，就可得到

ut+6uux+uxxx=0.

(2)

方程(2)是一個三階非線性發展方程，被稱為Korteweg-de Vries方程，簡稱KdV方程.[1]本文研究的MKdV方程

vt+6v2vx+vxxx=0

(3)

是修正的KdV方程，它在描述非調和晶格中的等離子和聲子方面具有非常最重要的作用.[2]

1 分數階微積分的基本理論[3-5]

定義1.2 設函數f∈Cμ，μ≥-1，f的α(α>0)階Riemann-Liouville積分定義為

定義1.4 設有二元函數u=u(x，t)，其中x是空間變量，t是時間變量.關于時間t的α(n-1<α≤n)階Caputo導數定義為

關于空間x的β(m-1<α≤m)階Caputo導數定義為

注1.1 當f(t)=u(x，t)時，有

2 分數階MKdV方程初值問題的級數解

考慮方程

(4)

假設v關于t是解析的，則有解形如

(5)

顯然，根據初值有

c0(x)=a0(x).

(6)

為了后文方便，給出以下記號：

(7)

容易驗證以下結果：

(8)

為了得到c1(x)，考慮v1(x，t)=a0(x)+c1(x)tα，根據(8)式有

(9)

于是

(10)

為了得到c2(x)，考慮v2(x，t)=a0(x)+a1(x)tα+c2(x)t2α，根據(8)式有

(11)

從而

(12)

同理，存在a3(x)，a4(x)，…，an(x)，使得c3(x)=a3(x)，…，cn(x)=an(x).

綜上，方程(4)的n階近似級數解為

(13)

在實際應用中，可以根據精度的需求選取適當的n以達到目的.

[1] 谷超豪，李大潛，沈瑋熙.應用偏微分方程[M].北京：高等教育出版社，2014：60-280.

[2] ABDULAZIZ O，HASHIM I，ISMAIL E S.Approximate analytical solution to fractional modified KdV equations [J].Math Comput Modelling，2009，49 (1)：136-145.

[3] KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations [M].New York：Elsevier，2006：300-510.

[4] EI-AJOU A，ARQUB O A，ZHOURH Z A，et al.New results on fractional power series：theories and applications [J].Entropy，2013，15(12)：5305-5323.

[5] XU FEI，GAO YIXIAN，ZHANG WEIPENG.Construction of analytic solution for time-fractional Boussinesq equation using iterative method[J/OL].Adv Math Phys，2015 [2015-09-14].http：//dx.doi.org/10.1155/2015/506140.

(責任編輯：李亞軍)

Construction of series solutions to the fractional MKdV equations using undetermined coefficients method

GAO Yi-xian，XU Fei

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Consider the fractional MKdV equation with initial value problemwherev=v(x，t)，x∈R，t>0，a0(x)∈C∞.Using the undetermined coefficients method，the fractional power series solutions to the fractional MKdV equations are constructed.

fractional calculus；fractional MKdV equation；undetermined coefficients method；fractional power series solution

1000-1832(2016)04-0045-03

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.010

2015-09-14

吉林省科技發展計劃資助項目(20160520094JH)；國家級大學生創新創業訓練計劃項目(201610200032).

高憶先(1981—)，男，副教授，主要從事動力系統研究.

其中v=v(x，t)，x∈R，t>0，a0(x)∈C∞.利用待定系數法構造了分數階MKdV方程的級數近似解.

O 242.2 [學科代碼] 110·61

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