一次教學案例下對教師習題講評的一些思考

（華南師范大學數學科學學院，廣東 廣州 510631）

[摘 要] 首先介紹了對所教幾名初二學生的一次實踐教學案例，然后通過案例分析發現這些學生在數學錯題管理方面的誤區：為了完成任務而糾錯；為了記住答案而糾錯（或形式主義地糾錯）；對糾錯的題目進行了思考卻沒有對有關知識點和解題技巧進行再一次的組織、分類和概括。接著提出結合實際情況對此次案例仔細思考并查詢相關文獻后，對教師的錯題講評的相應經驗性建議。

[關 鍵 詞] 教學案例；數學糾錯；習題講評

[中圖分類號] G632 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）06-0062-02

一、教學案例

（一）教學背景

大二期間，筆者曾在廣州市五羊邨附近的某輔導機構里實習了一個學期，負責該機構周日的一個初二年級的小班教學。在此期間，筆者需要給班上的四名來自廣州市Y中學普通班成績中等的初二學生A、B、C、D補習數學。在此次案例發生的前一周里，這四名學生剛剛參加完學校里的期中測試，而這四名學生恰好都在測試里因為“中點問題”丟分不少。在學校老師講評完試卷并布置好糾錯任務后，為了進一步鞏固這四名學生在考試中體現出的薄弱之處，筆者決定在周日的那堂課上針對性地出一些與“中點”相關的練習給這四名學生做。

（二）教學案例

上課后，筆者將打印好的試卷分別派發給這四名學生，讓他們在25分鐘內先獨立完成選擇題部分（其中原題4道，變式4道）。可讓人意外的是筆者發現25分鐘過去后，四名學生中只有學生C、D做對了試卷里大部分選擇題，學生B做錯了3道變式，而學生A竟只對了2道原題。原本以為在學校老師已經講解完畢且學生也完成糾錯的情況下，學生的正確率應該提高不少才對，可事實卻大大超乎了筆者的想象。于是便有了講解完題目后出現的以下對話片段：

筆者：你們有發現前面的4道題是你們做過的原題，只是改變了一下題目的形式或者選項嗎？

學生B、C、D：看出來了。

學生A：4道嗎？不是2道？我再看看！（A看了幾十秒后反應過來，懊惱不已）是啊是啊，老師把非選擇題也改成選擇題了！

筆者：可是學校老師已經講解過了，你也糾錯了，怎么會都沒發現這是你做過做錯的題呢？

學生A：老師講后面的題目的時候我沒認真聽，（A糾結了一下，有點不好意思）糾錯太麻煩了，我就是十分鐘抄一遍題目和答案就沒管了。

筆者（很驚訝）：你們平時糾錯就都是這樣應付的嗎？！

學生A：可是平時作業太多了，周末又要補課，如果每一科都要這樣去糾錯，我根本就沒有一點休息時間了。

學生B：老師我不是的，我每次都很認真地把題目抄下來，然后把我之前的錯解用黑筆寫在題目下方的左邊，正確答案用紅筆寫在右邊，老師說的注意的或者補充的用藍筆寫在最后面。而且我上課聽老師講解后也感覺自己聽懂了，可是還是會有些題目寫不出來。

筆者（思考了一下）：那你寫完這些是不是就完成糾錯了呢？

學生B：是啊，學校老師就是這樣教我們的。

筆者（轉向學生C、D）：你們也是這樣糾錯的嗎？

學生C：都差不多吧，不過我沒那么整潔認真，答案沒那么詳細，但是會想一下錯的原因之類的。

學生D：我也是這樣，差不多。

筆者：其實今天你們之所以都沒有完全做對題目，就是因為你們在糾錯的時候如果沒有對錯題的知識點和解決方法進行總結，沒有對錯因進行思考的話，下次出題的人只要稍微把條件變得隱晦些，你們還是有可能會錯的。

學生B：老師那這樣糾錯不是就要花費更多時間了嗎？這樣我們的任務真的好重啊！

筆者：其實糾錯主要是要你去思考感悟，不一定在本子上寫得要多好看，為了節約時間你甚至可以把錯題的題目剪下來粘貼在糾錯本上。

學生：是啊，這是個好辦法！

筆者：不過你們有沒有發現到這個學期中點可不單單考查了中位線的知識和技巧，也有直角三角形上的斜邊中點定理、三線合一、中線倍長等，可和后面兩個知識點相關的題你們大多數可沒有寫出來。

學生：是啊，當時都不會寫，寫的時候不知道要用哪些去寫。

筆者：所以糾錯的時候最好還要對比以往的錯題或者聯系相關聯的知識點、技巧，如果沒有及時對它們進行梳理，等到知識多起來，你們當然就會分不清楚，不知所措。

學生（點頭）：明白了。

二、案例分析

為了更好地分析上文的案例，筆者要先闡述一些研究者或有經驗的教育者的相關觀念。

（一）錯題管理的定義

錯題管理是指學生自主搜集、整理并歸納自己在日常學習中的錯題，將隱含在錯題中的各種信息轉化為顯性或者隱性的知識，以利于知識的存儲、運用，實現知識的分享、交流以及知識的轉化與創新，改善自己的認知結構以及監控能力，從而提高問題解決效益的管理過程。

由此，我們可以知道錯題管理是學生自主能動地對錯題進行搜集、整理、歸納以完善自身數學認知結構的一個過程。其含義有兩個方面，一是錯題管理是學生自主進行的一種行為，而不是教師或者家長壓迫下的必須行為，是學生根據自身實際情況對自己錯題進行收集整理及有意義的思考，不同的學生錯題管理的過程、方法及領悟也不會完全一樣，具有鮮明的個人特色，但其結果是可分享的；二是錯題管理的目的是完善學生的數學認知結構，因而教師在引導或鼓勵學生進行錯題管理時應強調糾錯不是簡單的形式主義，而是應該針對自身情況進行反思、歸納和總結并輔以相關應對措施以完善自身不足之處，從而構建一個更加完善的數學認知結構。

（二）錯題管理的誤區

對比錯題管理的定義，筆者認為上文案例中的學生在糾錯過程中步入了以下三個誤區：

1.為了完成任務而糾錯

初中生在中考壓力下學習任務大都繁重不已，學生A沒有意識到錯題管理的真正意義與作用，在完成九門功課的作業后已沒有耐心去認真地進行錯題的歸納總結。在學生A看來，錯題管理只是為了應付教師的檢查，把錯題和正確答案抄到一個專門的本子上就已經完成任務了，出錯的原因、正確答案的思路來源、體現出來的思想方法和解題技巧則完全沒有被考慮進去。這只是一種錯誤理解錯題管理，迫于教師的強化和懲罰下非自愿的毫無意義的“糾錯”。這種情況下，即便以后遇到了一模一樣的題目，學生A同樣還是有可能會寫不出來。

2.為了記住答案而糾錯（或形式主義地糾錯）

學生B不像學生A一樣敷衍了事，她把每道錯題的錯解和正確解答都工整地謄抄在題目的下面，并用不同顏色的字以示區分。可她并沒有去思考她原先出錯的原因與錯題中暴露出來的她在某些概念、原理或者方法上的不足，只是單純地對錯題的答案進行背誦記憶。這只是一種只記住詞句符號而沒有理解其實際意義的機械學習，并沒有把答案中那些符號詞句所代表的知識與學習者認知結構和已有的適當觀念建立非人為的和實質性的聯系。在這種情況下，只要教師稍微將題目的條件變動，B就很有可能依然無法成功解答。

3.對糾錯的題目進行了思考卻沒有對有關知識點和解題技巧進行再一次的組織、分類和概括

學生C和D并沒有犯類似A、B那樣的錯誤，她們在糾錯完之后通常會反思自己當時出錯的原因，歸納出還未徹底掌握的知識點或者不熟的技能。可是通過筆者和她們的聊天中可以看到，她們在糾錯時只是單一地學習這道錯題答案里單個符號或一組符號所代表的意義，也就是單一地在糾錯時進行表征學習。她們并沒有聯系已學過的知識或技巧對相同的一類進行概括，也沒有對有關系的知識點進行上位或者下位的推敲。因而她們不能發揮錯題管理的最大用途，并沒有通過錯題管理進一步整理自己的數學觀念網絡結構。

（三）教師教學的建議

數學教學的本質是什么？華南師范大學何小亞教授2008年曾在《數學教育學報》上發表一篇名為《教育戰爭與數學教育的出路》文章，其明確指出“數學教學的本質是學生在教師的引導下能動地構建數學認知結構，使自己得到全面發展的過程”。案例中從筆者與學生的對話中可以看出學校老師對學生進行錯題講解時看似流暢無比、頭頭是道，但只是單一地進行了習題的解答更正，并沒有成功地引導孩子學會對題目的邏輯性思考，也沒有過多地聯系其他相關聯的易錯知識點或解題技巧。這樣單一的習題講評不僅直接導致這四名學生出現感覺在課上聽懂了但是在隨后的作業中仍不能獨立成功地完成的結果，也間接造成了學生在錯題管理時不會主動地進行自我歸納總結的現象，自然達不到“引導學生能動地構建數學認知結構”的效果。

當然，這也與學校里的課時設置有關，有限的課時也會在一定程度上限制教師上課的內容。但在有限的課時里，教師也可以事先通過對全班試卷的統計分析，了解班上學生對知識掌握的基本情況，在熟悉學生原有認知結構的基礎上設計教學，具體體現在：（1）對學生錯題中體現出不熟的數學觀念進行強化教學。如案例中教師就應對“中位線”概念的性質進行再一次強調。

（2）強調錯題解答過程中體現出的數學思想方法以啟發學生產生穩定而靈活的產生式。教師在向學生解答錯題時應有思考的邏輯性的體現，重點在于灌輸解決數學問題的思想方法與教會學生如何進行思考，以便下一次能自主解決同一類問題。（3）聯系相關聯的知識點或解題技巧在原錯題的基礎上舉一反三以豐富和鞏固學生已有的知識網絡結構。為了解決學生在課上看似聽懂了實際操作卻又寫不出的現象，教師在課堂上就應進行豐富的變式教學，不斷提高學生思維的靈活性，通過變式之間的相互比較加強學生對相關數學觀念解題技巧的理解，使學生數學認知結構中的觀念網絡層次更加分明。如，培養在幾何題中看到角平分線，除了要想到“兩角相等”外，還可以想到有“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”“三線合一”“內接圓圓心”等基本概念。

總之，以上我們可以知道數學教師在習題講評的過程中，除了單純地對題目進行講解外，更重要的是思考應如何讓學生去主動地思考總結，運用正確的方法科學地建立層次更清楚的知識網絡結構，加強對錯題中體現出的相應數學知識點、數學思想方法、數學問題解題技巧等的理解。

參考文獻：

[1]周婉.數學學習中錯題管理與有效學習[D].武漢：華中師范大學，2009.

[2]何小亞.數學學與教的心理學[M].廣州：華南理工大學出版社，2011.