橢圓和雙曲線共焦點問題規律探尋

◇ 甘肅 馬俊杰

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橢圓和雙曲線共焦點問題規律探尋

◇ 甘肅 馬俊杰

當橢圓與雙曲線共焦點時,借助焦點三角形及有關解三角形知識,可順利考查二者離心率之間的關系.此類問題因涉及知識的交匯、體現綜合運用能力,所以值得關注.

1 探究規律

圖1

例1如圖1,中心在坐標原點的橢圓和雙曲線有共同的焦點F1、F2,點P是橢圓和雙曲線的一個交點,已知∠F1PF2=θ,試探究橢圓和雙曲線的離心率e1、e2滿足的關系式.

①

設|F1F2|=2c,則在△PF1F2中由余弦定理得

(2c)2=m2+n2-2mncosθ.

②

將式①代入②,化簡得

2c2=a2+a′2-(a2-a′2)cosθ,

即

2c2=a2(1-cosθ)+a′2(1+cosθ),

點評上述求解的關鍵在于將橢圓和雙曲線的“定義”與解三角形中的“余弦定理”綜合應用.

2 應用舉例

A 1/2; B 1; C 2; D 不確定

點評一般地,遇到“平方和”為定值,可靈活利用三角換元法求解有關代數式的最值.此外,本題還可借助柯西不等式求解,請讀者自行思考.

解析在例1所得關系式中取θ=60°,可得

于是

點評一般地,靈活利用基本不等式,可巧求有關代數式的最值以及取得最值的具體情景.此外,本題還可借助三角換元求解,請讀者自行思考.

甘肅省臨夏回民中學)