代數(shù)類新知課“平方差公式”四環(huán)節(jié)教學模式例析

涂愛玲+梁艷云

“平方差公式”屬于代數(shù)類新知課中的公式課，運用四環(huán)節(jié)教學模式進行問題設計時，我們重點分析以下兩個因素：一是作為客體的教學內(nèi)容，主要從結(jié)構(gòu)特征、模型思想、符號意識、教材地位四個方面進行思考；二是作為主體的學生，主要考慮學生的年齡特點、思維品質(zhì)和認知基礎.權(quán)衡以上兩個因素的具體情況，我們在采用變式教學的主線設計時，將情境主線“斷案高手→說理大師→變式贏家→歸納之王”隱藏在四個教學環(huán)節(jié)之中，使情境主線與教學環(huán)節(jié)交融互動，一路精彩生成.

第一環(huán)節(jié)：問題導入之“故事導入”

根據(jù)初一年級學生的心理特點和教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點，在本環(huán)節(jié)，我們決定用趣味“案情”導入新課，創(chuàng)設了一個發(fā)生在“狼大和羊二”之間的土地租賃事件，以激發(fā)學生的探究欲望和學習情趣，讓學生躍躍欲試爭當“斷案高手”，同時暗含“知識就是力量”、用知識幫助弱小的價值觀引導.

[片段實錄]

師：歡迎來到變式大課堂！今天我們要從一個小故事開始——這是一個發(fā)生在地主狼大和佃農(nóng)羊二之間的土地租賃事件.（課件出示故事和“問題1”）

一天，狼大對羊二說：羊二啊！我家土地重新規(guī)劃了，原來租給你的那塊正方形土地，我把它向東增加了3米，向北減少了3米，變成了一塊長方形，反正面積沒變，你就種這塊新地吧！不過，估計你也聽不懂.我就畫兩幅圖給你看看吧！（見圖1、圖2兩個示意圖）

羊二看了，連忙對狼大說道：老爺，我聽您的！

問題1：羊二吃虧了嗎？

師：羊二吃虧了嗎？

生：（異口同聲）吃虧了！

師：誰能為這個案子當個“斷案高手”嗎？（學生紛紛高舉著手）

在本環(huán)節(jié)教學中，我們用故事中的問題情境導入新課，自然地將實際問題抽象為數(shù)學問題；運用數(shù)形結(jié)合思想，將土地面積問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，突出了數(shù)學直觀，生動易懂，也為接下來的新知探究提供了方法和思路.

第二環(huán)節(jié)：新知探究之“數(shù)形結(jié)合探究”

教師采用數(shù)形結(jié)合思想，引導學生進行新知探究，并為此設計了三個逐層遞進的變式題.

[片段實錄]

師：怎么判斷羊二是否吃虧呢？（相對于問題1的“變式題1”）

生1：計算S1與S2，比較它們的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

師：若向東增加5米，向北減少5米呢？（“變式題2”）

生1：還是一樣地計算、比較，羊二還是吃虧.

師：若向東增加b米，向北減少b米呢？（“變式題3”）

生1：也是一樣的.

師：同學們同意嗎？

生：（大聲，整齊）同意.

師：我們是不是可以借鑒剛才這位同學的方法推導一下，這樣才好推廣吧？（師課件出示圖3示意圖，并帶領(lǐng)學生進行計算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

師：我們通過計算，進一步驗證了一般情況下，正方形邊長一增一減會導致面積減少.可羊二沒文化，他不會算，我們有沒有更直觀的方法，讓羊二一看就明白呢？

生2：我們可以先在這塊地的南部向北裁掉一個如圖4所示的矩形，再向東增加一個如圖5所示的矩形，由圖我們很容易看出，原來的正方形面積少了一個如圖6所示、邊長為3的小正方形.同樣的，若正方形邊長向東增加b向北減少b，則面積減少b2.

老師豎起大拇指；其他同學對這一直觀的方法非常佩服，報以熱烈掌聲.

師：我們從兩個角度，一是從代數(shù)的角度進行了精準的計算，二是從幾何的角度進行了直觀的驗證，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2這個恒等式.通常二項式乘二項式展開以后得四項，為什么這組二項式相乘展開以后才有兩項呢？

生：（齊聲）因為有兩項是同類項，互相抵消掉了.

師：為什么能互相抵消呢？

生：（齊聲）因為b與-b互為相反數(shù).

師：那么這個等式的左右兩邊究竟有哪些特點呢？

生3：等式左邊是兩個二項式的乘積，且只有a、b兩項，一個二項式是a+b，一個二項式是a-b，等式右邊是a與b的平方差.

師：看來同學們都是“說理大師”啊.（生笑）

在這個教學環(huán)節(jié)，教師通過激勵學生對“案情”進行推理、演算，引導學生從代數(shù)和幾何兩個角度來驗證自己的結(jié)論，再進一步追問，啟發(fā)學生對平方差公式的結(jié)構(gòu)進行深層次剖析，使學生得以自主發(fā)現(xiàn)并歸納出平方差公式這個新的知識點.

第三環(huán)節(jié)：變式應用之“代數(shù)變式的主線設計”

從一道基本題切入，運用代數(shù)的“式子變式”沿“系數(shù)變→符號變→位置變→指數(shù)變→因式變→項數(shù)變”的思維路徑進行變式設計，使問題設計由淺入深、層層推進.根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，引導學生對公式進行多角度的變式應用，可以使學生對平方差公式有更深的理解，有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性.

[片段實錄]

師：我們已經(jīng)認識了平方差公式，接下來我們將——

生：（齊聲）應用.

師：（調(diào)侃）看來你們很了解呀！（生喜形于色）

課件出示平方差公式基本模型及基本題“問題2”.

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

問題2：計算（+3）（-3）

師：問題2是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點？若符合，公式中的a、b分別是什么？

生4：完全符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

師依次出示以下變式題組中的每一個變式，要求學生一題一題地說一說：該題是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點？若符合，公式中的a、b分別是什么？比較這一題與上一題發(fā)生了什么變化？依次問答畢，師板寫變式題組的變式過程如下.

問題2：（a+3）（a-3）

系數(shù)變↓

變式1：（2a+3）（2a-3）

符號變↓

變式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置變↓

變式3：（3-2a）（-2a-3）

指數(shù)變↓

變式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式變↓

變式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

項數(shù)變↓（相對于公式而言）

變式6：（a+b+c）（a-b+c）

師：結(jié)合以上變式題組，你認為平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示數(shù)，可以表示單獨的一個字母，也就是說既可以表示一個單項式，也可以表示一個多項式.

師：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我們已經(jīng)學過的任意一個整式，當然還可以推廣到代數(shù)式.

師：仔細觀察以上變式題組，你對代數(shù)中的變式方法有了哪些了解？

生6：我們可以從系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)、因式、符號、位置等角度進行變式，其實就是抓住整式中的基本元素進行變式.

師：你的理解太深刻了，你能很好地抓住問題的本質(zhì)，問題雖然可以千變?nèi)f化，但都遵循一定的變化規(guī)律.我們不妨把以上變式方法叫做變式策略.你可以說是我們這節(jié)課的“變式大贏家”！（生喜形于色）

引導學生對變式題組中的變式題進行解答，可以使學生逐步學會分析式子結(jié)構(gòu)，認清公式中的a和b分別代表什么，能夠準確運用公式進行計算，同時了解代數(shù)中變式的基本策略，認清變化的規(guī)律，抓住不變的本質(zhì).

第四環(huán)節(jié)：總結(jié)升華之“思維導圖歸納法”

用問題3的三個小問為思維支架，引導學生對本節(jié)課所學內(nèi)容進行梳理，幫助學生自主建構(gòu)知識體系，厘清知識之間的聯(lián)系，并在鍛煉解題的過程中訓練學生的語言表達能力.最后引導學生運用“思維導圖”歸納本課的知識、方法和蘊含在其中的數(shù)學思想，以此培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì).

[片段實錄]

師：同學們的表現(xiàn)非常出色！那么誰又能成為本節(jié)課的“歸納之王”呢？（課件出示“問題3”）

問題3：（1）對于平方差公式，你有哪些認識？（2）本節(jié)課你印象最深的是什么？（3）你還存在哪些疑惑？

生7：我認為平方差公式的結(jié)構(gòu)很特別.它是a、b兩項的和與a、b這兩項的差的乘積，結(jié)果等于a、b的平方之差，而且是符號相同的項a的平方減去符號相反的項b的平方，前后不能顛倒.

生8：本節(jié)課我學到的知識概括起來有兩點.第一點，運用平方差公式一定要準確地找出公式中的a和b；第二，對于因式中出現(xiàn)三個項或以上，一定要觀察各項的符號，再結(jié)合，構(gòu)造出平方差公式的結(jié)構(gòu).

兩名學生對平方差公式的應用做出了非常全面的概括，這讓在場的老師和同學們都聽呆了，繼而爆發(fā)出雷鳴般的掌聲.

師：好，她們都是“歸納之王”！

接下來，師課件出示本課知識思維導圖（見圖8）.

教師從學生的角度，啟發(fā)他們思考對平方差公式有怎樣的認識，鼓勵他們說出這節(jié)課中印象最深的是什么，激勵他們反思心中的疑惑，獨立思考，小組討論，班級交流，充分尊重學生在學習中的主體地位.

本節(jié)課將問題主線和情境主線相互交融，知、情、意有機結(jié)合.問題主線從數(shù)學學科的特點出發(fā)，設計出了一條條理清晰、邏輯嚴謹?shù)膯栴}鏈，問題設計抓住了本節(jié)課的核心知識即平方差公式，從平方差公式的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、應用及拓展幾個層次依次設計出了一個個問題串，將本課的核心能力、發(fā)散思維能力、創(chuàng)造能力等滲透其中，體現(xiàn)了數(shù)學的理性美.情境主線主要從情感態(tài)度價值觀角度出發(fā)，將“授人以魚不如授人以漁”進化為“授人以漁不如授人以欲”，從問題情境“羊二吃虧了嗎？”開始，層層設疑、層層追問、步步為營，帶領(lǐng)學生逐漸展開本課的“探索發(fā)現(xiàn)與應用之旅”，并運用心理暗示將學生置身于“斷案高手”“說理大師”“變式贏家”“歸納之王”的角色中，引領(lǐng)著學生自主解決了一個個預先設定好的情境任務，讓學生在挑戰(zhàn)自我的過程中實現(xiàn)了自身價值，這也正是執(zhí)教者想通過情境主線來開啟和激勵學生自主探索、自主發(fā)現(xiàn)的教學藝術(shù)所在.

（責編 白聰敏）