幾何類新知課“全等三角形的概念及性質”教法例說

匡金嫦+馬琳

一、教材分析

（一）地位和作用

本課為湘教版八年級上冊第二章第五節《全等三角形》第一課時所教授的內容，在三角形的相關知識中具有重要的地位和作用：它是探究三角形全等條件的基礎，是證明線段相等、角相等的重要依據，也是滲透對應思想的重要一課，同時為學生之后學習三角形相似奠定基礎，而學生之前已經學習了三角形和圖形平移、旋轉、翻折的基礎知識，因此，該課在有關三角形的知識結構中具有承上啟下的作用.

（二）教學目標

1.知識與技能：（1）理解全等圖形、全等三角形的概念及全等三角形的表示方法；（2）能熟練找出全等三角形的對應頂點、對應邊和對應角；（3）掌握全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，并能運用該性質進行簡單的幾何推理.

2.過程與方法：（1）讓學生經歷觀察、猜想、合情說理、歸納總結的過程，獲取全等三角形的基礎知識；（2）讓學生觀察、分析圖形變換的規律，尋找全等三角形經過圖形變換后的對應關系，提高學生的識圖能力和簡單的幾何推理能力，積累數學活動經驗.

3.情感態度與價值觀：（1）通過引導學生觀察圖形的平移、旋轉、翻折過程，培養其運動觀點；（2）通過引導學生觀察圖形變換及親自動手操作，發展其空間觀念，培養其幾何直觀；（3）通過組織學生經歷觀察、分析、交流、討論的過程，培養其獨立思考和團隊合作的意識與能力.

（三）教學重難點

1.重點：探究全等三角形的性質，準確辨認全等三角形的對應元素.

2.難點：運用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算.

二、教學設計

（一）教法選擇

本課屬于幾何類新知課，教法上我們擬采用新知課的四環節教學模式進行設計：第一環節“問題導入”，旨在設疑激趣；第二環節“新知探究”，重點是合情歸納；第三環節“變式應用”，重點是圖形變換；第四環節“總結升華”，重點是應用思維導圖溝通新舊知識間的聯系.

（二）教學內容的考量因素

1.基礎性.學習三角形全等，是之后學習三角形相似的基礎，因此，在課中滲透對應思想至關重要.

2.關聯性.全等三角形與圖形變換息息相關，圖形變換就是一種全等變換，所以在運用全等三角形解決問題時，常常可以通過圖形變換來尋找或構造全等三角形.

3.拓展性.全等三角形是幾何圖形由線、角的開放圖形到封閉圖形的過渡，研究范圍可拓展到對圖形形狀、周長、面積的多元探究，因此在教學素材的選取上，我們擬選擇平移、旋轉、翻折三種圖形變換作為變式教學的載體，將全等三角形的概念和性質融合在具體的問題中，通過問題解決培養學生的識圖能力和計算說理能力，進而突破教學的重、難點.當然，對于本文所呈現的教學設計，我們還可以根據學情的不同做適當的刪減.若學生基礎好，整體水平高，可選擇梯度大的問題進行教學；若學生基礎薄弱，整體水平較低，可選擇坡度緩的問題進行教學.變式教學的宗旨是更精確地因材施教，讓不同層次的學生都能得到相應的發展.

（三）教學過程

1.問題導入：設疑激趣，操作導入

在“問題導入”環節，讓學生觀察、猜測老師手中的紙片有幾張（看似只有一張，但又似乎不止一張；圖片形狀如圖1所示），使學生的直覺與教師的提問暗示產生沖突，在這似是而非的情境中，學生的探究興趣被激發，而全等圖形“完全重合”的概念已巧妙地隱含在這個猜測游戲中.

問題1：猜猜老師手中的紙片有幾張？

2.新知探究：合情說理探究法

在“新知探究”環節設計兩個小問.第一小問引導學生從整體角度觀察全等圖形與全等三角形的特點，使之從中發現兩組圖形“完全重合”的共性；第二小問引導學生從微觀元素觀察全等三角形的對應點、對應邊、對應角的關系，進而運用“合情說理”進行新知歸納.

問題2：（1）觀察老師手中的兩組圖形（見圖2、圖3），說說它們有什么共同特點？（2）若老師將圖3中的兩張圖片重疊在一起，請觀察這兩個三角形，說說它們有哪些對應關系？

★引導學生歸納全等三角形的概念及性質.

（1）全等圖形定義.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.

（2）全等三角形的概念及性質.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.表示：用符號“”連結，如△ABC△DEF，讀作“△ABC全等于△DEF”.點的對應與線的對應分別如圖4、圖5.全等三角形的性質如圖6.

3.變式應用：幾何變式中的“圖形變換”變式

在這個環節，共設計四個問題，從問題3到問題6.

問題3安排一組根據圖形變換設計的變式圖，由平移（沿BC邊平移，點B的對應點E分別在BC邊上、在BC的頂點C處、在BC的延長線上，見圖7、圖8、圖9）→旋轉（繞△ABC的頂點A旋轉，旋轉角分別小于∠BAC、等于∠BAC、大于∠BAC，見圖10、圖11、圖12）→翻折（沿BC邊翻折，沿過點B的任意一條直線如BF、BD翻折，分別見圖13、圖14、圖15）；

問題4選取平移變換所得的圖7進行問題設計，設計思路是由找對應邊、對應角→已知一個角求對應角→已知兩個角求其余角→已知一條邊求對應邊→用字母變式線段的長度（由特殊到一般）→找與BE（平移距離）相等的線段（問題由封閉到開放）；

問題5選取旋轉變換所得的圖10進行問題設計，設計思路是由找對應邊、對應角→已知一個角求角→已知兩個角求角→找與∠1（旋轉角）相等的角；

問題6選取軸對稱變換所得的圖13進行問題設計，設計思路是由找對應相等的線段→找等腰三角形→判定線的位置關系→已知垂線段求面積問題，問題設計由淺入深、層次推進.

設計以上4個問題，旨在引導學生通過觀察圖形變換，培養識圖能力，進一步探究圖形在變換過程中蘊含的變化規律和數量關系.

問題3：請同學們運用圖形的平移、旋轉、翻折規律，分析下列圖形分別是經過了怎樣的變換得到的.

問題4：如圖7，將與△重合的△沿邊向右平移至如圖所示的位置，指出圖中的對應邊、對應角.

變式1：若∠A=100°，則∠D=________.

變式2：若∠A=100°，∠B=40°，你能求出圖中哪些角？

變式3：若AB=5cm，則DE=_______.

變式4：若BC=acm，將△DEF由點B出發，沿BC平移bcm，你能用a、b的代數式表示哪些線段長度？

變式5：連接AD，圖中與BE相等的線段有_______.

問題5：如圖10，將與△重合的△繞點旋轉至如圖所示的位置，指出圖中的對應邊、對應角.

變式1：若∠B=50°，你能求出哪個角，它的值是多少？_______.

變式2：若∠B=50°，∠C=30°，你能求出圖中的哪些角？

變式3：圖中與∠1相等的角是_______.

問題6：將與△重合的△沿翻折至如圖13所示的位置，并連結，請找出圖中對應相等的線段.

變式1：請寫出圖中所有的等腰三角形.

變式2：試判定AD與BC的位置關系，并說明理由.

變式3：若OA=2cm，BC=5cm，你能求出哪些量？

★經過以上變式應用教學，可引導學生歸納全等三角形性質的以下應用.

（1）全等變換.平移、旋轉、軸對稱都是全等變換.

（2）對應關系.圖形位置：通過圖形形狀確定對應關系；符號位置：通過字母位置確定對應關系.

（3）數量和位置.平移：對應點的連線相等且平行（或共線）；對應邊相等且平行（或共線）；對應角相等.旋轉：對應邊相等；對應角相等；對應邊的夾角等于旋轉角.翻折：對應點的連線被對稱軸垂直平分；對應邊相等；對應角相等.

4.總結升華：思維導圖歸納法

在這個環節，用三個小問引導學生回顧本節課的學習內容，溝通新舊知識間的聯系，強化圖形變換在全等三角形中的應用，在圖形變換變式應用中掌握平移、旋轉、翻折的特征.

問題7：通過本節課的學習，你掌握了哪些新的知識？這些新知與哪些舊知之間有緊密聯系？通過問題解決，你從中收獲了什么？

在本環節，我們主要想運用思維導圖歸納法（見圖16），幫助學生整理整節課的內容框架，歸納出有關線段中隱含的數量與位置關系以及有關角中隱含的數量關系，再以此為基礎去研究圖形形狀和圖形面積等問題.

（責編 白聰敏）