小學生幾何直觀能力的培養策略

李星云

數學是研究數量關系和空間形式的科學，圖形是其主要表現形式。幾何直觀是以圖形為研究對象進行思考和想象的一種能力，是“圖形與幾何”的核心目標。除此之外，幾何直觀也滲透在數與代數、統計與概率、綜合與實踐等領域。數學知識具有“數”與“形”的雙重特征，如函數、度量、解析幾何等。只有從數、形兩個方面認識數學，才能更好地理解和把握數學的本質，而幾何直觀就是從“形”的角度展示數學。學生憑借幾何直觀能力，不僅能夠輕松地從運動和變換的角度研究和學習圖形的性質，而且可以利用圖形研究代數等其他領域的問題。因此，可以說，幾何直觀是研究和學習數學的重要工具，也是一種基本能力。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）給出了幾何直觀的定義，并在不同領域對幾何直觀都提出了相應的要求，數學教師必須深刻理解幾何直觀的內涵、意義，并思考如何在教學中有效培養學生的幾何直觀能力。

一、幾何直觀的內涵

幾何直觀包括“幾何”和“直觀”。幾何指的是圖形；直觀包括兩層含義，一是直接觀察到的事物，二是根據觀察到的事物進行想象、思考和綜合。由此可知，幾何直觀的含義是：根據直接觀察到的圖形進行想象、思考和綜合。[1]直觀是對數學概念、定義、關系等內容的直接感知和把握。與直覺不同的是，直觀需要以邏輯作為支撐，是人在后天學習經驗中慢慢積累而成的。《標準》針對幾何直觀的作用作出了解釋性說明：幾何直觀通過圖形描述和分析數學問題，讓復雜的問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解數學，探究解決問題的思路，預測結果。[2]

實物直觀、圖形直觀、簡約符號直觀和替代物直觀是小學數學中幾何直觀的四種主要表現形式。[3]實物直觀指的是以實物為依托的幾何直觀能力。與其他類型相比，實物直觀是生活中現實存在的，能夠比較直觀地表達數學關系。比如，小學低年級學生學習20以內的數時，可以借助小棒來理解十進制的含義，小棒就是實物直觀。簡約符號直觀是借助抽象或簡約的符號來理解數學知識，如行程問題中的線路圖。圖形直觀是指利用幾何圖形的直觀能力，比如，圖1巧妙地運用了3個矩形面積的關系解釋乘法分配率的公式：a（b+c）=ab+ac。替代物直觀是實物直觀、圖形直觀和簡約符號直觀的綜合，“替代物”既可以是具體實物、幾何圖形，也可以是抽象的符號，如分數的除法可以利用線段圖和符號進行直觀理解。

綜上所述，圖形不僅是數學重點研究的對象，而且是數學研究的得力工具。合理運用圖形解決數學問題，一方面可以簡化數學對象，幫助學生理解和記憶，另一方面可以幫助學生找到更為直觀的解決方法。培養學生的幾何直觀能力就是要訓練學生利用圖形解決問題的能力，讓學生學會從“形”的視角思考問題、分析問題和解決問題。

二、幾何直觀的教育價值

（一）化繁為簡，增強解決問題的信心

在小學階段，數學相對于其他學科來說，抽象性和邏輯性比較強，學生對新事物的認知主要依賴具體的實物，再加上小學生的認知水平處于具體運算階段逐漸向形式運算階段轉變的關鍵期，因而學好數學的難度比較大。如果利用直觀形象的背景以及幾何圖形，在抽象知識與實際問題之間架起橋梁，那么復雜的數學問題就會變得一目了然，學生也易于理解，進而逐步增強解答難題的信心，并從中體會到學習的愉悅和數學的美感，從而對數學產生興趣。

例如，貨車和客車分別同時從甲、乙兩地相對開出，第一次相遇地點離甲地85千米。相遇后兩車繼續前進，到達目的地后立刻返回，第二次相遇地點離乙地15千米，求甲、乙兩地間的距離。該題是兩個行程問題的綜合，對于初次接觸該題型的學生而言，幾乎不可能一步到位得出答案。教師若利用線段圖（見圖2）就能對行程過程進行詳細直觀的描述，降低題目的難度，學生就能夠抓住行程過程的關鍵點，即客車行駛的路程是甲、乙兩地距離的3倍，所用的時間是貨車所用時間的3倍。

（二）深化理解，訓練邏輯推理能力

教師利用合適的幾何模型、圖形對數學問題進行描述和解釋，有利于打開學生的思路，幫助學生理解抽象的數學概念，透徹理解數學問題。幾何直觀利用圖形或模型對數學概念、定義和公式進行直觀的演繹和推導，使分析問題的過程變得更加顯性、清晰，有助于提高學生的邏輯思維能力。

例如，盈虧問題是小學階段的重要題型之一，雖然已經有成型的公式可以套用，只要學生能夠判斷出屬于哪一種類型便可輕松得出答案，但是要讓學生真正理解盈虧問題的實質卻并不容易，對此，教師可以利用幾何直觀進行解釋分析。舉例如下：開學初，某班組織幾名學生搬書，若每人搬18本，還有2本沒有人搬；若每人搬20本，有1名同學不用搬。請問一共有幾名同學去搬書？教師可以引導學生利用畫圖的形式，對該題進行直觀的描述，讓學生能夠輕松地理解幾個變量之間的關系。如圖3所示，書的總數和搬書的人數固定不變，實線線段表示書的總數，這樣，學生很容易發現前后兩次分配的差（20+2=22）是由于每個人多搬了2本書所導致，從而可以直接得出答案是11個人。

（三）提升綜合能力，培養創新意識

已有的腦科學研究成果顯示：人的左腦主要進行抽象思維，對遇到的問題進行邏輯分析和運算；而右腦則負責形象思維，對問題進行直觀形象的分析。只有左右腦協調工作時，才能成功地解決問題。因此，學生憑借直觀形象的載體解決實際問題，也是對右腦的開發和利用。在一定程度上，想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的。從本質上來看，幾何直觀是利用圖形進行想象的一種能力，它不僅有助于學生深入理解問題，而且能夠從中找到巧妙的解決方法。在教學中，教師應當有意識地引導學生利用幾何直觀進行描述和分析，讓學生嘗試采用數形結合的方法解決數學問題。

例如，通過操作、觀察和想象，學生知道將長方形進行平行移動能夠得到長方體，將長方體旋轉一周能夠得到圓柱體。因此，在圖形與幾何領域，借助幾何直觀，學生能夠知道點動成線、線動成面、面動成體的事實。同時，教師還可以讓學生嘗試將自己喜歡的圖形進行旋轉，想象并設計出各種立體圖形。學生在不斷的嘗試和探索過程中，能夠逐漸提高解決問題的能力，形成創新的意識。

三、幾何直觀能力的培養策略

幾何直觀在圖形與幾何中發揮著重要的作用，推動著其他領域的學習。圖形是幾何直觀的研究對象與工具，這使得其貫穿于整個圖形與幾何領域，學生不僅需要認識各種圖形及其性質，還需要了解圖形的平移、旋轉、對稱等變換運動，讓幾何圖形學“動”起來是培養學生幾何直觀能力的有效途徑。在相對抽象的數與代數領域，幾何直觀的運用可以將抽象的數學對象和關系變得顯性化，因此，尋找數學對象的直觀模型是該領域培養學生直觀能力的重要措施。在統計與概率領域，教師利用直觀材料進行教學，能夠幫助學生在理解統計過程與統計方法的基礎上形成數據分析觀念。在綜合與實踐領域，在具體的問題解決活動中，教師可以借助實物直觀培養學生的幾何直觀能力。培養學生的幾何直觀能力是圖形與幾何的教學目標之一，而幾何直觀能力又是影響中小學學生數學能力發展的重要因素，教師必須重視。在課堂教學中培養學生的幾何直觀能力，教師可從以下幾個方面入手。

（一）深刻理解幾何直觀的內涵

有效培養學生的幾何直觀能力關鍵在于兩點。第一，教師對幾何直觀的認識及把握程度。在教學中，教師關于幾何直觀的知識儲備量以及把控能力，直接影響著學生對幾何直觀的認識和掌握。第二，教師要具有主動培養學生幾何直觀的意識，善于挖掘學生的幾何直觀潛質，促進學生的發展。

例如，彩繩每米售價2.5元，購買2米、3米、4米……8米彩繩分別需要多少元？對于熟練掌握小數乘以整數的學生來說，這道題目并不難。當然，教師還可以引導學生用圖像說話，進而發現其中的規律，比如利用圖像估計購買彩繩所花費的金額，為學習正比例關系做好鋪墊。如果教師不具備培養學生幾何直觀能力的意識，只是讓學生用乘法尋求答案，那么就無法充分挖掘這道題目蘊含的深層價值。教師如果具備豐富的幾何直觀知識，在備課時就會考慮幾何直觀的教育功能，主動挖掘教材或教學參考書中可以利用的素材，并在教具的選擇和習題的安排上充分發揮幾何直觀的教育功能。

（二）引導學生養成畫圖的習慣

良好的學習習慣有助于學生形成良好的數學素養。圖形是幾何直觀重要的研究對象與工具，學生養成畫圖的習慣是培養幾何直觀能力的基礎。小學生自制力比較差，注意力容易分散，教學中教師培養學生畫圖的習慣，既能夠讓學生集中注意力，又能夠提高學生的繪圖技能和動手能力，并在動手操作中體會幾何直觀的價值。因此，在教學中，教師應當引導學生盡可能地通過動手畫圖來解決數學問題。學生畫圖的過程可以將頭腦中抽象的思維方式和思考過程變得圖形化、直觀化，使思考過程更加清晰、有條理。畫圖不僅可以在解決具體問題時運用，當學習完一個單元或整個章節的內容后，教師也可以引導學生嘗試利用圖形對知識進行梳理，將知識間的脈絡體系進行整理，提高對知識的整體把握能力。

例如，教師在教學時可以利用知識結構網絡圖，幫助學生厘清知識間的聯系。小學高年級學生已經初步了解三視圖，會從正面、左面和上面判斷圖形的特征并選出相應的圖形，有時還能夠繪制出簡單的圖形，這樣不僅加深了對三視圖的認識，還提高了畫圖能力。

（三）尋找數學對象的直觀模型

小學生抽象思維水平較低，對數的認識離不開現實生活中的實物，比如，一個蘋果對應1，兩根香蕉對應2。當學生開始接觸數時，教師可以使用點子圖和具體的事物（如小棒、積木條）幫助學生認識數。在小學低年級階段，教師應用直觀模型可以幫助學生理解數學概念，加深學生對數學對象本質的認識。比如，在方格中放一些圓點，一個圓點代表一個元素，一個方格代表一個集合，整數的加減運算就可以通過圓點的增加或減少來實現。

例如，為了解釋5×6=30的算理，教師可以利用方格直觀展示，把兩個方格的點排成5行6列的矩陣形式。再如，學習長方體、圓柱等立體圖形時，教師可以引入生活事例，也可以引導學生觀察生活中哪些對象是已經學過的幾何圖形，并讓學生說一說。除了上課時準備的直觀教具，教師還可以利用多媒體展示更為復雜的直觀模型，如球體的形成過程或立體圖形的切面展示。在統計與概率、綜合與實踐領域，教師可以通過直觀模型呈現問題的背景，如利用小圓片代替教材中的礦泉水瓶、套圈等，幫助學生直觀理解平均數的含義。

（四）引導學生從數與形兩個角度理解數學

很多數學內容具有數與形的雙重特征。數形結合是一種重要的數學思想與方法，解題時運用數形結合的方法，學生需要對所學知識與技能具有貫通式的認識與理解。因此，教師有必要培養學生具備數與形之間的化歸與轉化意識，讓學生能夠從數與形兩個方面理解數學。

例如，在小學階段，學生初步接觸正比例函數。與中學階段不同的是，小學階段只是從有限的自變量認識正比例關系，因而教師可以引導學生畫出其中一部分正比例函數的圖像，并嘗試利用圖像解決問題。相反，在統計與概率領域，當需要學生對統計圖進行解釋時，教師可以引導學生將圖中的信息轉化成數據再進行分析。

（五）重視幾何圖形的變換

發展學生的幾何直觀能力是圖形與幾何的核心教學目標之一。重視幾何圖形的變換是培養學生幾何直觀能力最有效的途徑，因為只有通過圖形的運動或圖形的變換，才能真正把握圖形的性質。[4]小學生接觸的基本圖形幾乎都是對稱的，如長方形、圓、長方體等，但基本圖形可以通過變換或運動得到更多不同的圖形。

例如，長方形通過變換得到平行四邊形，三角形通過變換和平移可以得到平行四邊形。圖形的變換不僅是幾何學習的重點，還是研究其他圖形的工具，教師應當充分利用圖形的變換，指導學生認識和理解圖形的性質及內在聯系。

（六）加強不同版本教材的整合

不同版本的數學教材對幾何直觀的重視程度有所差別。以北師大版數學教材為例，該教材重視利用幾何直觀幫助學生理解數學知識，闡述數學原理。

例如，學習小數乘整數這節內容，北師大版數學教材不僅通過小數的加法讓學生理解小數的乘法，還運用圖形解釋算理（見圖4）。教師在設計教學時，要研讀多種版本的教科書，并借鑒其他版本數學教材中好的想法與設計意圖，充分利用各種教學資源，在教學中運用幾何直觀的構想設計教學，幫助學生在學習中直觀地理解數學，進一步發展幾何直觀和空間想象能力，從而形成直觀想象這一核心素養。

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：92.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：6.

[3]孔凡哲，曾崢.數學學習心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2012：268.

[4]史寧中.數學思想概論——圖形與圖形關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2015：153.

（責編 歐孔群）