非線性油膜力下裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

向 玲， 高雪媛， 張力佳， 邸薇薇

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北保定 071003)

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非線性油膜力下裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

向 玲， 高雪媛， 張力佳， 邸薇薇

(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系，河北保定 071003)

在考慮裂紋軸時(shí)變剛度、碰摩力和非線性油膜力的基礎(chǔ)上，建立了裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值積分方法對(duì)其進(jìn)行求解，結(jié)合分岔圖、poincaré截面圖、軸心軌跡圖和最大Lyapunov指數(shù)(LLE)曲線圖，從定性和定量的角度分析了無量綱裂紋深度和轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)、穩(wěn)定性及碰摩力的影響.結(jié)果表明：該類轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)出現(xiàn)了p-2、p-4、p-8、擬周期和混沌等豐富的非線性運(yùn)動(dòng)；隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)轉(zhuǎn)速提高，進(jìn)入擬周期和混沌等運(yùn)動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速提前；在高速區(qū)間，隨著無量綱裂紋深度的增加，系統(tǒng)響應(yīng)由擬周期運(yùn)動(dòng)演變?yōu)榛煦绾投嘀芷谶\(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)；在不同轉(zhuǎn)速階段，裂紋的加深對(duì)碰摩力的影響不同，在高速區(qū)間的影響更為明顯.

轉(zhuǎn)子； 裂紋； 碰摩； 非線性動(dòng)力學(xué)； 最大Lyapunov指數(shù)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件，長(zhǎng)時(shí)間在高溫高壓、重載、高速等惡劣的環(huán)境中工作，會(huì)產(chǎn)生疲勞裂紋.隨著裂紋擴(kuò)展，系統(tǒng)橫向振動(dòng)加劇，嚴(yán)重時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與定子之間出現(xiàn)碰摩現(xiàn)象.裂紋和碰摩都會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，在2種故障同時(shí)發(fā)生的情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)更復(fù)雜、更豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)含裂紋-碰摩雙故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行了一系列研究.Patel等[1-2]從頻域角度研究了裂紋、碰摩故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在頻譜圖中存在比較明顯的二倍頻.Hou等[3]研究了航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子在懸停飛行下發(fā)生碰摩的非線性行為. AL-Shudeifat[4]建立了非對(duì)稱裂紋轉(zhuǎn)子的有限元模型，找到了區(qū)分呼吸裂紋與開裂紋的方法.Han等[5]在同時(shí)考慮非對(duì)稱圓盤和斜裂紋的基礎(chǔ)上建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型.宋光雄等[6]分析了國(guó)內(nèi)外汽輪機(jī)組轉(zhuǎn)子裂紋故障的案例，歸納出轉(zhuǎn)子裂紋的主要原因和振動(dòng)特征.楊丹等[7]研究了含初始彎曲的裂紋-碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，結(jié)果表明淺裂紋下初始彎曲起主導(dǎo)作用，隨著裂紋深度的增加，交替出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng).陶海亮等[8]運(yùn)用多種時(shí)頻分析相結(jié)合的方法較為全面地研究了轉(zhuǎn)子的故障特征，發(fā)現(xiàn)裂紋轉(zhuǎn)子在1/5、1/3臨界轉(zhuǎn)速時(shí)會(huì)發(fā)生較明顯的5X、3X諧波.針對(duì)帶有裂紋-碰摩雙故障的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，筆者在考慮非線性油膜力的基礎(chǔ)上，建立此類故障轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)(LLE)曲線圖，定性和定量地分析了無量綱裂紋深度對(duì)裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)行為以及系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響.

1 裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型

研究對(duì)象為簡(jiǎn)化的裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子兩端采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支承，如圖1所示，其中O1為軸端軸承內(nèi)瓦幾何中心，O2為轉(zhuǎn)子幾何中心，O3為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；m1為轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量，m2為轉(zhuǎn)軸中央圓盤等效質(zhì)量，在靠近圓盤處有一橫向弓形裂紋.另外，軸承半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，軸承間隙為c.

假設(shè)含裂紋與碰摩的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)左端軸頸的徑向位移為x1、y1，中央圓盤處的徑向位移為x2、y2，c1為轉(zhuǎn)子在軸承處的結(jié)構(gòu)阻尼(以下簡(jiǎn)稱軸承阻尼)，c2為轉(zhuǎn)子圓盤處的結(jié)構(gòu)阻尼(以下簡(jiǎn)稱圓盤阻尼)；滑動(dòng)軸承作用在轉(zhuǎn)軸上的非線性油膜力為Fx、Fy，忽略陀螺力矩和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，只考慮系統(tǒng)的橫向振動(dòng)，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

式中：Px、Py為碰摩力；kij(i=x,y，j=x,y)為考慮裂紋后軸的剛度；e為質(zhì)量偏心；β為裂紋擴(kuò)展方向與不平衡方向之間的夾角；g為重力加速度；ω為轉(zhuǎn)速；t為時(shí)間.

圖1 裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)

1.1 裂紋軸的剛度

圖2為轉(zhuǎn)軸裂紋處橫截面示意圖，其中xoy為絕對(duì)坐標(biāo)系，ξo′η為固定在圓盤上并隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，o′ξ方向?yàn)榱鸭y擴(kuò)展方向，o′η方向?yàn)榱鸭y擴(kuò)展垂直方向，Ψ為轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)角，θ=ωt為自轉(zhuǎn)角，φ為轉(zhuǎn)渦差角，φ=θ-Ψ.在考慮呼吸裂紋后，轉(zhuǎn)軸剛度矩陣[9]可表示為

φ)×

(2)

式中：φ=θ+β；k0為無裂紋軸的剛度；Δks(s=ξ,η)為ξ、η方向由裂紋引起的轉(zhuǎn)軸剛度改變量；f(φ)為描述裂紋開閉的函數(shù)，f(φ)=[(1+cosφ)/2]A，A為無量綱裂紋深度，A=a/R，a為實(shí)際裂紋深度.

該裂紋軸剛度模型在文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]中也有使用，較為經(jīng)典，適用于含有裂紋故障的Jeffcott單盤轉(zhuǎn)子模型的建立.

圖2 開閉裂紋模型示意圖

1.2 碰摩力模型

當(dāng)碰摩發(fā)生時(shí)，首先進(jìn)行如下假設(shè)：轉(zhuǎn)子與定子間的初始間隙為δ；與運(yùn)動(dòng)周期相比，碰摩的時(shí)間非常短，此時(shí)可用彈性接觸模型.接觸面的摩擦為庫(kù)倫摩擦，并假設(shè)摩擦因數(shù)為常數(shù)，即摩擦因數(shù)與轉(zhuǎn)子、定子間的相對(duì)速度無關(guān).發(fā)生碰摩時(shí)徑向力Pn和切向力Pr可表示為

(3)

在xoy坐標(biāo)系中，碰摩力[12]可表示為

(4)

(5)

1.3 油膜力模型

本文中滑動(dòng)軸承處所產(chǎn)生的油膜力具有強(qiáng)非線性，理論分析中采用經(jīng)典的Capone圓軸承理論[13-14]，該模型精度較高，其表達(dá)式如下：

(6)

式中：fx、fy分別為滑動(dòng)軸承處x與y方向上的無量綱油膜力；σ為Sommerfeld修正數(shù).

(7)

(8)

與式(8)相關(guān)的表達(dá)式如下：

(9)

式中：x、y為軸承位移；μ為潤(rùn)滑油黏度.

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程求解

2.1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的無量綱處理

式(1)給出了裂紋-碰摩雙故障轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，綜合考慮了剛度的變化以及碰摩力和油膜力的影響，將式(2)中的剛度模型、式(5)中的碰摩力及式(8)中的無量綱油膜力代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程式(1)中，同時(shí)引入無量綱變換：

(10)

2.2 參數(shù)設(shè)置

系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1.由于運(yùn)動(dòng)微分方程式(10)表示一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，這里采用四階Runge-Kutta法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值積分求解，并且舍去前300個(gè)周期的結(jié)果以消除瞬態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而可得到系統(tǒng)的分岔圖和LLE曲線圖等.

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

3 仿真與分析

裂紋的存在會(huì)對(duì)碰摩-裂紋雙故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生較大影響，且在一定程度上影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.利用不同無量綱裂紋深度下的分岔圖和LLE曲線圖來分析裂紋深度對(duì)系統(tǒng)分岔特性及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響.

3.1 不同無量綱裂紋深度下的系統(tǒng)響應(yīng)

圖3～圖5為無量綱裂紋深度A分別為0、0.5和0.9 3種情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖及對(duì)應(yīng)的LLE曲線圖.對(duì)比圖3(a)、圖4(a)和圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，系統(tǒng)首次發(fā)生倍周期分岔的轉(zhuǎn)速ω分別為700 rad/s，715 rad/s和770 rad/s，此時(shí)系統(tǒng)因出現(xiàn)早期油膜渦動(dòng)而由p-1失穩(wěn)狀態(tài)進(jìn)入p-2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，說明無量綱裂紋深度的增加會(huì)使系統(tǒng)首次分岔的轉(zhuǎn)速提高，原因在于裂紋的存在干擾了油膜渦動(dòng)的形成，使不穩(wěn)定性有所滯后，對(duì)應(yīng)圖3(b)、圖4(b)和圖5(b)中分岔點(diǎn)處的LLE值(La)均為0.

在中速階段，系統(tǒng)由p-2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)繼續(xù)發(fā)生倍周期分岔，經(jīng)歷了p-4和p-8等運(yùn)動(dòng)，在裂紋較深時(shí)(A=0.9)，系統(tǒng)經(jīng)由倍周期分岔進(jìn)入有2個(gè)吸引子的混沌運(yùn)動(dòng)，此時(shí)對(duì)應(yīng)圖5(b)中的La值為正；另外，隨著裂紋的加深，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔的轉(zhuǎn)速窗口在逐漸縮小.隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)升高，圖3(a)中轉(zhuǎn)速ω=1 505 rad/s時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入到長(zhǎng)期的擬周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)圖3(b)中La約為0；圖4(a)中系統(tǒng)進(jìn)入到長(zhǎng)期擬周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間的轉(zhuǎn)速閾值為ω=1 455 rad/s，且在轉(zhuǎn)速范圍1 545～1 560 rad/s和1 740～1 770 rad/s內(nèi)出現(xiàn)了p-7運(yùn)動(dòng)；而圖5(a)中系統(tǒng)在經(jīng)歷混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生倒分岔回到p-2運(yùn)動(dòng)后再次進(jìn)入到強(qiáng)非線性運(yùn)動(dòng)區(qū)間的轉(zhuǎn)速為1 070 rad/s，并且圖3(a)和圖4(a)中在此轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的擬周期運(yùn)動(dòng)演變?yōu)殛嚢l(fā)性混沌，對(duì)應(yīng)圖5(b)中的La值正負(fù)交替變化，此時(shí)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性和強(qiáng)不穩(wěn)定性.

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

3.2 定轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)響應(yīng)隨無量綱裂紋深度的變化

為了進(jìn)一步說明裂紋深度變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，圖6給出了ω=980 rad/s時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)隨無量綱裂紋深度A變化的分岔圖和LLE曲線圖.圖7給出了不同無量綱裂紋深度A下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和poincaré截面圖.從圖6(a)可以看出，當(dāng)無量綱裂紋深度A較小時(shí)，系統(tǒng)處于p-8運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，圖6(b)中相對(duì)應(yīng)的La小于0，其運(yùn)動(dòng)特性如圖7(a)所示，A=0時(shí)的軸心軌跡8環(huán)相交，poincaré截面圖上為8個(gè)孤立的相點(diǎn)，此時(shí)La為-0.006 9.當(dāng)A∈(0.380，0.393)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倒分岔，處于p-4運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)圖6(b)中的La等于0.在短暫的p-4運(yùn)動(dòng)后，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔繼續(xù)進(jìn)入到p-8運(yùn)動(dòng).當(dāng)A增至0.78時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生倍周期分岔進(jìn)入到p-16運(yùn)動(dòng)，該處的La跳變?yōu)?.隨著A的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)由倍周期分岔途徑進(jìn)入到混沌狀態(tài)，在區(qū)間(0.818,0.875)和(0.895,0.985)內(nèi)系統(tǒng)的La均大于0，系統(tǒng)響應(yīng)的軸心軌跡圖及poincaré截面圖都有所變化，如圖7(b)所示，A=0.87時(shí)的軸心軌跡多圓疊交，poincaré截面吸引子圖為4個(gè)混沌小島.當(dāng)A∈(0.878,0.895)時(shí)，混沌運(yùn)動(dòng)演變?yōu)閜-12周期振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的La小于0，圖7(c)中A=0.88時(shí)，軸心軌跡圖為有限條曲線交疊，poincaré截面上呈現(xiàn)12個(gè)離散相點(diǎn)，La為-0.024 2.隨著A的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)再次進(jìn)入到混沌狀態(tài)，在區(qū)間(0.889,0.986)內(nèi)系統(tǒng)的La為正值，圖7(d)中軸心軌跡更加復(fù)雜，混沌小島由4個(gè)變?yōu)?個(gè).當(dāng)A增至0.99后，系統(tǒng)結(jié)束混沌運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入到p-10周期運(yùn)動(dòng).因此，隨著A的增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性趨于復(fù)雜，不穩(wěn)定性變強(qiáng).綜上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程為p-8→p-4→p-8→p-16→混沌→p-12→混沌→p-10，說明裂紋深度的加深使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得非常復(fù)雜，并且可能使系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)，造成系統(tǒng)失穩(wěn).

(a)分岔圖

(b)LLE曲線圖

Fig.6 Bifurcation diagram and LLE curve varying with the non-dimensional crack depthA(ω=980 rad/s)

3.3 無量綱裂紋深度對(duì)碰摩力的影響

圖8給出了無量綱裂紋深度A分別為0、0.5和0.9時(shí)碰摩力隨轉(zhuǎn)速的變化，其中碰摩力為各轉(zhuǎn)速下x方向無量綱碰摩力的有效值，記為Px.

從圖8可以看出，在轉(zhuǎn)速200～410 rad/s內(nèi)，A=0和A=0.5時(shí)的曲線重合度較高，而A=0.9時(shí)碰摩力反而小，說明在該轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)較深的裂紋在一定程度上抑制了碰摩的力度；在轉(zhuǎn)速411～515 rad/s內(nèi)，裂紋的加深反而使碰摩力變大，且碰摩力在該范圍內(nèi)出現(xiàn)小波峰，系統(tǒng)振動(dòng)劇烈，裂紋的影響較大；在ω=515 rad/s后的中速階段，裂紋的加深使同轉(zhuǎn)速下的碰摩力變小，而在高速階段，裂紋的加深會(huì)使同轉(zhuǎn)速下的碰摩力變大，且影響很明顯.另外，圖8中中速階段出現(xiàn)了峰谷：A為0、0.5和0.9時(shí)的峰谷轉(zhuǎn)速分別為700 rad/s、715 rad/s和770 rad/s，與首次倍周期分岔的轉(zhuǎn)速相同，說明系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的切換會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，碰摩力由減小趨勢(shì)變?yōu)樵龃筅厔?shì)，振動(dòng)重新變得劇烈.系統(tǒng)碰摩力第2次發(fā)生跳變的轉(zhuǎn)速為1 255 rad/s、1 150 rad/s和1 070 rad/s，分別與系統(tǒng)在A=0、0.5時(shí)首次進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)和A=0.9時(shí)進(jìn)入到陣發(fā)混沌的轉(zhuǎn)速相同.此后A=0和0.5時(shí)的碰摩力變化并不大，但在跳躍點(diǎn)1 505 rad/s和1 455 rad/s后碰摩力持續(xù)增大，對(duì)應(yīng)分岔圖中此時(shí)系統(tǒng)第2次進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)；而A=0.9時(shí)的碰摩力一直呈增大趨勢(shì)，在跳躍點(diǎn)處均能在分岔圖上找到對(duì)應(yīng)的狀態(tài)切換.

(a)A=0

(b)A=0.87

(c)A=0.88

(d)A=0.92

圖7ω=980 rad/s時(shí)不同無量綱裂紋深度A下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和poincaré截面圖

Fig.7 Axis orbit and poincaré maps of rotor under different non-dimensional depths of crackA(ω=980 rad/s)

圖8 不同無量綱裂紋深度A下碰摩力隨轉(zhuǎn)速變化的有效值曲線

Fig.8 RMS curve of rub-impact force varying with different non-dimensional depths of crackA

4 結(jié) 論

(1)在低速區(qū)間，隨著無量綱裂紋深度A的增加，系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)后移，說明裂紋的加深在該轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；中速區(qū)間內(nèi)，雖然p-2、p-4和p-8等多周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)速范圍在逐漸減小，但在無量綱裂紋深度較大時(shí)系統(tǒng)經(jīng)由倍周期分岔道路進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)，并且系統(tǒng)進(jìn)入擬周期、混沌等運(yùn)動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速提前；在高速區(qū)間，無量綱裂紋深度的增加使得擬周期運(yùn)動(dòng)逐漸演變?yōu)榛煦绾投嘀芷谶\(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，分岔情況更為復(fù)雜，且隨著無量綱裂紋深度的增加，高速區(qū)間的響應(yīng)幅值逐漸增大，不穩(wěn)定性增加.

(2)在不同轉(zhuǎn)速階段，裂紋的加深對(duì)碰摩力的影響不同，其中在高速區(qū)間的影響更為明顯；隨著轉(zhuǎn)速增大，碰摩力雖呈增大趨勢(shì)，但存在多個(gè)跳躍點(diǎn)，并且跳躍點(diǎn)數(shù)隨著無量綱裂紋深度的增加而增加，部分跳躍點(diǎn)提前.

(3)裂紋的加深和轉(zhuǎn)速的升高均會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

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Dynamic Analysis of a Rotor with Coupling Faults of Crack and Rub-Impact Under Nonlinear Oil-film Force

XIANGLing,GAOXueyuan,ZHANGLijia,DIWeiwei

(Faculty of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

A nonlinear dynamic model was established for the rotor with coupling faults of crack and rub-impact, considering the time-varying rigidity of crack, rub-impact force and nonlinear oil-film force, which was solved by numerical integration method. Meanwhile, the bifurcation diagrams, poincaré maps, axis orbit and the largest Lyapunov exponent (LLE) were used to analyze the effects of non-dimensional crack depth and rotating speed on the system response, system stability and the rub-impact force in both qualitative and quantitative ways. Results indicate that, the system has undergone diverse nonlinear motions, such as 2T-periodic motion, 4T-periodic motion, 8T-periodic motion, quasi-periodic motion and chaos. As the non-dimensional crack depth increases, the speed of the first bifurcation rises, and the time reaching the critical speeds of quasi-periodic motion and chaos advances. Besides, with the increase of non-dimensional crack depth, the quasi-periodic motion evolves into alteration of chaos and multi-periodic motion in the high-speed area. Moreover, the influence of crack depth on rub-impact force varies in different speed areas, which becomes particularly noticeable in the high-speed area.

rotor; crack; rub-impact; nonlinear dynamics; largest Lyapunov exponent

2015-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475164)

向 玲(1971-),女, 湖北隨州人,教授,博士,研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)和故障診斷. 電話(Tel.)：15032496266； E-mail：ncepuxl@163.com.

1674-7607(2016)10-0788-07

TH113

A 學(xué)科分類號(hào)：470.30