航天器剛柔耦合動力學建模及熱誘發動力學響應分析

孫述鵬， 王 偉， 段 梟

(湖北航天技術研究院總體設計所，武漢 430000)

航天器剛柔耦合動力學建模及熱誘發動力學響應分析

孫述鵬， 王 偉， 段 梟

(湖北航天技術研究院總體設計所，武漢 430000)

針對帶大型太陽能帆板的航天器，使用蜂窩板對太陽能帆板進行建模，利用哈密頓原理建立了航天器剛柔耦合動力學方程，分析了剛柔耦合非線性項及系統參數對航天器固有特性和熱誘發動力學響應的影響。結果表明，系統頻率隨中心剛體轉動慣量減小而升高，存在特定的蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值，使系統頻率最高；系統剛柔耦合非線性項不影響熱誘發動力學響應中的準靜態位移分量，但會使熱誘發振動分量的振幅增大，振動頻率發生偏移；當系統熱特征時間常數的倒數和系統基頻接近時，熱誘發振動幅值最大。研究結果對航天器參數設計提供了理論指導。

熱誘發振動；太陽能帆板；剛柔耦合；蜂窩板；柔性航天器

航天器安裝有多種柔性附件，如太陽能帆板、柔性天線等，以實現不同的功能。在軌運行期間，航天器周期性地進出地球陰影，柔性附件將經歷溫度驟變，在結構內部產生溫度梯度，導致柔性附件發生變形；如果溫度梯度是時變的，則可能導致柔性附件發生振動[1]。前者導致航天器姿態指向出現偏差，后者則會引起航天器姿態抖動，二者都影響航天器的性能，甚至導致航天器結構破壞。因此，對航天器熱誘動力學響應進行深入研究十分必要。

許多學者對單獨的柔性附件熱誘發振動進行了研究。BOLEY[2]分析了受突加熱載荷作用的梁的熱誘發振動，并指出：當結構的熱特征時間常數與其固有振動周期數量級相同時，結構可能在熱變形基礎上發生熱誘發振動。在此基礎上，THORNTON[3]將柔性結構熱誘發動態響應看做準靜態熱變形和熱誘發振動的疊加，求解了哈勃望遠鏡撓性卷軸式太陽能帆板的熱誘發結構響應。程樂錦等[4]發展了一種熱-動力學耦合的有限元方法，求解了由薄壁桿和薄膜組成的哈勃望遠鏡太陽能帆板熱誘發振動，并和文獻的理論結果進行了對比，驗證了有限元方法的正確性?？紫楹旰屯踔捐岢隽说刃灰品ǎㄟ^自編Python程序計算柔性附件有限元模型各節點的等效溫度載荷，再以該載荷為激勵計算結構動態響應，進而對空間站柔性太陽翼[5]及其桅桿[6]的熱誘發振動進行了分析。

安裝有柔性附件的航天器是一類典型的剛柔耦合系統，其運動包含了航天器整體的姿態運動和柔性附件的彈性振動。由于航天器系統總角動量守恒，因此柔性附件的變形和振動必然導致航天器姿態運動。針對一類中心剛體-柔性梁航天器系統，JOHNSTON等[7]建立了其剛柔耦合線性動力學模型，并對熱-結構動力學響應進行了理論研究；LI[8]則分析了此類航天器的結構熱特征時間常數對系統熱誘發動態響應的影響。李偉等[9]保留柔性航天器動力學模型中的剛柔耦合非線性項，使用有限元方法分析了系統的穩定性。

航天器的太陽能帆板通常由蜂窩基板上粘貼太陽能電池片組成[10]，蜂窩基板的幾何參數對航天器的模態影響十分顯著，但關于太陽能帆板基板(蜂窩板)參數對航天器熱誘發動力學響應的影響的相關研究，目前尚未發現有所報道。此外，雖然有文獻[9]使用計入剛柔耦合非線性項的航天器動力學方程進行系統動態特性分析，但這些工作僅局限于計算響應，而未能有進一步的分析。有鑒于此，本文使用蜂窩板對太陽能帆板進行建模，利用哈密頓原理建立了航天器剛柔耦合非線性動力學方程，分析了中心剛體轉動慣量和蜂窩板參數對航天器固有特性及熱誘發動力學響應的影響，并對系統非線性特性進行了研究。

1 航天器模型描述

圖1所示為一類典型航天器結構，由星體平臺(中心剛體)和一對大型太陽能帆板組成[11]，是典型的剛柔耦合系統，航天器整體受熱流S0照射。中心剛體半徑為r0，轉動慣量為JR；太陽能帆板長L，寬b，假定長寬比L/b較大，可用歐拉-伯努利梁建模。忽略太陽能帆板上的太陽能電池片和粘合劑的影響，僅考慮其主體結構——蜂窩基板，如圖2所示。蜂窩板總厚度為2h，蜂窩芯層厚2hc，上下面板厚度均為hf。蜂窩板由鋁制成，其材料密度和彈性模量分別為ρ0和E0，則上下面板的材料密度ρf和彈性模量Ef分別等于ρ0和E0；蜂窩胞元為邊長lc的正六邊形結構，壁厚為δc。將蜂窩芯層等效為幾何參數不變的實心層，其等效材料密度ρc和彈性模量Ec可依據Gibson公式[12]得到

(1)

隨后將蜂窩板視為三層板，使用經典層合板理論建模。

為了描述航天器姿態運動和太陽能帆板變形，建立了慣性坐標系o-XY和和隨體坐標系o-xy，如圖1所示。航天器在X-Y面內的姿態運動用θ表示，太陽能帆板上任意點P在隨體系o-xy中的矢徑為r，沿x和y的變形分別為u(x,t)和v(x,t)。

圖1 航天器結構Fig.1 Spacecraft with rigid hub and flexible solar panel

圖2 太陽能帆板蜂窩基板橫截面Fig.2 Cross section for the honeycomb panel of solar panel

2 航天器熱誘發動力學響應分析模型

2.1 太陽能帆板熱響應分析

如圖1所示，太陽能帆板所受熱流垂直于其未變形時的表面。對于對日定向的太陽能帆板，假定熱流從零時刻開始照射，即t<0時S0=0，t≥0時S0≠0；在姿態轉動和帆板振動較小時，假定結構熱響應與結構變形無關；忽略太陽能帆板軸向(x方向)的溫差，認為帆板僅在厚度方向(y方向，即熱流入射方向)存在溫度梯度[8]。

太陽能帆板熱傳導方程是非線性方程，不能求出解析解。對于給定邊界條件的結構瞬態熱響應問題，只能使用有限元方法或者有限差分法求解。然而，已有文獻給出了太陽能帆板橫截面溫差ΔT(t)的近似解析解[7]

ΔT(t)=Tu(t)-Tl(t)=ΔTs(1-e-t/τ)

(2)

式中，Tu(t)和Tl(t)分別是蜂窩板上下面板的溫度。τ是蜂窩板熱特征時間常數，可由下式算出

(3)

式中c和kc分別是蜂窩芯層的比熱容和導熱系數。式(2)中ΔTs=Tu-Tl，是帆板橫截面溫差ΔT(t)的穩態值，其中Tu和Tl分別是穩態時的帆板上下表面溫度，可由下面兩式解出

(4)

(5)

式(4)表示穩態時帆板吸收的熱和上下面板輻射的熱相等，式(5)表示穩態時流過蜂窩芯層的熱與下面板輻射的熱相等。兩式中，σ為黑體輻射系數(Stefan-Boltzmann constant)，εu和εl分別是蜂窩板上下面板的發射率，α是上面板的吸收率。

太陽能帆板橫截面溫差會產生熱彎矩MT(t)。假定僅由蜂窩板的上下面板提供抗彎剛度[7, 13]，則MT(t)的計算表達式為

MT(t)=∫AEfαcte[T(y,t)-Tref]ydA

(6)

式中，αcte是上下面板的熱膨脹系數，Tref是參考溫度，積分區域A為圖2中的區域(2)和(3)。將式(2)代入式(6)，進一步計算可得

(7)

2.2 航天器動力學方程

太陽能帆板上任意點P在隨體系o-xy中的矢徑r以及慣性系o-XY中的速度矢量v的表達式為

(8)

則航天器系統動能可表示為

(9)

航天器勢能僅包含太陽能帆板的應變能。帆板蜂窩芯層和上下面板的應力-應變關系和本構關系為

εc(f)=-yc(f)v″c(f),σc=Ecεc,σf=Efεf

(10)

則系統勢能可寫為

(11)

由哈密頓原理

(12)

推導得到系統動力學方程如下

(13)

(14)

對應的邊界條件為

(15)

式(13)～(15)中各參數為

ρ=2hcbρc+2hfbρf,

(16)

動力學方程式(13)和(14)中有下劃線的項為剛柔耦合非線性項，在JOHNSTON等[1,7-8]的研究中忽略了這些非線性項，使用線性方程對航天器熱誘發動力學響應進行了分析。

使用前5階懸臂梁函數離散系統動力學方程，可得離散動力學模型

(17)

式中，M和K是5×5的矩陣，UT和FMT是5×1的列向量，其表達式為

(18)

3 航天器固有特性及熱誘發動力學特性

3.1 模型驗證

為驗證式(17)的正確性，采用孔憲仁等[14]使用的中心剛體-柔性梁模型參數，計算了系統前三階固有頻率，并與該文獻中的有限元模型計算結果進行對比。從表1可知，式(17)所得系統頻率與文獻結果完全一致，從而驗證了式(17)的正確性。

表1 中心剛體-柔性梁模型前三階圓頻率Tab.1 The first three frequencies of a hub-beam system rad/s

下面使用算例，自編MATLAB計算程序，用四階龍格-庫塔法(即MATLAB的ODE45函數)求解式(17)，分析了中心剛體轉動慣量JR、蜂窩芯層高度hc等參數對航天器固有頻率和熱誘發振動響應的影響，算例參數如表2所示。

3.2 系統固有特性及熱誘發動力學響應分析

令航天器中心剛體轉動慣量JR=250rJR(1≤rJR≤100)，蜂窩芯層厚度與蜂窩板厚度比值hc/h=0～0.999 5，系統其他參數見表2。使用式(17)的線性齊次形式計算航天器整體的基頻，作圖3。從圖中可以看出，在任一JR取值條件下，隨著蜂窩芯層厚度增加(即hc/h從0增大到1)，航天器基頻先緩慢增大后急劇減小，即存在一個特定的hc/h值，使航天器基頻最大，這一結論與蜂窩板研究的結論相同[15]。而且，不同的JR取值，對應的使系統基頻最大的hc/h的值也不同。因此，有必要針對特定的JR設計蜂窩基板的尺寸，使航天器固有頻率最大。此外，還可從圖3觀察到，系統頻率隨中心剛體轉動慣量JR減小而增大。

表2 航天器熱誘發振動分析所用參數Tab.2 Parameters used in the thermally induced vibration analysis of a spacecraft

取表2中的航天器參數，計算無阻尼系統熱誘發動力學響應，如圖4所示。從中可以看出，航天器在出陰影時，受突加熱流的影響，航天器太陽能帆板橫截面出現時變的溫度梯度，導致帆板變形，并產生振動，從而引起航天器姿態運動。當帆板橫截面溫度梯度趨于穩態時，航天器的動力學響應表現為準靜態位移與振動的疊加。若計入結構阻尼，則圖4所示動態響應中的振動部分將逐漸衰減，最后只余下準靜態位移[7,9]。

圖3 航天器基頻隨rJR和hc/h的變化Fig.3 Variation of fundamental frequency for a spacecraft with aspect to rJR and hc/h

圖4 航天器熱誘發動力學響應Fig.4 Thermally induced dynamic response for a spacecraft

取JR=2 500 kgm2，分別采用式(17)的非線性和線性形式，計算參數hc/h=0～0.999 5條件下航天器的熱誘發動態響應。將穩態時的姿態角θ和太陽能帆板端部位移v(L)的準靜態值(用下標Q表示)及振動幅值(用下標v表示)分別取出，結果見圖5。對比圖5(a)和(b)可以發現，非線性模型和線性模型得出的系統穩態時準靜態位移θQ和vQ(L)完全一致，這說明系統剛柔耦合非線性項不影響準靜態位移。事實上，依據JOHNSTON等[1,7]的分析，受突加熱流作用的航天器的準靜態位移僅與MT(t)/D有關，而在hc/h=0.98附近，MT(t)/D取最大值，故此處準靜態位移最大。

對比圖5(c)和(d)可以看到，非線性模型計算的振動幅值與線性模型的振幅有差異，且一般情況下前者大于后者。為了進一步分析剛柔耦合非線性項的影響，分別使用非線性和線性模型計算航天器(參數見表2)熱誘發動態響應，并進行頻率分析，如圖6所示。對比非線性模型和線性模型的結果可知，剛柔耦合非線性項使系統熱誘發振動的頻率成分中包含有線性系統各階頻率之外的成分。此外，hc/h分別在0.25和0.99附近取值時，會使系統熱誘發振動幅值取極大值。為進一步分析其原因，采用數值的方式得出了航天器熱特征時間常數的倒數1/τ與系統基頻的交線，如圖7所示。可以看到，當JR=2 500 kg·m2(即rJR=10)時，hc/h分別取0.36和0.99，會使1/τ與系統基頻接近，導致系統熱誘發振動幅值最大。進一步地，在熱-結構耦合分析中，1/τ與系統基頻接近會導致系統熱誘發振動發散[3,8]

綜合圖3和圖5可知，對于特定中心剛體轉動慣量JR取值條件下，需要對太陽能帆板的蜂窩基板參數進行針對性設計，從而使系統頻率最高，且熱誘發動態響應最小。指導設計的關鍵參數為中心剛體轉動慣量JR、蜂窩芯層與蜂窩板厚度比hc/h以及結構熱特征時間常數τ。

圖5 航天器熱誘發運動的穩態響應隨hc/h的變化趨勢Fig.5Variationofsteady-statethermallyinducedresponsewithaspecttohc/h圖6 姿態角振動響應的穩態頻譜Fig.6Steady-statefrequencyspectrogramforthevibrationofattitudeangle

圖7 航天器基頻與熱特征時間常數倒數的比較Fig.7 Comparison between the frequencies and 1/τ

4 結 論

本文針對帶大型太陽能帆板的航天器，建立了其剛柔耦非線性動力學方程，在驗證模型正確的基礎上，利用具體算例分析了航天器參數對系統固有特性及熱誘發動力學響應的影響，結論如下：

(1)中心剛體轉動慣量越小，系統頻率越高。中心剛體轉動慣量取值一定時，存在特定的蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值，使系統頻率最高。

(2)航天器熱誘發動力學響應包含準靜態位移和熱誘發振動兩部分。系統剛柔耦合非線性項不影響準靜態位移，但會使系統振幅增大，振動頻率發生偏移。

(3)當系統熱特征時間常數的倒數和系統基頻接近時，熱誘發振動幅值最大。

綜合來看，有必要對中心剛體轉動慣量、蜂窩芯層與蜂窩板厚度比值以及結構熱特征時間常數進行針對性設計，使系統頻率最高且熱誘發動力學響應最小。

[1] JOHNSTON J D, THORNTON E A. Thermally induced dynamics of satellite solar panels[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2000, 37(5): 604-613.

[2] BOLEY B A. Thermally induced vibrations of beams[J]. Journal of the Aeronautical Science, 1956, 23(2): 179-181.

[3] THORNTON E A, KIM Y A. Thermally induced bending vibrations of a flexible rolled-up solar array[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 1993, 30(4): 438-448.

[4] 程樂錦, 薛明德. 大型空間結構熱-動力學耦合有限元分析[J]. 清華大學學報(自然科學版), 2004, 44(5): 681-684. CHENG Lejin, XUE Mingde. Coupled thermal-dynamic FEM analysis of large scale space structures [J]. Journal of Tsinghua University (Science & Technology), 2004, 44(5): 681-448.

[5] 孔祥宏, 王志瑾. 空間站柔性太陽翼熱誘發振動分析[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(5): 220-227. KONG Xianghong, WANG Zhijin. Thermally induced vibration analysis of a space station’s flexible solar wing [J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(5): 220-227.

[6] 孔祥宏, 王志瑾. 空間站柔性太陽翼桅桿熱誘發振動分析[J]. 上海交通大學學報, 2014, 48(8): 1103-1108. KONG Xianghong, WANG Zhijin. Thermally induced vibration of the flexible solar wing of the mast of space station [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2014, 48(8): 1103-1108.

[7] JOHNSTON J D, THORNTON E A. Thermally induced attitude dynamics of a spacecraft with a flexible appendage[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 1998, 21(4): 581-587.

[8] LI L, YUAN J. Analysis and modeling of spacecraft with flexible solar panel disturbed by thermally induced motion[C]// Proceedings of the Control Conference (CCC), 2014 33rd Chinese. Nanjing, 2014: 6382-6387.

[9] 李偉, 薛明德, 向志海. 剛體-附件耦合系統熱-動力學穩定性分析[J]. 浙江大學學報(工學版), 2009, 43(7): 1288-1292. LI Wei, XUE Mingde, XIANG Zhihai. Thermal-dynamic stability analysis of structural appendages attached to satellite [J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2009, 43(7): 1288-1292.

[10] LI J, YAN S. Thermally induced vibration of composite solar array with honeycomb panels in low earth orbit[J]. Applied Thermal Engineering, 2014, 71(1): 419-432.

[11] GASBARRI P, MONTI R, SABATINI M. Very large space structures: non-linear control and robustness to structural uncertainties[J]. Acta Astronautica, 2014, 93(1): 252-265.

[12] LI J, YAN S, CAI R. Thermal analysis of composite solar array subjected to space heat flux[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 27(1): 84-94.

[13] 夏利娟, 金咸定, 汪庠寶. 衛星結構蜂窩夾層板的等效計算[J]. 上海交通大學學報, 2003, 37(7): 999-1001. XIA Lijuan, JIN Xianding, WANG Yangbao. Equivalent analysis of honeycomb sandwich plates for satellite structure [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2003, 37(7): 999-1001.

[14] 孔憲仁, 楊正賢, 張錦繡, 等. 剛柔耦合系統的輸入成形控制[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2011, 43(3): 7-11. KONG Xianren, YANG Zhengxian, ZHANG Jinxiu, et al. Input shaping control for rigid-flexible coupling systems [J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2011, 43(3): 7-11.

[15] YU S D, CLEGHORN W L. Free flexural vibration analysis of symmetric honeycomb panels[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 284(1): 189-204.

Rigid-flexible couplingdynamic modelling and thermally induced vibration analysis for a flexible spacecraft

SUN Shupeng, WANG Wei, DUAN Xiao

(Institute of Overall Design, Hubei Aerospace Technology Academe, Wuhan 430000, China)

A rigid-flexible coupling dynamic model for a flexible spacecraft with large solar panels represented by honeycomb panels was established by using the Hamiltonian principle. The effects of rigid-flexible coupling nonlinear terms on the dynamic model and the parameters of the flexible spacecraft on the natural characteristics and thermally induced vibration of the system were investigated. The numeric simulation results show that the frequencies of the system increase with decreased inertia of the rigid hub of the flexible spacecraft, and there is a particular honeycomb core height to solar panel thickness ratio which corresponds to the maximum system frequency. The rigid-flexible coupling nonlinear terms do not affect the quasi-static part of the thermally induced response of the flexible spacecraft; however, they increase the amplitude of vibration part and change the system frequency. When the reciprocal of the thermal time constant of the system is close to the fundamental frequency, the amplitude of thermally induced vibration reaches maximum. The conclusions provided theoretical guidance for spacecraft design.

thermally induced vibration; solar panel; rigid-flexible coupling; honeycomb panel; flexible spacecraft

2015-09-18 修改稿收到日期：2015-12-01

孫述鵬 男，博士，工程師，1986年9月生

V414.3；V414.6

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.013