動態規劃在測控裝備效費分析中的應用*

何府強 王 垚

(91913部隊 大連 116041)

動態規劃在測控裝備效費分析中的應用*

何府強 王 垚

(91913部隊 大連 116041)

文章從動態規劃的基本概念出發,并根據多階段決策的性質特點,通過對問題進行合理的分析和假設,建立了裝備最大效益的動態規劃模型。運用反向遞推算法求得其最優經費投入方案,從而最大化的發揮其軍事效益。

動態規劃；效益；決策；模型

(No. 91913 Troops of PLA, Dalian 116041)

Class Number E951

1 引言

測控裝備是指具備遙測、外測、安控、光學跟蹤等功能的裝備,在靶場中主要擔負導彈的彈道測量和安全控制等任務。隨著靶場職能使命的拓展,測控裝備將發揮越來越重要的作用,如何對測控裝備進行科學化、制度化的管理,使其發揮最大的軍事效益,是擺在裝備管理人員面前的一個非常重要的問題。優化問題,一般是指用“最好”的方式,使用或分配有限的資源,即勞動力、原材料、機器、資金等,使得費用最小或者利潤最大,最優化模型就是根據優化問題的具體情況建立的數學模型。由于裝備的效益與投入的費用息息相關,那么關鍵的問題便是投入一定的裝備經費后,如何對其進行有效的分配,才能發揮出裝備的最大效益,文章運用動態規劃的方法建立測控裝備的效費模型[1],提出經費分配方案,從而最大化地發揮出其軍事價值。

2 動態規劃的基本概念

動態規劃是20世紀50年代前后由美國數學家貝爾曼等建立和發展起來的一種解決多階段決策問題的優化方法[2],主要包括以下幾個方面的要素：

1) 階段(Stage)

求解多階段決策問題必須把所給問題的過程,恰當地劃分為若干個相互聯系的階段,以便于求解。通常用k表示階段變量,k=1,2,…,n。n表示階段總數。

2) 狀態(State)

狀態就是某一階段的出發位置,同時它又是前一階段的結束位置。用狀態變量Sk表示第k階段所有狀態的集合,sk表示第k階段的某個狀態,式(1)表示第k階段有r個狀態。

Xk={sk(1),sk(2),…,sk(r)}

(1)

3) 決策(Decision)

決策就是某階段的狀態給定以后,從該狀態演變到下一狀態的選擇。描述決策的變量稱為決策變量。常用xk(sk)表示第k階段處于狀態sk時的決策,用Dk(sk)表示第k階段處于狀態sk時的允許決策集合,顯然有xk(sk)∈Dk(sk)。

4) 策略(Policy)

由過程的第一階段開始到終點為止的整個過程,稱為問題的全過程。式(2)表示由每段的決策xi(si)(i=1,2,…,n)組成的決策序列就稱為全過程策略(簡稱策略),記為p1,n。

p1,n={x1(s1),x2(s2),…,xn(sn)}

(2)

由第k階段到終點的過程稱為原過程的后部子過程(或稱為k子過程),其決策序列{xk(sk),xk+1(sk+1),…,xn(sn)}稱為k子過程策略,如式(3)所示：

pk,n={xk(sk),xk+1(sk+1),…,xn(sn)}

(3)

用P表示所有允許策略的集合,從中找出的效果最好的策略稱為最優策略。

5) 狀態轉移方程

只要sk及xk一經確定,第k+1階段的狀態變量sk+1的值就完全確定,寫成關系式為：sk+1=Tk(sk,xk),這個式子稱為狀態轉移方程,表示第k階段到第k+1階段狀態的轉移規律。

6) 指標函數

指標函數是一個定義在全過程策略和所有后部子過程策略上的數量函數,是評價一個策略效果的數量指標,用Vk,n表示如式(4)所示[3]：

Vk,n=Vk,n(sk,pk,n(sk))

=Vk,n(sk,xk,sk+1,…,sn+1) (k=1,2,…,n)

(4)

用fk(sk)表示Vk,n的最優值。

3 模型的建立

測控裝備的效費分析實際上是一個單目標多階段決策問題,首先決策者根據投入經費的多少計算出測控裝備的效費模型,即效益—費用模型,然后將各型裝備效益值進行累加,將效益總和作為目標函數,最后將總的裝備經費對各型裝備進行分配,在各型裝備滿足其最低效益的前提下,計算出其最優解,為決策者提供最優的決策,從而得到最大的軍事效益[4]。

根據測控裝備的實際服役情況,其效益值與裝備的初始效益值、測控裝備允許達到的最大效益值、效益增長系數以及投入的經費等因素有關,一般可用式(5)表示[5]：

(5)

其中：N(x)為投入經費后的裝備效益,N0為投入經費之前的裝備效益值,Nm為測控裝備允許達到的最大效益值,r0為效益值較低時的增長系數,x為投入的經費。

以上建立的阻滯增長模型—Logistic模型,考慮了效益值與投資經費之間的關系,比較符合裝備在實際應用中的數學規律,可用于對測控裝備效益的計算。

測控裝備的效益值是屬于多階段決策問題,由于在靶場應用中有多型裝備,如遙測、雷測、光測等,作為裝備管理人員,考慮該問題的決策過程實際上是一種在多個相互聯系的階段分別做出決策以形成決策序列的過程,而這些決策都是根據總體最優化這一共同的目標而采取的。對測控裝備進行效益分析時,決策者能夠根據總的經費投入情況,對經費進行科學高效的分配,合理地確立每一階段的經費投入情況,最終達到裝備的最大效益值[6]。

動態規劃的最優化原理為：“作為整個過程的最優策略具有這樣的性質：即無論過去的狀態和決策如何,對前面的決策所形成的狀態而言,余下的諸決策必須是最優策略。”根據這個原理,可以把多階段決策問題的求解過程看成是對若干個相互聯系的子問題逐個求解的反向遞推過程[7]。

一般地,一維效益模型問題可歸結為：有n型裝備,總的經費為a,每型裝備的經費投入為xk,帶來的裝備效益為Nk(xk)。問如何分配經費,使總的總效益最大。

此問題可寫成如下規劃問題,如式(6)所示[8]：

(6)

用動態規劃方法處理這類問題時,通常以把分配給某型裝備的經費的過程作為一個階段,把規劃問題中的變量取為決策變量,將累計的量或隨遞推過程變化的量作為狀態變量。

除此之外,在研究裝備的最大效益值時,不單要考慮總的效益情況,也要考慮各型裝備的最小效益值,這是因為在實際應用中,每型裝備具有不可或缺性,不能因為其效益小或者效益增長速度慢而對其減少經費投入或者不投入經費[9]。

下面用動態規劃的方法求解,為此建立它的動態規劃模型。

設階段變量：以n型裝備來劃分階段,有k=1,2,…,n；

決策變量xk,表示分配給第k階段(即第k型裝備)的經費；

狀態變量sk,表示分配給第k至第n型裝備的經費；

狀態轉移方程,如式(7)所示：

sk+1=sk-xk

(7)

允許決策集合,如式(8)所示：

Dk(xk)={xk|0≤xk≤sk}

(8)

階段指標函數vk(xk),表示投入經費xk時得到的效益值,如式(9)所示：

(9)

最優指標函數fk(sk),表示投入經費sk時分配給第k至第n型裝備,在各種決策方案下獲得的最大軍事效益,如式(10)所示：

(10)

基于這種分析,根據動態規劃最優化原理,結合式(5)的裝備效益模型,建立裝備效益的動態規劃模型如下,如式(11)所示：

(11)

其中,Nmi為第i型測控裝備允許達到的最大效益值,N0i為投入經費之前第i型裝備效益值,r0i為第i型裝備效益值較低時的增長系數,ci表示第i型裝備的最小效益值(i=1,2,3,…,n)。

4 模型的應用

假設某靶場有遙測、外測、脈沖雷達和光測四種型號的測控裝備,各型裝備的參數Nmi、N0i、r0i和ci如表1所示,總的經費為100萬元。

表1 各型測控裝備的參數值

根據表1參數值,假設遙測、外測、脈沖雷達和光測四種型號的測控裝備分別表示四個階段,則建立動態規劃模型如下,如式(12)所示：

(12)

根據動態規劃的基本思想,可以把經費分配的過程看成是對若干個相互聯系的子問題,然后逐個求解的反向遞推過程。

具體解決方法如下：

根據各型測控裝備的參數值,得出各階段的指標函數為[10]

v1(x1)=N1(x1)=0.95/(1+0.19×e-0.02x1)

v2(x2)=N2(x2)=0.95/(1+0.22×e-0.03x2)

v3(x3)=N3(x3)=0.92/(1+0.13×e-0.02x3)

v4(x4)=N4(x4)=0.93/(1+0.33×e-0.03x4)

設s4=x4,s4+x3=s3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=100,則有s4=x4,0≤x3≤s3,0≤x2≤s2,0≤x1≤s1=100。

通過編寫Matlab程序,計算結果如下[11]：

第4階段：

第3階段：

=0.92/(1+0.13×e-0.02x3)

+0.93/(1+0.33×e-0.03s4)

同理可得,在第2階段：

第1階段：

根據以上結果,當遙測、外測、脈沖雷達和光測四種測控裝備的投入經費分別為15.5萬元、30.9萬元、3.8萬元和49.8萬元時,可以達到最大的效益值,最大效益值為3.39。

5 結語

動態規劃是一個復雜而系統的過程,涉及到諸多因素和各因素之間的內部關系,動態規劃就是為解決這一多階段決策問題而產生的一種數學分析方法,其原理概括了動態規劃方法的基本思想,把一個較復雜的問題,按照其階段劃分,分解成若干個較小的局部問題,然后根據局部問題的遞推關系,依次做出一系列決策,直到整個問題達到總體最優的目標,從而為決策者提供最優的控制策略。

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[2] 姜啟源.數學模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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[5] 華東師范大學數學系編.《數學分析》[M].北京:人民教育出版社,1980:149.

[6] 陳守煜,模糊優選理論與模型[J].控制與決策,1993,8(1)：25-29.

[7] 厲洋峰. 動態規劃及其在數學模型中的應用[J]. 中國新技術新產品,2009,16:244-245.

[8] 陳開周. 最優化計算方法[M].西安：西安電子科技大學出版社,1985.

[9] 趙登虎. 定量分析在軍事決策中的作用[J]. 南京政治學院學報,2009,06:87-89.

[10] 蒲俊,吉家鋒,伊良忠.MATLAB6.0數學手冊.(2002年1月第一版)[M].上海：浦東電子出版社,2002:95.

[11] 劉衛國.MATLAB 程序設計與應用[M].北京:高等教育出版社,2006.

Application of Dynamic Programming in the Cost Effectiveness Analysis of Measurement and Control Equipment

HE Fuqiang WANG Yao

This paper started from the basic concept of dynamic programming, according to the characteristics of the multi stage decision, and then established the dynamic programming model for the maximum benefit of equipment through rational analysis and hypothesis. By using the backward recursive algorithm, the optimal investment scheme was obtained, which can maximize its military effectiveness.

dynamic programming, benefit, decision, model

2016年6月10日,

2016年7月28日

何府強,男,助理工程師,研究方向:裝備管理工程。王垚,男,工程師,研究方向:裝備管理工程。

E951

10.3969/j.issn.1672-9730.2016.12.031