基于GaBP算法的快速潮流計算方法

扈詩揚　汪芳宗

摘要：研究在潮流迭代求解過程中雅可比矩陣方程組的迭代求解方法及其收斂性。首先利用PQ分解法進行潮流迭代求解，并針對求解過程中雅可比矩陣對稱且對角占優的特性，對雅可比矩陣方程組采用高斯置信傳播算法（GaBP）進行求解，再結合Steffensen加速迭代法以提高GaBP算法的收斂性。對IEEE118、IEEE300節點標準系統和兩個波蘭互聯大規模電力系統進行仿真計算后結果表明：隨著系統規模的增長，使用Steffensen加速迭代法進行加速的GaBP算法相對于基于不完全LU的預處理廣義極小殘余方法（GMRES）具有更好的收斂性，為大規模電力系統潮流計算的快速求解提供了一種新思路。

關鍵詞：潮流計算；PQ分解法；稀疏線性方程組；GaBP算法；GMRES算法；Steffensen加速迭代法

中圖分類號：TM744文獻標識碼：A

Abstract：An iterative algorithm and its convergence of the Jacobian matrix equations for load flow iterative solution were researched. First， the PQ decoupled method was used to solve load flow equations， and according to the feature that the Jacobian matrix of correction equations is sysmmetric and diagonally dominant， the Gaussian belief propagation （GaBP） algorithm was proposed for solving the Jacobian matrix equations. The Steffensen's iteration was used to speedup GaBP convergence. Numerical simulation tests on four systems including IEEE 118node system， IEEE 300node system and two Poland test systems indicate that， with the scale expanding， contrasting to the generalized minimal residual （GMRES） method with incomplete LU decompostion preconditioner， the convergence of GaBP with Steffensen's iteration is remarkable. The method provides a new idea for the fast power flow calculation in power systems.

Key words：power flow calculation； PQ decoupled method； sparse linear equations； Gaussian belief propagation （GaBP）； generalized minimal residual （GMRES）； Steffensen's iteration

1引言

潮流計算是電力系統運行控制中最基本的工具，其結果可以幫助運行調度人員了解電網的實際運行情況，也可為后續分析計算如穩態分析做準備[1]。傳統的電力系統潮流計算通常選用PQ分解法或牛頓法[2]。PQ分解法是一種定雅可比法，同時，根據系統有功主要決定于電壓相角的變化，而無功主要決定于電壓幅值的變化這一特性，進行相關合理假設，具有簡單、快速、適應性強且收斂可靠的優點，廣泛應用于高壓電網在線計算[3]。而長期以來，牛頓法結合稀疏處理技術的直接求解法占主導地位。但當系統規模很大時，直接法存在矩陣三角分解耗時過長以及數值不穩定等問題[4]。因此，迭代法近年來越來越受重視，已成為電力系統中求解線性方程組的主要方法[5]。

目前，迭代法中最令人關注的是所謂的Krylov子空間方法（Krylov subspace methoed），而應用最廣的子空間迭代法應該是廣義極小殘余方法（generalized minimal residual algorithm，GMRES）。在電力系統分析計算中，GMRES方法已得到了成功的應用[6]。文獻[7]首次嘗試了將GMRES方法應用于潮流計算。相關研究結果還表明：當系統規模越大時，GMRES方法的優勢越明顯[8-9]。

高斯置信傳播算法（Gaussian beliefpropagation，GaBP）是Orishental等學者于2008年基于Belief Propagation（BP）方法[10]提出的一種針對對稱對角占優線性方程組的迭代算法 [11]。它不同于經典的迭代算法，也不同于Krylov子空間算法，GaBP算法對于對稱對角占優線性方程組的求解具有良好的收斂性、更低的計算復雜性以及更高的并行性[11，16]。文獻[12]給出了一種改進的GaBP算法，明顯改善了經典GaBP算法的收斂性使之更加適合對稱對角占優線性方程組的求解。隨著對算法的深入研究，GaBP算法已經被成功應用于多個領域，比如，求解線性多用戶偵測問題[13]，基于稀疏貝葉斯學習算法的大規模壓縮感知問題[14]以及分布式的波束形成問題[15]。另一方面，由于算法內在的信息分布式處理特性，文獻[16]提出了基于GaBP算法的分布式并行算法，并用于求解大規模稀疏對稱對角占優線性方程組。此外，分布式共享存儲并行處理環境發展迅速，分布式并行算法變得更有價值[17]。因此，將GaBP算法引入到潮流計算，對于今后研究大規模電力系統的分布式并行計算也是非常有意義的。

本文首先對使用PQ分解法后得到的雅可比矩陣的特點進行簡要分析，然后對GaBP算法進行介紹，進而引出采用Steffensen加速迭代法進行加速的GaBP算法（GaBP+Steffensen算法），并給出了Steffensen加速迭代方法在GaBP算法迭代計算過程中實現加速收斂的具體步驟。最后通過算例結果對比分析得到，與基于不完全LU方法（incomplete LU decompostion，ILU）的預處理GMRES算法（ILUGMRES算法）相比，GaBP算法具有更好的收斂性，因此GaBP算法可以有效地提高大規模電力系統潮流迭代求解的收斂性。

式中：A為線性方程組的系數矩陣，在本文中對應雅可比矩陣J；b在本文中分別代表修正方程式中的ΔP/V和ΔQ/V；x為節點變量向量，本文中為所要求解的節點電壓和相角的不平衡量ΔV、Δθ。

由于指數表達式（4）相似于多元的高斯概率密度函數p（x），因此通過求解式（4）可知線性系統的解向量x實際上等于多元高斯概率密度函數p（x）中節點變量的均值向量，定義為μA-1·b。因此，求解線性系統問題轉換為求解多元高斯概率密度函數p（x）中節點變量的均值。關于GaBP算法的詳細推導過程可參考文獻[18]。

綜上所述，GaBP算法將求解線性方程組問題轉化為特定圖上的概率推理問題，避免了直接法中的潛在復雜操作，并且對于對稱對角占優線性方程組的求解具有良好的收斂性。因此，將GaBP算法應用于本文中雅可比矩陣方程組的求解是適宜的。

4Steffensen加速迭代方法在GaBP算法

求解雅可比矩陣方程組中的應用

4.1Steffensen加速迭代方法

在已知xk，xk+1=g（xk），xk+2=g（g（xk））時，經過簡單的算術運算，還可以得到更為接近于真實值的近似解，這就是Steffensen加速迭代思想，即Steffensen加速迭代法，其迭代公式如下[19]：

yk=g（xk）zk=g（yk）k+1=xk-（yk-xk）2zk-2yk+xk（5）

式中，k為迭代次數，yk、zk均為第k次迭代的變量，g（）為GaBP算法中的迭代公式，k+1為經Steffensen加速后得到的新的xk+1。

在GaBP算法執行過程中，Steffensen加速迭代法被用在迭代計算過程中，從變量xk為初值，經過兩次迭代計算得到yk和zk，再計算得到新的xk+1，重復此過程直到滿足收斂條件為止。

4.2Steffensen加速迭代方法實現的具體步驟

GaBP算法求解雅可比矩陣方程組主要有初始化和迭代兩部分，其具體算法步驟如下：

1.初始化：

5算例分析

在CPU為Core i5 3.0 GHz，內存為4G的PC上，使用Matlab2014a平臺并利用Matpower 5.0軟件包對基于GaBP算法的電力系統潮流計算進行仿真測試，然后與基于ILU的預處理GMRES算法的電力系統潮流計算進行對比分析。

選用IEEE118、IEEE300節點標準系統及兩個波蘭互聯大規模電力系統對所提算法進行測試和對比分析，其中測試系統參數均取自Matpower 5.0軟件包，系統潮流數據見表1。

同樣地，在計算波蘭2383節點系統時，對ILU-GMRES算法與GaBP+Steffensen算法在第二次外迭代時的收斂過程進行了追蹤。對比情況（分別需迭代42次、12次后收斂）如圖2所示。而計算波蘭2736節點系統時，則對ILUGMRES算法、GaBP+Steffensen算法在第一次外迭代時的收斂過程進行了追蹤。對比情況（分別需迭代64次、45次后收斂）如圖3所示。

5結論

在采用PQ分解法進行電力系統潮流計算時，GaBP算法是求解其雅可比矩陣方程組的有效方法。經理論分析以及對IEEE118、IEEE300節點標準測試系統和兩個波蘭互聯大規模電力系統的測試結果表明：

1）經過Steffensen加速迭代法加速后的GaBP算法，收斂性有明顯提高。

2）隨著系統規模的增長，在每次外迭代時，經Steffensen加速迭代法加速后的GaBP算法增加的迭代次數較基于ILU的預處理GMRES算法更少，具有更好的收斂性。

綜上所述，本文應用于潮流迭代計算中的經Steffensen加速迭代法加速的GaBP算法是一種新穎且收斂性良好的求解雅可比矩陣方程組的計算方法。

參考文獻

[1]嚴正， 范翔， 趙文愷， 等. 自適應LevenbergMarquart方法提高潮流計算收斂性[J]. 中國電機工程學報， 2015， 35（8）： 1909-1910.

[2]蘇津， 陽育德， 覃智君. 基于矢量化運算模式的電力系統潮流計算[J]. 電網技術， 2008， 32（3）： 88-92.

[3]劉凱， 陳紅坤， 向鐵元， 等. 以對稱反對稱分裂預條件處理GMRES（m）的不精確牛頓法潮流計算[J]. 電網技術， 2009， 33（19）： 123-124.

[4]汪芳宗， 何一帆， 葉婧. 基于稀疏近似逆預處理的牛頓-廣義極小殘余計算方法[J]. 電網技術， 2008， 32（14）： 51-52.

[5]LEON F D，SEMLYEN A. Iterative solvers in the Newton power flow problem： preconditioners， inexact solutions and partial Jacobian updatesp[J]. IEEE Proceedings Online， 2002， 149（4）： 479-484.

[6]汪芳宗. 大規模電力系統暫態穩定性數值計算方法[M]. 北京： 科學出版社， 2013： 62-79.

[7]SEMLYEN A. Fundamental concepts of a Krylov subspace power flow methodology[J]. IEEE Transactions on Power Systems， 1996， 11（3）： 1528-1537.

[8]廖小兵， 王文超， 李奔. ILU預處理NewtonKrylov方法的潮流計算[J]. 計算技術與自動化， 2015， 34（4）： 46-49.

[9]REIJER I， DOMENICO J P L， CORNELIS V，et al.Scalable NewtonKrylov solver for very large power flow problems[J]. IEEE Transactions on Power Systems， 2012， 27（1）： 390-396.

[10]PEARL J. Probabilistic Reasoning in Intelligent System： Nerworks of Plausible Inference[M]. New York： Morgan Kaufmann， 1988.

[11]SHENTAL O， SIEGEL P H， WOLF J K，et al.Gaussian bilief propagation solver for system of linear equations[C]// IEEE International Symposium on Information Thoery. Toronto： IEEE， 2008： 1863-1867.

[12]JOHNSON J K，BICKSON D，DOLEV D.Fixing convergence of Gaussian belief propagation[C]// IEEE International Symposium on Information Thoery. Seoul： IEEE， 2009： 1674-1678.

[13]BICKSON D， DOLEV D， SHENTAI O. Gaussian belief propagation based multiuser detection[C]// IEEE International Symposium on Information Theory. Toronto： IEEE， 2008： 1878-1882.

[14]SEEGER M W， WIPF D P. Varational Bayesian inference techniques[J]. IEEE Signal Process， 2010， 27（6）： 8191.

[15]LOONG N B， EVANS J S， HANLY S V. Distributed downlink beamforming with cooperative base stations[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2008， 54： 5491-5499.

[16]ELKURDI Y， GROSS W J， GIANNACOPOULOS D. Efficient Implementation of Gaussian Belief Propagation Slover for Large Sparse Diagonally Linear System[J]. IEEE Transaction Magnetics， 2012， 48（2）： 471-474.

[17]鄭漢垣. 大規模稀疏線性方程組求解的并行GaBP算法研究[D]. 上海： 上海大學， 2014.

[18]BICKSON D. Gaussian Belief Propagation： Theory and Application[D]. Jerusalem：The Hebrew University of Jerusalem， 2009.

[19]宋葉志. MATLAB數值分析與應用[M]. 北京： 機械工業出版社， 2009： 149-159.

[20]ELKURDI Y， GIANNACOPOULOS D， GROSS W J. Relaxed Gaussian Belief Propagation[C]// IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings. Cambridge： IEEE， 2012： 2003-2004.

[21]BARRETT R， BERRY M， CHAN T， et al. Templates for Solution of Linear System： Building Blocks for Iterative Methods[M]. Siam： Society for Industrial and Applied Mathematics， 1987.