隨機介質模型中瑞雷波正演模擬及波場特性分析

趙宏欣，熊章強,b，張大洲,b

(中南大學 a.地球科學與信息物理學院,b.有色金屬成礦預測教育部重點實驗室,長沙 410083)

隨機介質模型中瑞雷波正演模擬及波場特性分析

趙宏欣a，熊章強a,b，張大洲a,b

(中南大學 a.地球科學與信息物理學院,b.有色金屬成礦預測教育部重點實驗室,長沙 410083)

為了研究介質的不均勻性對瑞雷波波場特性的影響，利用高精度交錯網格法對不同自相關長度的隨機介質模型在不同震源主頻率時的波場進行了正演模擬，并應用相移法提取了頻散曲線。通過對比波場快照、單道記錄及分析頻散曲線可以得出：隨機介質中的不均勻體會導致瑞雷波傳播能量的減弱，并使波的到達時間發生變化；大于或與波長相當的不均勻體隨機介質以及由細密薄層構成的地層介質對頻散曲線影響較大，這種情況下進行瑞雷波勘探時不能將其視為均勻介質。

隨機介質； 瑞雷波； 頻散曲線； 波場特性

0 引言

瑞雷波所具有的頻散特性，使得通過提取其頻散曲線可反演得到地下的地質體結構。由于這種勘探方法對淺部地質體的勘探精度較高，數據采集和處理簡單高效，因而被廣泛應用于工程地質勘查和工程質量檢測等領域[1-2]。目前，瑞雷波在正反演理論、頻散曲線提取及反演和應用等方面，均做了大量的研究工作。但在某些方面的研究工作還不夠深入，如利用瑞雷波方法對混凝土進行質量檢測時是否要考慮介質的非均勻性就有待進一步研究，在對這種介質的非均勻性進行研究過程中引入隨機介質模型就是一種行之有效的手段。

在隨機介質中進行地震波傳播特性的研究，國內、外學者已開展過相關的工作。Ikelle等[3]介紹了二維隨機介質的構建方法，并討論了隨機介質中透射波場的特性；Tobias 等[4]應用格林函數構造二維和三維隨機介質模型；奚先和姚姚[5-9]介紹了混合型隨機介質模型的構建方法，并研究了隨機介質中波場特性和能量特性；王慧琴等[10]研究了二維隨機介質中的頻譜特性和能量分布的特點；朱生旺等[11]用隨機介質模型的方法描述了孔洞型油氣儲層的問題，取得了很好的效果。以上研究工作，主要針對隨機介質中地震體波傳播特性，而有關瑞雷波在隨機介質中的傳播特性研究相對較少，肖云飛等[12]研究了瑞雷波能量在水平和垂直傳播方向上的衰減及震源埋深對瑞雷波能量的影響。就瑞雷波而言，其頻散曲線的特性是瑞雷波應用的關鍵所在?；谝陨显?，這里運用高斯自相關函數構建隨機介質模型，利用高精度交錯網格法進行正演模擬，分析采用不同自相關長度的隨機介質模型對瑞雷波傳播特征及頻散曲線特征進行研究，為可否利用瑞雷波方法進行復雜介質地探測提供理論參考。

1 理論原理

1.1 波動方程

波場模擬使用交錯網格有限差分法，一階速度-應力彈性波動方程如下：

(1)

其中：Di表示i方向上的差分；λ與μ為拉梅常數；“·”表示該變量對時間t的一階導數，吸收邊界與自由邊界條件參考文獻[13] 。

1.2 震源函數

這里選用的震源子波函數為高斯一階導數，其表達式為：

s(t)=-4π2f2(t-t0)e-2π2f2(t-t0)2

(2)

其中：t0為延遲時間；f為震源子波頻率。

圖1(a)、圖1(b)分別為f=2 500 Hz時的震源子波波形圖及其振幅譜圖。

1.3 隨機介質模型的建立

復雜非均勻介質中的非均勻體可以看成一個空間隨機過程，將這些具有大量的、隨機分布的、小尺度異常的復雜非均勻介質看作隨機介質，利用統計學方法描述介質非均勻性所形成的非均勻介質模型就是隨機介質模型。隨機介質模型由均勻性的大尺度和非均勻性的小尺度二部分構成，大尺度描述背景介質的情況，小尺度則是加在背景介質上的隨機擾動。

各向同性彈性介質由其密度ρ和拉姆參數λ、μ所確定,介質中相應的縱橫波速度如式(3)所示。

(3)

故各向同性彈性介質可以由Vp、Vs、ρ表示。同理，隨機介質模型也可以用Vp、Vs、ρ來表示。在這里假設縱波速度Vp、橫波速度Vs的相對擾動是相同的，密度ρ的相對擾動與其是成線性的，則可以用一個參數σ表示相對擾動，見式(4)。

(4)

其中：Vp0、Vs0、ρ0為大尺度的背景介質參數；k為常數，一般取值在0.3～0.8，這里取值為0.5。

設相對擾動σ是具有零均值及一定自相關函數、方差的空間二階平穩隨機過程。這里的相對擾動σ由高斯型自相關函數φ(x,z)生成。

(5)

其中：α和β分別為x和z方向上的自相關長度。

選取高斯型自相關函數，運用以上所描述的方法構建隨機介質模型，分別選取自相關長度為：α=1、β=1；α=100、β=1；α=100、β=100；α=5 000、β=1。型擬網格數為200*200，背景介質參數為：Vp=3 000 m/s；Vs=1 800 m/s；ρ=2.5 g·cm-3。圖2為所建立的四種隨機介質模型。

圖2中α和β分別代表x和z方向上的自相關長度，通過改變α、β的大小來控制隨機模型中隨機異常體尺度的大小。從圖2可以看出：當α和β較小時，隨機異常體的尺度也相對較??；隨著α、β的增大，隨機異常體的尺度也相應增大。單獨改變一個方向的自相關長度時，隨機模型在自相關長度改變的方向發生變化，同時增大自相關長度α、β時，隨機模型中隨機異常體呈現單尺度增大。隨機介質模型圖2(a)和圖2(c)由不同大小隨機異常體構成，且隨機異常體的尺度逐漸增大，可以刻畫由不同顆粒所組成的地層介質或由不同顆粒的摻和物組成的混凝土等；隨機介質模型圖2(b)和圖2(d)沿x方向成連續狀，并呈現出薄層狀特征，此時可以刻畫由不同薄層組成的地層介質如砂、泥巖等。

圖1 震源子波波形與振幅譜圖Fig.1 The figure of waveform and amplitude spectrum(a) 波形圖；(b)振幅譜圖

圖2 不同自相關長度的隨機介質模型圖Fig.2 Random medium model of different autocorrelation lengths(a)α=1,β=1;(b)α=100,β=1;(c)α=100,β=100;(d)α=5 000,β=1

2 隨機介質模型中瑞雷波場特性分析

為了對比分析隨機介質中瑞雷波傳播特性和頻散曲線特征，特設計一個網格數為200*200的模型，其參數為：背景場Vp=3 000m/s、Vs=1 800 m/s、ρ=2.5 g·cm-3，及隨機異常體尺度逐步增大及逐步呈薄層的七種自相關長度的隨機介質模型，分別為：α=1、β=1；α=50、β=50；α=100、β=100；α=1 000、β=1 000；α=100、β=1；α=1 000、β=1；α=5 000、β=1。利用高精度交錯網格有限差分法對七種隨機介質模型進行正演模擬，震源主頻率分別設為500 Hz、1 000 Hz、2 500 Hz，道間距為0.04 m，采樣間隔為0.004 ms，采樣點數為1 500。

從圖3～圖5可以看出，地震波在隨機介質模型中傳播時，縱波、橫波和瑞雷波都有散射現象存在。從圖3中可見，震源主頻率為500 Hz時，隨機介質模型中散射波相對較弱。隨著震源主頻率增大為1 000 Hz、2 500 Hz 時，散射波逐漸加強，且更加細微，這說明震源主頻較小即波長較大時，隨機介質模型中顆粒較小的隨機異常體或薄層對地震波散射較弱。對比圖3～圖5的(a)、(b)波場快照可以看出，隨著自相關長度α、β的同時增大，地震波的散射程度也相應地增大，且散射很明顯；對比圖3～圖5中的(c)、(d)波場快照可見，隨著x方向上的自相關長度α的增大，散射相對較弱，但層間反射逐漸明顯，這是由于隨著自相關長度α的增大，模型逐漸趨向于層狀模型的原因。

在分析了波場快照后，分別選取網格數為200*200的均勻介質模型及自相關長度分別為α=1、β=1；α=50、β=50；α=100、β=100；α=100、β=1；α=1 000、β=1的隨機介質模型正演，震源主頻為2 500 Hz，震源位置(100,0)，道間距為0.04 m，采樣間隔為0.004 ms，采樣點數為1 500，抽取第150道數據進行對比分析，如圖6(a)、圖6(b)所示。從圖6(a)、圖6(b)可以看出，隨機介質模型中瑞雷波能量有所減小，時間有所延遲，但波形與均勻介質中的記錄基本一致，在曲線尾部出現的震蕩，正是由于隨機介質中的不均勻體對彈性波產生散射所致，但能量相對瑞雷波小。圖6(c)、圖6(d)為圖6(a)、圖6(b)所示地震記錄的頻譜，由圖6(c)、圖6(d)中可以看出，隨機介質模型中地震記錄的頻譜波動較大，尤其在主頻段。

圖3 震源頻率為500 Hz的波場快照Fig.3 Wave field snapshot of 500 Hz(a)α=1,β=1；(b)α=100,β=100 ；(c)α=1 000,β=1；(d)α=5 000,β=1

圖4 震源頻率1 000 Hz波場快照Fig.4 Wave field snapshot of 1 000 Hz(a)α=1,β=1；(b)α=100,β=100；(c)α=1 000,β=1；(d)α=5 000,β=1

圖5 震源頻率2 500 Hz波場快照Fig.5 Wave field snapshot of 2 500 Hz(a)α=1,β=1；(b) α=100,β=100；(c)α=1 000,β=1；(d)α=5 000,β=1

圖6 波形與振幅譜對比圖Fig.6 Comparison figure of waveform and amplitude spectrum(a)、(b) 波形對比圖 ；(c)、(d) 振幅譜對比圖

3 瑞雷波頻散曲線分析

通過對設計的七種隨機介質模型正演數據利用相移法提取頻散曲線，將均勻介質模型及自相關長度分別為α=1、β=1；α=100、β=1；α=1 000、β=1；α=5 000、β=1的頻散曲線對比如圖7所示。圖8為均勻介質模型及自相關長度α=1、β=1；α=50、β=50；α=100、β=100的隨機模型提取的頻散曲線對比圖。

圖7 自相關長度α變化頻散曲線對比圖Fig.7 Comparison figure of frequency dispersion curve with change of autocorrelation length α(a) 震源主頻率500 Hz；(b) 震源主頻率1 000 Hz；(c) 震源主頻率2 500 Hz

圖8 自相關長度α、β同時變化頻散曲線對比圖Fig.8 Comparison figure of frequency dispersion curve with change of autocorrelation length α and β(a) 震源主頻率500 Hz；(b) 震源主頻率1 000 Hz；(c) 震源主頻率2 500 Hz

從圖7(a)、圖7(b)及圖8(a)、圖8(b)可見，當震源主頻為500 Hz、1000 Hz時，隨機介質模型的頻散曲線均處在均勻介質模型頻散曲線附近上、下波動，波動范圍最大值僅為1.7%。在圖7 (c)中的2 000 Hz～4 000 Hz段，隨機介質模型的頻散曲線相對于均勻介質模型頻散曲線上、下波動范圍不超過1.3%，而在4 000 Hz～10 000Hz段，自相關長度α=5 000、β=1的隨機介質模型的頻散曲線迅速偏離均勻介質模型的頻散曲線，偏差值可達7.2%，其余自相關長度下的頻散曲線保留原趨勢，偏離均勻介質模型頻散曲線均不超過1.4%。在圖8(c)中的3 000 Hz～5 000 Hz段，波動范圍不超過1.6%，而在5 000 Hz～9 000 Hz段，自相關長度α=100、β=100時，其偏差值不超過2%，其余情況下不超過0.6%。從以上分析可知：震源主頻較低即波長較大時，隨機異常體對瑞雷波頻散曲線影響較??；而震源主頻較高即波長較小時，隨機異常體對瑞雷波頻散曲線影響較大。

將不同震源主頻下各隨機介質模型以及均勻介質模型頻散曲線速度值的最大偏差值進行匯總(表1)。從表1中可以看出，隨機介質模型中隨機異常體會引起頻散曲線速度值的變化：①當自相關長度α=1、β=1的隨機介質模型中的單尺度隨機異常體尺度較小時，所引起的速度偏差值不超過0.8%；②當自相關長度α=50、β=50及α=100、β=100的隨機介質模型中單尺度隨機異常體尺度增大時，所引起的速度偏差值也不超過2%，對于此類有單尺度異常體組成的地層，隨機異常體的尺度遠小于波長時，所引起的頻散曲線速度變化較小，可視其為均勻介質；③對于自相關長度α=1 000、β=1 000類似的隨機介質模型，其隨機異常體的尺度大于或相當于波長時，與均勻介質頻散曲線的速度值偏差值均不小于5.9%，就不能視其為均勻介質；④對于自相關長度α=5 000、β=1所對應的隨機介質模型，已相當于介質模型中的細密薄層，其所引起的速度偏差值可高達7%以上，對于此種情況，在利用頻散曲線進行分析時，必須考慮介質非均勻性的影響。

表1 隨機介質模型與均勻介質的頻散曲線速度的最大偏差值百分比(%)

Tab.1 The maximum percentage deviation of frequency dispersion curve in random medium and homogeneous medium (%)

震源主頻/Hz模型α=1β=1α=50β=50α=100β=100α=1000β=1000α=100β=1α=1000β=1α=5000β=15000.81.61.66.71.20.91.010000.61.70.95.91.21.10.725000.60.81.58.01.40.97.2

4 結論

運用高斯型自相關函數構建了七種隨機介質模型，利用高精度交錯網格有限差分法對構建的隨機介質模型進行正演模擬，通過分析不同主頻及不同自相關長度的隨機介質模型的波場特征和頻散曲線特征，得到以下結論：

1)隨機介質模型中瑞雷波能量較之均勻介質中減弱，其到達時間也發生變化,但其波形與均勻介質中基本一致；不均勻體所引起的散射波出現在面波之后，其能量小于面波的能量。

2)在實際的瑞雷波勘探中，對于由單尺度異常體組成的隨機介質地層，當不均勻體的尺度小于波長時，對頻散曲線速度值的影響較小，可視其為均勻介質；當不均勻體的尺度超過波長或與之相當時，對頻散曲線的影響較大，就不能視其為均勻介質；由細密薄層構成的地層對頻散曲線的影響較大，必須考慮介質非均勻性的影響。

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The forward modeling of Rayleigh wave and analysis of wave field characteristics based on random medium model

ZHAO Hong-xina,XIONG Zhang-qianga,b,ZHANG Da-zhoua,b

(a.Central South University School of Geosciences and Info-Physics,Changsha 410083,b.Central South University Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals,Ministry of Education,Changsha 410083,China)

To study the effect of Rayleigh wave field characteristic in heterogeneity medium,high accuracy staggered grid method has been applied into random medium models with different autocorrelation length at a different main frequency source.Basis on this,we have got dispersion curve by the phase shift method and contrast snapshots,single-channel recording and dispersion curve.The results shows that the Rayleigh wave energy of random medium is less than that in a homogeneous medium,and the arrival time in random mediums changes caused by irregularities.The random medium whose size of irregularities greater than or comparable to the wave length and the stratum medium constituted by a fine thin layer influences more on the dispersion curve,we can't see them as homogeneous mediums for Rayleigh wave exploration in this case.

random medium; Rayleigh wave; dispersion curve; wave field characteristics

2015-10-09 改回日期：2016-02-23

國家自然科學基金(41274123)；博士點基金(20130162110066)

趙宏欣(1989-)，男，碩士，主要從事瑞雷波正研研究，E-mail：dazhou2005@163.com。

1001-1749(2016)06-0780-08

P 631.4