有開孔加強結構耐壓球殼穩健性優化

劉 峰，韓端鋒，姚 軍

（哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

有開孔加強結構耐壓球殼穩健性優化

劉 峰，韓端鋒，姚 軍

（哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

為提高有開孔加強結構耐壓球殼的穩健性，本文采用最優拉丁超立方方法進行了樣本點的選取，進行了設計變量靈敏度分析。在降低了設計變量維數的基礎上，重新選擇樣本點進行了計算，采用響應面模型進行了樣本點的擬合，得到了滿足工程要求的近似模型。研究了穩健性和蒙特卡洛抽樣，考慮了設計過程中的不確定性，建立了有開孔加強結構耐壓球殼多響應多目標穩健性優化模型，采用第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-II）進行了優化求解。相比初始方案，3σ和6σ的方案減重效果分別為141．8171、81．004 kg，但6σ方案的穩健性要明顯優于3σ方案。

開孔加強；耐壓球殼；靈敏度；穩健性；蒙特卡洛；近似模型；優化模型

耐壓球殼是載人潛器的關鍵部件，在載人潛器的設計中占有重要地位。然而，耐壓球殼的設計存在眾多不確定性，如模型的假設和簡化分析等，這些均可能導致設計誤差的產生。相比而言，有開孔加強結構耐壓球殼的不確定性更多，這些不確定性因素的任何微小變化都可能對設計結果產生很大的影響，進一步對載人潛器的安全性，乃至總體性能造成嚴重的影響。因此，在有開孔加強結構耐壓球殼的設計過程中，必須考慮不確定性因素的影響。

對于耐壓結構設計所存在的眾多不確定性，已經引起了眾多學者的關注。張偉等［1］建立了潛艇耐壓圓柱殼殼板失效的失效函數，總結了設計參數對于潛艇耐壓圓柱殼結構失效的影響程度，為潛艇的設計、制造和使用提供了參考。白旭［2］分析了球柱組合殼結構的不確定因素，建立了基于失效模式的可靠性模型，采用多島遺傳算法進行了模型的求解，優化結果明顯。操安喜等［3］基于非概率可靠性分析理論，研究了影響球殼結構可靠性的不確定參數的描述方法，對于結構的可靠性指標的獲取方法進行了研究，采用區間運算方法獲得了定量的結構非概率可靠性指標，并進行了實例驗證。

穩健性由Taguchi［4］提出，其在產品設計階段通過優化設計方案，盡量減少質量波動，從而獲得低成本、高性能、高可靠性的產品［5］。李鋒等［6］考慮了設計變量和其他隨機變量的變異性對結構疲勞壽命的影響，將結構疲勞壽命穩健性優化問題構造成包含結構疲勞壽命均值和標準差的雙目標優化問題。程妍雪等［7］在考慮了不確定性對結構性能的影響的基礎上，將6σ設計引入到耐壓殼優化設計。周定智等［8］提出了一種基于多目標優化和C穩健性設計的車頂結構輕量化設計方法，并將該方法應用到汽車的輕量化設計中。

本文以有開孔加強結構耐壓球殼為研究對象，對于開孔加強的樣本點進行了有限元分析，為降低分析難度，進行了設計變量的靈敏度分析，完成了設計變量的篩選，得到了有開孔加強結構耐壓球殼的近似模型，建立了有開孔加強結構耐壓球殼多響應多目標穩健性優化模型，進行了模型的穩健性優化求解，得到了更加穩健的設計方案。

1 有限元分析模型的建立

1．1 開孔加強結構形式

載人潛器耐壓球殼開孔眾多，如人員出入艙口、觀察窗、電纜貫穿、管子貫穿等。其中，出入艙口和觀察窗開孔較大，是耐壓球殼設計中的重要內容。

將觀察窗座固定，只針對出入艙口加強展開研究。耐壓球殼出入艙口的加強形式及相關參數見圖1，耐壓球殼所采用的高強度鋼材料參數見表1。

圖1 開孔加強結構形式Fig．1 Opening reinforcement structure

表1 高強度鋼材料參數Table 1 High strength steel material parameters

1．2 極限強度的求解

采用ABAQUS軟件進行耐壓球殼極限強度Pcr的求解。初始缺陷采用初撓度代替，取為0．07mm，初始增量步為0．01，最小增量步10-5，最大增量步0．1，總增量步數100。

材料的真實應力應變曲線由工程應力應變曲線轉換得到。高強度鋼的工程應力應變曲線擬合表達式為［9］

式中:σ為工程應力，ε為工程應變，E為彈性模量，Ai和Bj為擬合參數，其中，A0=-885．7，A1=8．830 55× 105，A2=-1．605 909 7×108，A3=9．989 296 6×109，B0= 724．74，B1=1．107 12×104，B2=-1．407 835×105［9］。

計算時要求消除結構剛體位移，取3個點約束球殼6個方向自由度，其中網格模型在Z軸的節點1，T1=T2=0；在X軸上的節點2和3，T2=T3=0。通常通過安全系數K對于耐壓球殼的強度儲備進行表達，hg為工作深度，hjx為極限深度，hj為計算深度。K、hg、hjx、hj之間存在以下關系:

式中:K取1．5［10］，hg=0．90hjx。球殼殼板應力應滿足:

規范［10］對承受外壓的耐壓球殼開孔區域的應力計算要求為:圍壁板與球殼體連接處板邊緣的中面周向應力不得超過材料屈服強度σs的1．15倍。目標載人潛器的工作深度為1 500 m，則耐壓球殼載荷可通過式（5）求得

則耐壓球殼需要施加24．5 MPa的水壓，經過換算在開孔加強處施加等效載荷136．278 MPa。

2 設計變量的選取與靈敏度分析

2．1 樣本點的選取

拉丁超立方設計具有空間填充能力有效、可擬合非線性響應、可人為控制試驗次數等優點，但存在不可重復性、試驗點分布不均可能導致設計空間區域的丟失等缺點。最優拉丁超立方（Opt-LHD）使隨機拉丁超立方設計的均勻性得到了改進，使因素和響應的擬合更加精確真實，Opt-LHD使所有的試驗點盡量均勻的分布在設計空間，具有非常好的空間填充性和均衡性。圖2給出了2因子、9水平的Opt-LHD樣本點的分布情況。

2．2 設計變量靈敏度分析

圖1中，R為固定值，因此，將其余5個設計變量采用Opt-LHD選取32個樣本進行計算，得到設計變量對于響應值極限載荷Pcr的設計靈敏度排列圖見圖3。通過圖3可以看出，五個設計變量對于Pcr的靈敏度按照x1、x4、x3、x2、x5的順序降低，雖然x5的大小影響著人員出入口的等效載荷的大小，但這種載荷的變化范圍不是很大，綜合考慮選取x1、x2、x3、x4四個設計變量作為研究目標的設計變量。

圖2 最優拉丁超立方樣本點的分布Fig．2 Distribution of Opt-LHD sample points

圖3 設計變量靈敏度排列圖Fig．3 Pareto diagram of design variables sensitivity

3 有開孔加強結構耐壓球殼近似模型

響應面模型（response surface method，RSM）的實質是將響應值與變量之間的未知映射關系通過簡單的函數關系進行表達。其本質是進行多項式求解，具有透明性高、簡單、高效的特點。RSM按照階數可分為一階、二階、三階和四階。其中，二階RSM的表達形式為［11］

RSM的擬合精度采用復相關系數R2進行預測，R2的取值范圍為［0，1］，R2的取值與1的接近程度反映了近似模型擬合精度，其取值越接近1則擬合精度越高。R2表達式為

式中:yi為第i個樣本對應的狀態變量的響應值為第i個樣本對應的狀態變量的近似值為第i個樣本對應的狀態變量的響應均值，N為樣本數量。

針對x1、x2、x3、x4四個設計變量，采用Opt-LHD選取16個樣本點，進行耐壓球殼重量M、極限載荷Pcr、球殼體殼板應力為σ1、圍壁板與球殼體連接處板邊緣的中面周向應力為σ2四個響應值的計算和二階響應面擬合。得到模型系數及R2見表2。

表2 響應面模型系數表Table 2 Response surface model coefficient table

表2中，R2均在0．95以上，說明近似模型的擬合精度較高，滿足工程的需要。將表2的系數代入式（6）便可得到相應的近似模型。

4 穩健性和蒙特卡洛抽樣

4．1 穩健性優化

穩健性優化也稱為魯棒性設計，其通過對于產品設計、制造、材料等偏差和環境變化等帶來的風險進行分析，力求提高產品質量。比如說產品性能與某個因素有關，因素狀態變化時，產品的性能也隨之變化，如果某因素狀態的變化對產品的性能影響不大，即產品性能的變化相對于該因素狀態的變化很小的，就可以說產品性能對該因素的變化是不敏感的，又稱是穩健的，或者說產品性能對該因素的變化是具有穩健性的。圖4給出了確定性優化與穩健性優化的比較。

圖4中，目標函數f（x）的確定性優化最小值在A點處，但若設計變量x在最小點A處產生±Δx的波動，就會造成目標函數f（x）性能損失過大，甚至會超出可行域范圍內。對此則有必要對產品實行穩健性優化。相對于穩健性設計優化點B而言，雖然B點相對于A點f（x）的性能有所損失，但B點明顯比A點的穩健性更高，也就更具有工程實踐意義。

圖4 確定性優化與穩健性優化比較Fig．4 Deterministic optimization compared with robust optimization

4．2 穩健性優化設計的評價準則

6σ的穩健性設計是一種常用的穩健性設計優化的方法，σ指的是標準差，它是用來度量分散程度的一個指標。基于6σ的穩健性設計的概念源于商業，設計目的是為了讓設計變量在均值μ的±6σ范圍內波動的時候，仍能夠使得性能參數在可接受的范圍之內，這種離差水平，稱為σ水平n。

4．3 蒙特卡洛抽樣

蒙特卡洛方法以概率統計理論為基礎，當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，得出該事件發生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術平均值，通過它得到問題的解［12］。蒙特卡洛抽樣分為簡單隨機抽樣和描述性抽樣，簡單隨機抽樣是最基本的一種抽樣技術，它通過產生均勻分布的隨機數序列然后將隨機數序列轉化為項對應的隨機變量值。蒙特卡洛方法是基于重復實驗創建雙響應面模型，分別對質量特性的均值和方差建立響應面模型，通過蒙特卡洛方法求得樣本的均值和方差的直接表達式為

5 耐壓球殼的穩健性優化

5．1 多響應多目標穩健性優化

一般而言，多目標優化問題可以表述為

式中:f1（x），f2（x），…，fk（x），是k個目標函數；gj（x）是第j個約束條件；J為約束個數；xL、xU分別是設計變量x的上下約束邊界。在這個數學模型之中并沒有考慮由于設計參數的不確定性波動而導致的目標函數的攝動。則問題的多目標穩健性優化模型可以表示為

式中:Yμ1（X），Yμ2（X），…，Yμk（X）、Yσ1（X），Yσ2（X）…，Yσk（X）分別表示第K個目標函數的均值和方差，gμj（x）、gσj（x）為第j個約束的均值和方差，向量xμ、xσ為x的均值和方差。

在考慮物理不確定性時，將制造誤差引入作為設計變量的隨機變量，且這些設計變量均服從正態分布［11］，給方差變異系數賦0．01的典型的制造誤差。表3為隨機設計變量概率表。

表3 隨機設計變量概率表Table 3 Probability table of random design variables

5．2 耐壓球殼多響應多目標穩健性設計

以質量和極限載荷作為目標函數，中面應力和殼板應力作為約束，則有開孔加強結構耐壓球殼的確定性優化模型為

則多響應多目標穩健性優化模型為

式中:n=3或6，ω-=0．9。

采用蒙特卡洛描述性抽樣得到100組設計變量，將其代入響應面模型，計算出目標函數響應的均值和方差。

第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-II）基于基本遺傳算法，根據個體間的支配關系在選擇算子執行前進行分層，之后再進行選擇操作。使較好個體有更大的機會遺傳到下一代，進而得到更為滿意的多目標優化結果。

采用NSGA-II進行確定性優化、多響應多目標穩健性優化的求解，NSGA-II的具體原理見文獻［13］。NSGA-II設置為:種群大小60，最大遺傳進化代數100，交叉概率0．75，變異分布指數100，求解得到的Pareto前沿見圖5。

圖5 穩健性優化Pareto前沿Fig．5 Robust optimization Pareto solution set

圖5中，包含3σ和6σ水平的穩健性前沿，可以看出，兩者雖然在最優性上較確定性優化稍差，但穩健性更高，采用最小距離法（TMDSM）［14］確定圖5中三個解集的設計方案。其中，確定性優化方案稱為初始方案、3σ優化確定的方案稱為方案1，6σ優化確定的方案稱為方案2，將三個方案的參數列于表4。

表4 設計方案對比Table 4 Comparison of design schemes

表4中，相比初始方案，方案1和方案2在重量方面優化結果明顯，分別減重141．817和81．004 kg，其余目標函數差距不大。

對于方案1的設計變量，采用描述性蒙特卡洛進行100次抽樣，進行方案1的穩健性評估，統計出不同均值處的次數，通過統計分析計算出方案1在既定設計變量值處的均值和方差，見圖6。

圖6 蒙特卡洛模擬下響應值頻次圖Fig．6 Frequency response value of Monte Carlo simulation

通過蒙特卡洛模擬統計得出總應力和中面周向應力的質量水平，對于中面周向應力，由于約束上界限值較高，在此不列出中面周向應力的σ水平圖，總應力的質量水平見圖7，均值為605．865 MPa，標準差為15．721 MPa。

使用同樣的方法對方案2進行質量評估，進一步將初始方案、方案1和方案2的總應力的概率圖繪于同一圖中，見圖8。

圖8中，曲線1代表初始設計方案，曲線2為方案1，曲線3為方案2。從圖8可以看出，隨著σ水平的提高，總應力的均值越偏離約束邊界，且應力的概率分布圖變得越來越修長，即應力以較大的概率分布在均值附近。說明方案1、方案2與初始方案相比在極限載荷這個目標上沒有較大的變化。

圖7 3σ穩健性優化總應力概率分布圖Fig．7 Total stress probability distribution of 3σ robust optimization

圖8 穩健性優化總應力概率分布對比Fig．8 Total stress probability distribution of robust optimize

6 結論

通過對有開孔加強結構耐壓球殼的穩健性優化的研究，得到結論如下:

1）基于靈敏度分析方案完成設計變量維數的降低，有利于模型的簡化，可顯著降低設計與計算分析難度；采用響應面模型替代真實模型進行優化問題的求解，在滿足模型精度要求的同時，能大幅度降低計算花費，可提高耐壓球殼的設計效率；

2）相比確定性多目標優化，基于穩健性優化的多響應多目標優化的Pareto解的分布范圍有所縮小，說明基于穩健性的設計方案的解更加穩定、可靠；

3）相比初始設計方案，優化方案在減重方面優化結果明顯，但6σ減重的幅度要小于3σ，但應力值的波動較小，說明隨著穩健性水平的提高，要求增加耐壓球殼的厚度，才能在約束條件方面有更高的穩健性水平，從而導致耐壓球殼的質量增加。

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Robust optimization of a pressure spherical shell with a strengthened opening

LIU Feng，HAN Duanfeng，YAO Jun
（College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

To improve the robustness of a pressure spherical shelll with a strengthened opening，sample points were selected based on the optimal Latin hypercube method，and sensitivity analysis of design variables was carried out．Based on reducing the design variables′dimensions，sample points were reselected and calculated，and a response surface model was used to fit the sample points，thereby producing an approximate model that met the engineering requirements．Robustness and Monte Carlo sampling were investigated，and the uncertainties in the design process were considered．A multi-response and multi-objective robustness optimization model was thus established．A second generation nondominated sorting genetic algorithm（NSGA-II）was used to solve the optimization model．Compared with the initial program，the weight loss of 3σ and 6σ were 141．8171 and 81．004 kg，respectively，but the robustness of 6σ was better．

opening reinforcement；pressure spherical shell；sensitivity analysis；robustness；Monte Carlo；approximate model；optimization model

10．11990／jheu．201512074

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1390．u．20160928．0936．008．html

U662

A

1006-7043（2016）12-1613-07

劉峰，韓端鋒，姚軍．有開孔加強結構耐壓球殼穩健性優化［J］．哈爾濱工程大學學報，2016，37（12）:1613-1618，1637．

2015-12-21．

2016-09-28．

教育部科學技術研究重大項目基金項目（311034）；國家科技重大專項基金項目（2011ZX05027-005）．

劉峰（1982-），男，講師，博士；韓端鋒（1966-），男，教授，博士生導師．

韓端鋒，E-mail:handuanfeng＠hrbeu．edu．cn．

LIU Feng，HAN Duanfeng，YAO Jun．Robust optimization of a pressure spherical shell with a strengthened opening［J］．Journal of Harbin Engineering U-niversity，2016，37（12）:1613-1618，1637．