數(shù)學(xué)教學(xué)中思維品質(zhì)的培養(yǎng)

代四新

我們現(xiàn)在培養(yǎng)的學(xué)生正是二十一世紀(jì)的人才，二十一世紀(jì)需要的德才兼?zhèn)涞膭?chuàng)造性的人才。為了培養(yǎng)更多更好的優(yōu)秀人才，在重視學(xué)生全面發(fā)展過程中，應(yīng)注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)就是要培養(yǎng)學(xué)生探索問題的廣闊性、靈活性、敏銳性、獨(dú)立性、批判性和創(chuàng)造性。要培養(yǎng)思維品質(zhì)，就必須在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生從不同方面，利用不同方法，對(duì)同一問題進(jìn)行思考，從而使學(xué)生思維的流暢性、變通性和獨(dú)特性得到發(fā)展。我在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中注重采用“一題多解、聯(lián)想化規(guī)、一題多變、設(shè)置誤區(qū)、逆向思考、觀察嘗試”來培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)。

一、一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維發(fā)揮的廣闊程度，集中表現(xiàn)在思路寬廣，能全面考察問題，從多角度尋求解決問題的方法。教學(xué)中要發(fā)揮典型例題引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位觀察和思考問題，在廣闊的范圍內(nèi)尋求解法，然后引導(dǎo)他們找出多種解法的共同規(guī)律和最佳方法。

例1 已知二次函數(shù)圖象與X軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-8，求此二次函數(shù)的解析式。

在解題時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)先設(shè)解析式 ，然后把已知條件代入解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中，列出方程式，求出a、b、c的值代入解析式中獲得。在解完后，問還有別的解法嗎？此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析，由拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-8），從而設(shè)解析式為 即 ，再將A點(diǎn)或B點(diǎn)的坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式即可求得a=2，把a(bǔ)代入 中便獲得；在解完后進(jìn)一點(diǎn)啟發(fā)聯(lián)想 = ，設(shè)拋物線解析式為 ，其中 是圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即 ， ，所以 ，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-8）代入上式，求出a=2，就可得到結(jié)果。

例2 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CE為中線，延長AB至D，且BD=AB。

求證：CD=2CE

在這一題中，題目文字不多，但解題方法卻不少，到了八年級(jí)下學(xué)期期中考試前，很多同學(xué)還是用三角形全等的方法去證明。方法是：

證明1：如圖（1）取CD中點(diǎn)F，連BF

∵B是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)

∴BF∥AC且BF= AC

而BE= AB= AC

∴BE=BF

又∵BF∥AC

∴∠FBC=∠ACB=∠ABC

在△BEC和△BFC中

BC=BC；∠FBC=∠EBC；BE=BF

∴△BEC≌△BFC（SAS）

∴CE=CF

而CD=2CF

∴CD=2CE

很明顯，利用三角形全等的方法證明此題比較麻煩，我在此時(shí)就提示還有沒有其他的方法呢？引導(dǎo)學(xué)生分析，根據(jù)條件中出現(xiàn)的中點(diǎn)，要發(fā)揮中點(diǎn)的作用，嘗試找出AC的中點(diǎn)F，連接BF又如何呢？有些同學(xué)馬上就意識(shí)到了，這樣利用中位線定理，更簡單了。

證明2：如圖（2）取AC的中點(diǎn)F，連BF

則CE=BF（等腰三角形中線等長）

∵B是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)

∴BF= CD

∴CE= CD

即CD=2CE

在講到此處時(shí)，有些同學(xué)明顯感覺很激動(dòng)，我便又說，這兩種方法都需要作輔助線，還不夠簡單，能不能不作輔助線就證明出來呢？此時(shí)大家激動(dòng)的心情又平靜下來，我邊說邊提示，△AEC和△ACD這兩個(gè)三角形有什么關(guān)系呢？這一下子，學(xué)生馬上意識(shí)到這兩個(gè)三角形相似，并且很快寫出了證明過程。

證明3：如圖（3）在△AEC和△ACD中

∠A公用，

∴△AEC∽△ACD

∴

∴CD=2CE

解完后讓學(xué)生觀察，教師總結(jié)。第一種方法思路自然，但運(yùn)算較繁；第二種方法簡練；第三種方法巧妙，利用一題多解，使知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立更加合理有序，彼此關(guān)聯(lián)，融會(huì)貫通，從而有效地培養(yǎng)思維的廣闊性。

二、聯(lián)想化規(guī)，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性是指思維的靈活程度，其集中表現(xiàn)為能根據(jù)問題的基本情況，及時(shí)地改變觀察和思維角度，提示本質(zhì)聯(lián)系，迅速解題。轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)中，有著廣泛的應(yīng)用，如在數(shù)學(xué)解題中，求代數(shù)式的值，解一元二次方程，分式方程和方程組，證明線段和差關(guān)系，證明線段的倍半關(guān)系，計(jì)算不規(guī)則圖形的面積的指導(dǎo)思想都是轉(zhuǎn)化思想，其根本特征：把所解決的問題轉(zhuǎn)化、歸納為已經(jīng)解決了的問題。

例3 過△ABC的頂點(diǎn)C作一直線與中線AD及邊AB分別交于E、F。

求證： =

本題直接證明是很困難的，通過分析已知條件，并聯(lián)想平行線與線段成比例定理，過D作DG∥CF，交AB于G，則 ，再證FG= FB，代入上式便得證。

本題通過聯(lián)想，把證 = 轉(zhuǎn)化為證 ，在證出FB和FG的關(guān)系，很快可以獲證，能否合理地轉(zhuǎn)化或變換問題是衡量思維的靈活性的重要標(biāo)志，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性，就是使學(xué)生的思維始終處在思考問題的動(dòng)態(tài)之中。

三、一題多變，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性是指思維的抽象程度、邏輯水平和思維活動(dòng)的深度。其集中表現(xiàn)為能深入地思考問題，教學(xué)中，教師要善于挖掘題目潛在的功能，恰當(dāng)?shù)貙?duì)題目進(jìn)行延伸、演變、拓展，使學(xué)生的思維處于積極的最佳狀態(tài)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例4 已知四邊形中，AD∥BC，BD平分∠ABC，求證：AB=AD

變式（一）已知：AB=AD，BD平分∠ABC，求證：AD∥BC。

變式（二）已知：AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC。

又如：例5：在方程 =0中，若k為任意實(shí)數(shù)，此方程有無實(shí)根，為什么？

也可將結(jié)論作如下變化：

（1）若方程有相等實(shí)根，求k的值；

（2）若方程有絕對(duì)值相等的根，求k的值；

（3）若0﹤k﹤ ，確定此方程二根的符號(hào)；

（4）在什么情況下方程有兩個(gè)負(fù)根。

由于問題多變，學(xué)生不斷變換應(yīng)用的范圍和方式，從而在應(yīng)用中求活求通。

再如：a、b、c是△ABC的三邊且滿足 ，求證：△ABC是等邊三角形。

這是一道常見的數(shù)學(xué)題，應(yīng)用配方法以及平方和為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可證，若把例子中條件“ ”換成“ -3abc=0”，或者“3 +4（a+b+c） +4（ab+bc+ac）=0有兩個(gè)等根”，在求證便可以開拓學(xué)生思維，加深對(duì)問題的理解。

通過一題多變，學(xué)生廣泛地聯(lián)系了各知識(shí)點(diǎn)，收到了舉一反三，深化知識(shí)之效果。

四、設(shè)置誤區(qū)，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度，其表現(xiàn)為不受暗示的影響，能嚴(yán)格而客觀地評(píng)價(jià)，檢查思維的結(jié)果，教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，對(duì)教師的講述和教科書的陳述敢于發(fā)表不同看法。教師可以給出似是而非的問題啟發(fā)進(jìn)行討論，辨別真假，或故意對(duì)某些問題作出錯(cuò)誤回答，組織討論，找出錯(cuò)誤所在和產(chǎn)生的原因，引導(dǎo)學(xué)生正確評(píng)價(jià)自己的解題思路，有效地培養(yǎng)思維的批判性。

例6 已知： ，求此比值。

解：由等比性質(zhì)，得

= =2

多數(shù)同學(xué)為解題成功而高興，我說這有沒有問題呢，或者有沒有漏洞呢？學(xué)生感到驚訝，問題在哪里呢？

讓學(xué)生說出等比公式成立的條件，進(jìn)一步引導(dǎo)， 是不是等于0呢？讓學(xué)生明白錯(cuò)的原因在于應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)忽視了等比性質(zhì)成立的條件。

正確解法：

（1）若x+y+z≠0時(shí)，由等比性質(zhì)得出結(jié)果為2。

（2）若x+y+z=0時(shí)，則x+y=-z，因此，該比值為-1。

從某種意義說，學(xué)生的思維發(fā)展是在與失誤斗爭過程中實(shí)現(xiàn)的，學(xué)生失誤本來是壞事，但通過師生的努力完全可變?yōu)楹檬拢挥凶寣W(xué)生嘗過失誤的苦頭，他們的思維才逐步趨于完善，以致成熟。

五、逆向思考，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度，而逆向思維更是消除思維定勢影響，培養(yǎng)敏捷性思維的有效途徑。

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，利用逆向思維的例子屢見不鮮，如代數(shù)中許多性質(zhì)的導(dǎo)出就是這樣，有理數(shù)減法法則：a-b=a+（-b）的導(dǎo)出就巧妙地利用了逆向思維，并不直接計(jì)算a與b的差，而是反過來看a與-b的和，這樣就將有理數(shù)減法運(yùn)算轉(zhuǎn)變成學(xué)生所熟悉的加法運(yùn)算了；對(duì)于有理數(shù)除法性質(zhì)：a÷b=a （b≠0）也是這樣。通過這些性質(zhì)的導(dǎo)出，既培養(yǎng)了學(xué)生順向思維與逆向思維方式，同時(shí)對(duì)學(xué)生理解在有理數(shù)范圍內(nèi)加與減、乘與除的統(tǒng)一有很大幫助。

例7：已知一元二次方程 =0的兩根為 ，不解方程求 的值。

這道題因?yàn)橐蟛唤夥匠蹋院茈y直接求出，但利用學(xué)生熟悉的 ，逆向思考 = 便可求出。

六、觀察嘗試，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的內(nèi)容、途徑和方法的自主程度，其集中表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考，思維不循常規(guī)，勇于創(chuàng)新。教學(xué)中，對(duì)那些學(xué)生感到無從下手，在無計(jì)可施時(shí)，要求學(xué)生對(duì)已知進(jìn)行多角度、全方位的觀察，靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，不斷地突破思維定勢的束縛，尋找問題的突破口，使問題得出簡解、巧解。

例8計(jì)算

此題用常規(guī)思維難以解決，通過觀察，分析該題的特點(diǎn)，原式平方后仍含有原式，故可用“自身代換法”予以解決。

設(shè) = ，則 =6+ =6+

即 -6=0，解得 =-2（舍）， =3

例9 把循環(huán)小數(shù)0.252525……化為分?jǐn)?shù)

此題中出現(xiàn)的數(shù)是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，肯定可以化成一個(gè)分?jǐn)?shù)，但是如何化成一個(gè)分?jǐn)?shù)，小數(shù)無從下手，通過觀察，該數(shù)擴(kuò)大100倍后仍是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，故也可用“自身代換法”予以解決。

設(shè) =0.252525……，那么 =25.2525……=25+x

解此一元一次方程，可得 = ，即0.252525……=

總而言之，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)是一個(gè)長期的過程，只要我們努力探索，不斷研究，就一定能為二十一世紀(jì)中華民族偉大復(fù)興培養(yǎng)出創(chuàng)造性的人才。