縱向磁場中載流單層碳納米管的振動與失穩

李 明，周攀峰，鄭華升

(武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

縱向磁場中載流單層碳納米管的振動與失穩

李 明，周攀峰，鄭華升

(武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

以非局部彈性理論為基礎，采用Euler-Bernoulli梁模型，并考慮納米管管形區域內滑移邊界條件以及小尺度效應，研究了縱向磁場中單層載流碳納米管的振動與失穩問題。根據哈密頓原理獲得碳納米管的橫向振動方程和邊界條件。應用微分變換法(DTM)對此高階偏微分方程進行求解，通過數值計算分析磁場強度、小尺度參數和Knudsen數對單層載流碳納米管振動頻率和穩定性的影響。結果表明，小尺度參數和Knudsen數越大，系統基頻及臨界流速就越低，系統的穩定區域也越??；縱向磁場強度增加到一定程度后，磁場作用將明顯提高系統的基頻及臨界流速，也即增大了系統的穩定區域。

碳納米管；縱向磁場；載流；微分變換法；振動；失穩；臨界流速

碳納米管是一種重要的納米材料，具有小尺度、低密度、高強度和高硬度等特性，加之完美的空心圓柱形幾何結構，其已成為納米尺度下流體儲藏與輸運的重要載體[1-2]。與之相應，作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統，載流碳納米管的動力學特性也吸引了國內外研究人員的大量關注。Wang等[3]應用非局部Euler-Bernoulli梁模型研究載流雙層碳納米管的固有頻率和屈曲失穩特性，發現了小尺度參數對碳納米管振動頻率的影響規律。梁峰等[4]應用非局部黏彈性夾層梁模型分析雙參數彈性介質中輸送脈動流碳納米管的穩定性，證明了非局部效應對載流碳納米管的影響特性?；谳d流碳納米管的流場特征尺度變小以及Knudsen數(定義為流體分子平均自由程與流場的特征尺度之比)大于0.01的特性，Mirramezani等[5]考慮管形區域內滑移邊界條件，研究了Knudsen數對納米級載流管振動穩定性的影響。

近年來，碳納米管在生物醫藥領域(如抗腫瘤藥物的靶向輸送)以及納機電系統(NEMS)中得到越來越廣泛的應用，而由于磁場具有優異的智能控制特性，其在碳納米管載流中的應用也開始受到關注，但針對碳納米管在磁場中的磁-力耦合特性的研究成果在現階段還相對較少。Murmu等[6]基于非局部彈性理論分析了縱向磁場中雙層碳納米管的橫向振動問題。Kiani[7]應用非局部Rayleigh梁模型以及Maxwell’s方程研究了三維磁場作用下單層碳納米管的縱向、橫向振動特性。本文以非局部彈性理論為基礎，采用Euler-Bernoulli梁模型，考慮碳納米管的小尺度效應和稀薄效應，著重研究單層簡支載流碳納米管在縱向磁場作用下的振動與失穩問題。

1 振動控制方程與邊界條件

圖1所示為單層簡支碳納米管，其長度為L，外徑為D，橫截面積為A，彎曲剛度為EI，E為材料彈性模量。每單位長度上納米管的質量和內部流體的質量分別為mc和mf。假定振動時管道只發生橫向面內振動，且不考慮重力以及管道外部拉、壓力的影響。W(X,T)為納米管振動的橫向位移，其中，X為納米管的縱向坐標，T為時間。

圖1 縱向磁場中單層簡支載流碳納米管

對于載流碳納米管，Knudsen數大于0.01，參照文獻[5]采用滑移邊界條件，將管內流體的平均流速修正為Uavg,slip= VCF·Uavg,(no-slip)，其中，Uavg,slip與Uavg,(no-slip)分別為滑移與無滑移邊界條件下流體的平均流速，VCF為平均流速修正因子，定義如下[5]:

(1)

根據微觀Maxwell’s方程[6]，在縱向磁場中，由磁場引起的作用于單層碳納米管橫向單位長度上的洛倫茲力可表示為：

(2)

式中：η為磁導率；HX為縱向上的磁場強度。

考慮小尺度效應，以非局部彈性理論為基礎，應用哈密頓原理可以得到載流納米管在縱向磁場中的運動方程為：

(3)

式中：e0a是納米材料中引起結構小尺度效應的參數。

文獻[8]已證明，對于兩端簡支的載流納米管，仍可以采用局部連續理論下的邊界條件，即：

(4)

2 振動控制方程的求解

(5)

以及無量綱簡支邊界條件

(6)

(7)

根據DTM運算法則[8]，可得到式(7)的微分變換形式

[1-μ(u2-ψ)]·(k+4)!·Φ(k+4)-

(u2-ψ-μΩ2)·(k+2)!·Φ(k+2)+

Ω2·k!·Φ(k)=0

(8)

和相應的簡支邊界條件微分變換形式

Φ(0)=Φ(2)=0

(9)

(10)

令Φ(1) = C1, Φ(3) = C2，再通過式(8)、式(9)進行迭代，求得Φ(k)，k = 4,5,…,N。然后將Φ(k)代入式(10)，可得到以下兩個方程：

(11)

式中：aij是關于Ω和其他系統參數的多項式。式(11)有平凡解的條件是其系數矩陣行列式為零，由此即可獲得系統的復數特征值Ω，其虛部Im(Ω)是系統的無量綱固有頻率，其實部Re(Ω)與阻尼有關。已有研究表明[10]，當Im(Ω) = 0 時，簡支納米管系統將因發散而出現屈曲失穩，故使Im(Ω)由正變為零的流速稱為系統的屈曲臨界流速ucr。

3 數值算例

對于簡支載流納米管在縱向磁場中的動力特性分析，本文采用的參數為[6，11]：碳納米管密度ρc= 2300 kg/m3，外層半徑R0=3 nm，長徑比L/2R0=40，壁厚td= 0.1 nm，彈性模量E=3.4 TPa，磁導率η= 4π×10-7H/m,質量比系數β=0.1。DTM的計算精度取決于截斷項數N的取值，N值越大計算結果越接近精確解，本文取N=40，經過驗證，此條件下已能保證一階模態的解具有足夠精確。

3.1 頻率分析

鑒于內部流體的流動行為將對載流納米管的振動特性產生影響，故表1首先給出了載流納米管中流體無量綱流速u、小尺度參數μ、Knudsen數Kn均為零時，納米管一階無量綱固有頻率與縱向磁場強度之間的變化規律。由表1可見，當縱向磁場強度HX不低于107A/m時，隨著磁場的增強，簡支納米管無量綱基頻才有了顯著的提高，也就是說，縱向磁場必須達到一定強度后才能對納米管的振動效果產生影響。

表1 無量綱基頻隨縱向磁場強度的變化(u=0,μ=0,Kn=0)

圖2給出了簡支載流納米管在無縱向磁場和縱向磁場強度為5×107A/m兩種情況下，系統一階無量綱特征值的虛部與實部隨管內流體無量綱流速的變化情況，此時仍取μ=0、Kn=0。由圖2可以看出，對于不同的無量綱流速，縱向磁場的作用提高了該流速下系統的無量綱基頻數值，且使系統的分叉現象在較高流速下產生，這意味著外加縱向磁場可以降低內部流體對載流納米管固有頻率的影響，并且提升系統的穩定性。

(a) 虛部

(b) 實部

圖3和圖4給出了簡支載流納米管在無縱向磁場與縱向磁場強度為5×107A/m兩種情況下，分別取不同小尺度參數(此時Kn=0)和不同Knudsen數(此時μ=0)時，系統一階無量綱固有頻率與管內流體無量綱流速的變化關系。由圖3和圖4可以看出，無論有沒有縱向磁場作用，隨著小尺度參數以及Knudsen數的增加，相同流速下系統的固有頻率均會降低，因此系統的穩定性也會出現不同程度的減弱。

圖3 不同小尺度參數下無量綱基頻隨無量綱流速的變化(Kn=0)

圖4 不同Knudsen數下無量綱基頻隨無量綱流速的變化(μ=0)

3.2 穩定性分析

在流固耦合問題的研究中，特別是對于載流納米管這類柔性結構，系統穩定性的分析以及系統臨界流速的計算都是關鍵內容。圖5(a)給出了縱向磁場強度不同時，系統無量綱臨界流速隨Knudsen數的變化情況,此時取μ=0.1。圖5(b)給出了小尺度參數取值不同、縱向磁場強度HX=5×107A/m時，系統無量綱臨界流速ucr隨Knudsen數的變化情況。

由圖5可以看出，Kn值在0.0001～0.01范圍內時，影響臨界流速的因素主要是外加縱向磁場強度和小尺度參數而不是Kn值，具體表現為：磁場強度越大，臨界流速越高，載流納米管的穩定區域越大；小尺度參數越大，臨界流速越低，載流納米管的穩定區域越小。Kn值在0.01～0.1范圍內時，流體處于滑移流動區，稀薄效應開始體現，此時磁場強度、小尺度參數仍對臨界流速產生相應的影響且規律與Kn值位于0.0001～0.01區間的規律相同，但影響程度降低，而這時Knudsen數對臨界流速的影響開始顯現，即隨著Kn值的增加，臨界流速逐漸降低，相應的載流納米管穩定區域逐漸減小。超過上述范圍之后，Knudsen數逐漸成為影響臨界流速的主要因素，而其他參數的影響程度則逐漸減弱。

(a)不同磁場強度(μ=0.1)

(b) 不同小尺度參數(HX=5×107 A/m)

4 結語

本文基于非局部Euler-Bernoulli梁模型，考慮載流納米管管形區域內的滑移邊界條件，應用哈密頓原理建立單層簡支載流碳納米管的振動控制方程，采用DTM法對這個高階偏微分方程進行求解，分析了縱向磁場作用下該系統的振動與失穩問題，分別討論了縱向磁場強度、小尺度參數以及Knudsen數對系統基頻和臨界流速的影響。從數值算例分析來看，載流納米管小尺度效應以及稀薄效應越明顯，系統基頻及臨界流速就越低，系統的穩定區域也越??；而磁場強度增加到一定數值后，磁場作用將明顯提高系統的基頻及臨界流速，也即增大了系統的穩定區域。由于失穩臨界流速對于載流納米管的納米力學特性有明顯的影響，因此本文所得結論可為工程納米流體機械的設計分析提供一定的理論參考。

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[責任編輯 尚 晶]

Vibration and instability of single-walled carbon nanotubes conveying fluid in a longitudinal magnetic field

LiMing,ZhouPanfeng,ZhengHuasheng

(Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China)

On the basis of nonlocal elastic theory and with the slip boundary conditions and small scale effect of nanotubes considered, this paper uses Euler-Bernoulli beam model to investigate the vibration and instability of a simply-supported single-walled carbon nanotube (SWCNT) conveying fluid in a longitudinal magnetic field. Transverse vibration equation and its boundary conditions of the SWCNT are derived according to Hamilton’s principle. Differential transformation method (DTM) is adopted to solve this high-order partial differential equation. Effects of magnetic field intensity, small scale parameter and Knudsen number on vibration frequency and stability of fluid-conveying SWCNT are analyzed by numerical calculation. The results show that with the increase of small scale parameter and Knudsen number, the fundamental frequency and critical flow velocity of the SWCNT decrease and the system’s stable region is reduced; when its intensity increases to a certain degree, the longitudinal magnetic field can obviously raise the fundamental frequency and critical flow velocity, i.e. enlarge the system’s stable region.

carbon nanotube; longitudinal magnetic field; fluid-conveying; differential transformation method; vibration; instability; critical flow velocity

2016-09-08

國家自然科學基金資助項目(51608401); 武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室開放基金資助項目(Y201520).

李 明(1969-)，女，武漢科技大學副教授，博士. E-mail:mingli121212@126.com

10.3969/j.issn.1674-3644.2017.01.006

O353.1

A

1674-3644(2017)01-0027-05