微積分理論在生活中的應用實踐

蔣騰飛 四川師范大學

微積分理論在生活中的應用實踐

蔣騰飛 四川師范大學

微積分作為一門學科，已經經歷了三個多世紀的發展，對人類社會的影響巨大，促進了科技的大力發展。微積分思想貫穿到社會經濟發展之中，有助于提高社會生產效率。本文主要研究微積分在實際生活中的應用，為了更好的應用微積分知識，本文通過闡述微積分知識，分析微積分在大學數學學習中的應用，以及微積分在生活中的應用，進而為其他領域應用微積分提供參考。

微積分 數學思想 實際應用

前言

微積分經歷數百年的發展，其思想已經滲透到實際生活中。本文通過微積分的實際應用，提高理論與實際相互結合的能力，做到理論指導生活，服務于生活，提高工作效率，提高問題解決的簡便性，構建微積分知識與現實生活之間的內部聯系，運用數學思維，拓展問題的解決方法。

一、微積分的概念與重要性

微積分是指高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用.微積分=微分+積分。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分是與實際應用聯系著發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助于這些應用的不斷發展。

綜上所述，微積分作為一種最為便捷的工具，廣泛應用于人們的日常生活中。在日常的工作生活中，如果沒有出現大量的實際問題，或者說如果沒有數學家深入的研究分析，那么就不會出現當前的微積分理論。在研究探索微積分理論的過程中，需要以實際情況為基點，對實際問題進行抽象化處理，將其轉化成數學問題。

二、微積分在生活中的應用

在日常工作生活中，我們遇到的任何問題都可能成為數學的研究對象。實際上，生活的各個方面都隱含著微積分知識，只有通過不斷地挖掘，我們才能真正看清現象的本質，同時將具體的事物用抽象的數學知識表現出來。當我們難以理解某個抽象的事物時，在這種情況下，可以將其還原到具體的事物中，按照具體一抽象一具體的方式不斷深化，最終認清事物的本質。

1.排隊等待問題(極限夾逼定理)。在大學數學教學活動，數列極限夾逼定理是一條重要的定律，按照要求，畫出3條相互垂直的空間直線，分別代表3個相互垂直的平面，按照從左到右的順序依次將其記為Yn、a、Zn，假設a是固定的，而Yn、Zn都是無限地接近a，此時，在Yn、Zn兩個平面之間任意放入平面Xn，平面Xn都是向a無限逼近，這就是夾逼定理的相關內容。按照夾逼定理的要求，我們可以將日常生活中的實例進行對號入座，例如，排隊買票問題，當許多人排成一列長隊按順序買票時，如果后面的人越來越多，那么隊伍中間的人就要想還有多長時間才能輪到自己，這是被后面的人擠到購票窗口前，這就是夾逼定理中直觀感受，其中Xn就是參與排隊買票的人，而Yn、Zn就是后面排隊的人，而購票窗口就是事先規定的a。

2.投資決策問題。在經濟生活中，初等數學的應用范圍也非常廣泛，例如在解決投資決策問題時，如果以均勻流(將資金按照流水的方式定期地存入銀行)的方式向銀行存款，那么t年后，應該取出多少資金，這種問題可以通過定積分的方式給予解決。例如，一個企業向某項目一次性投入2千萬元，并且一年后建成投產同時獲得回報。如果不考慮資金的時間價值，那么收回投資本金的時間為5年，如果考慮資金的時間價值，那么實際情況就會發生改變。在這種情況下，借助微積分，可以確保投資決策的科學性、合理性，同時可以規避風險，提高投資收益率。

3.切菜問題(“微元法”計算立體的體積)。利用微積分解決實際問題時，例如，已知平行截面的面積，如何利用定積分計算空間立體的體積。假設空間存在某個立體面，并且該立體面由一個曲而和垂自于x軸的兩個平面構成，從x軸上任選一點垂直截所圍立體，并且所得截面面積就是已知連續函數，那么就可以通過定積分表示此立體體積。對于這種方式可以通過“微元法”得出結論。在日常生活中，這種方式應用范圍比較廣，可以視為切黃瓜，在水平的桌面上，放置洗凈的黃瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黃瓜的兩端，如何計算剩余黃瓜的體積？首先如何計算不規則黃瓜的體積？按照垂直于菜板的方向，以較小的間隔切一個黃瓜片，可以將這片黃瓜片視為一個圓柱體，其體積就是截面面積與黃瓜片厚度的乘積。以此類推，如果將這根黃瓜切成若干薄片，分別計算每片黃瓜的體積，然后相加就得出所求黃瓜體積的近似值。如何提高黃瓜體積數值的精度？就是將其進行無限細分處理，然后再進行無限求和，這樣就可以提高計算值的精度。

4.導數在經濟生活中的應用。（1）邊際分析。在經濟學中，若y=xf可導，則導函數xf′稱為xf的邊際函數。在點0x的值0xf′稱為xf在0x處的邊際值(或變化率等)。如某干魚加工廠加工某種干魚的總收入函數和總成本函數分別是202.08)(xxxR+=和203.0200)(xxxC++=，求邊際利潤函數和當日產量分別是300公斤，350公斤和400公斤時的邊際利潤，并說明其經濟意義。

（2）彈性分析。在經濟分析中，彈性用來描述一個經濟變量y相對于另一個經濟變量x變化時所做出反映的敏感程度。即彈性是用來描述一個量對另一個量的相對變化率的一個量。如某品牌中藥牙膏價格是8元時，需求量是1000支；當價格提高到10元時，需求量減少為950支，試求該牙膏需求對價格的彈性。除此之外，還用在資源的合理利用、器具制造、變路移址等方面。

三、結論

總而言之，微積分不僅是一門重要的基礎性學科，提高能力在當今信息化大時代背景下，微積分思想和方法應用逐漸增多，加強微積分在實際生活中的應用，不僅是提高了問題的解決能力，還有助于思考素養的培育。對于微積分需要理解概念，聯系生活，深化實際應用。

[1]吳強，李建平，戴清平.在軍事院校大一新學員高等數學的教學中融入數學文化的思考與體會[J].大學數學，2012，4(3):32-21.

[2]喻偉，高建，付英定.理工科大學大面積微積分研究性教學的探索與實踐[J].大學數學，2014，25(4):51-54.