溫度作用時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的概念分析與延拓方法

靳幫虎，顧 穎

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溫度作用時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的概念分析與延拓方法

靳幫虎1,2，顧 穎2

(1. 武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063；2. 武漢華夏理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，武漢 430223)

通過對(duì)溫度變化時(shí)一個(gè)典型的超靜定結(jié)構(gòu)問題的解答分析，并以此做為力學(xué)基本模型，結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本概念講述了結(jié)構(gòu)概念分析的基本概念和分析方法；并利用延拓分析的方法，以力學(xué)基本模型分析作為出發(fā)點(diǎn)，通過不斷延拓分析的過程解決了一系列具有工程實(shí)際背景的問題．得出了在均勻溫度變化作用下任意截面形式結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖及變形圖；多層框架結(jié)構(gòu)二層以上內(nèi)力迅速衰減，底層彎矩響應(yīng)最為顯著；排架彎矩響應(yīng)隨跨度增大而變大，最大值出現(xiàn)在最外側(cè)立柱上，這些結(jié)論對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有實(shí)際指導(dǎo)意義．

溫度作用；超靜定結(jié)構(gòu)；概念分析；延拓方法

隨著計(jì)算機(jī)和各種通用計(jì)算軟件的廣泛使用，結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一些方法如力矩分配法、斜剛架計(jì)算方法、變截面計(jì)算方法等已經(jīng)失去了原來的重要性；當(dāng)今的教育理念更加重視學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力；建筑界與工業(yè)界要求結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì)人員能夠從總體上和大的概念上去把握結(jié)構(gòu)的基本受力形態(tài)和變形性能，并能夠判斷計(jì)算結(jié)構(gòu)的正誤，即概念分析的能力．文獻(xiàn)[1]首次從基礎(chǔ)力學(xué)的角度提出了概念力學(xué)的理念，基本概念及分析方法．文獻(xiàn)[2-3]則對(duì)定性結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)容體系及工程應(yīng)用進(jìn)行了介紹．

所謂概念分析是指綜合地運(yùn)用力學(xué)基本用以確定結(jié)構(gòu)的基本受力響應(yīng)，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)受力規(guī)律與變形趨勢(shì)的判斷，強(qiáng)調(diào)為構(gòu)造協(xié)同工作能力強(qiáng)的結(jié)構(gòu)提供概念服務(wù)[4]．在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形的影響非常大，并且計(jì)算通常也不是很容易的，本文以溫度變化時(shí)結(jié)構(gòu)的理論分析為出發(fā)點(diǎn)，介紹概念分析的基本方法，同時(shí)利用延拓方法，分析任意形狀截面、多層框架、多跨排架在溫度作用下的響應(yīng)．

1 基本命題

如圖1所示兩端固定單跨梁，無荷載作用，梁上下側(cè)溫度變化不同時(shí)，且2>1，研究如何快速獲得梁的彎矩圖和變形圖．

首先采用力法來求解，選取如圖1a所示的基本體系，力法典型方程為

圖1 兩端固定單跨梁內(nèi)力及變形圖

方程中系數(shù)項(xiàng)及自由項(xiàng)分別為

由上述求解過程可以發(fā)現(xiàn)，梁受拉側(cè)出現(xiàn)在溫度低的一側(cè)，結(jié)構(gòu)的軸向變形并不引起結(jié)構(gòu)的彎矩．梁的彎矩與剛度、溫差、變形系數(shù)及梁截面高度有關(guān)而與桿件長(zhǎng)度無關(guān)．這一結(jié)論對(duì)于后面的概念分析至關(guān)重要．

下面求變形，利用力法基本理論，基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于把多余約束力變換為結(jié)構(gòu)的主動(dòng)力，根據(jù)變形體的虛功原理可得位移公式[5-6]

即由此得出兩端固定單跨梁在溫度變化條件下的彎曲變形為0，桿件保持直線平直狀態(tài)，見圖1c．

2 概念分析

對(duì)比上兩式，可知溫度作用時(shí)引起的曲率與荷載作用時(shí)引起的曲率表達(dá)式相同，而溫度作用時(shí)上側(cè)高溫處受拉大于下側(cè)；而作用時(shí)，下側(cè)受拉，故兩者曲率方向相反，疊加后曲率為0，所以變形為一直線．若無軸向約束，則桿件可以自由伸長(zhǎng)，如圖1c所示．

3 延拓分析

圖2 四邊形內(nèi)力圖及變形圖

繼續(xù)拓展到任意多邊形截面形式，見圖3．

圖3 任意多邊形內(nèi)力圖及變形圖

由力學(xué)基本概念可知，桿件兩側(cè)存在溫差或在端部彎矩作用下都處于純彎曲狀態(tài)，而這兩種狀態(tài)的曲率與桿件長(zhǎng)度無關(guān)．在相同溫度作用下，角點(diǎn)連接的兩根桿件會(huì)產(chǎn)生相同的曲率，與此對(duì)應(yīng)的桿端彎矩也必定相同，由此可以推論出任意多邊形截面的角點(diǎn)在溫度作用下因兩側(cè)固端彎矩相等而不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)每條邊的軸向伸縮程度相同，故多邊形的每一條邊兩端的支撐條件實(shí)際上與圖1c無軸向約束情況相同．其內(nèi)力與變形也相似．如圖3b所示．

4 其它常見結(jié)構(gòu)的延拓分析

如圖4所示一剛架結(jié)構(gòu)，在均勻升溫作用下，框架結(jié)構(gòu)的膨脹變形會(huì)受到兩端支座距離不可變的限制，相當(dāng)于此結(jié)構(gòu)受到兩支座向內(nèi)側(cè)發(fā)生水平位移時(shí)的內(nèi)力分析．其彎矩圖大致如圖4b所示形狀．由于柱兩端約束情況不同，在溫度作用下，角點(diǎn)連接的柱和橫梁變形后曲率均不為0，會(huì)引起角點(diǎn)順時(shí)針方向的角位移，角位移的大小取決于橫梁的剛度．橫梁剛度無窮大，則角點(diǎn)角位移等于0，柱上下兩端彎矩21，若橫梁剛度接近0即橫梁只有軸向變形，此時(shí)剛架剛接近等同于排架結(jié)構(gòu)2=0，故橫梁的值在(0~1)范圍內(nèi)，具體取決于橫梁剛度．

圖4 剛架形式及彎矩圖

在此基礎(chǔ)上對(duì)2層框架結(jié)構(gòu)在均勻升溫作用下進(jìn)行分析．其中第2層柱的彎矩主要是由1層橫梁兩端角位移引起，相當(dāng)于單層框架在支座處發(fā)生角位移引起的彎矩圖．由此可以作出2層的彎矩圖大致形狀．當(dāng)2層橫梁的的剛度無窮大時(shí)有4=3/2，當(dāng)2層橫梁的剛度趨于0時(shí)，則4也趨于0，見圖5a．進(jìn)一步延拓分析3層框架在溫度作用下的響應(yīng)，由此可以得出多層框架結(jié)構(gòu)在均勻溫度變化作用下的彎矩響應(yīng)以框架底層最為顯著，在二層以上其內(nèi)力將迅速衰減，見圖5b．這一結(jié)論對(duì)于框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有實(shí)際指導(dǎo)意義．

圖5 2層及3層剛架彎矩圖

圖6 單跨排架結(jié)構(gòu)變形和彎矩圖

將其延拓到多跨排架結(jié)構(gòu)，無論是奇數(shù)跨還是偶數(shù)跨都有相同的結(jié)論．排架愈長(zhǎng)，溫度變化產(chǎn)生的內(nèi)力也愈大，所以最大內(nèi)力出現(xiàn)在最外側(cè)兩立柱上．如圖7所示，當(dāng)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度過大，應(yīng)設(shè)置溫度縫，將結(jié)構(gòu)分開，以減小溫度內(nèi)力．這一結(jié)論對(duì)排架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義．

圖7 多跨排架結(jié)構(gòu)變形圖

5 結(jié)論

通過對(duì)溫度變化時(shí)一個(gè)典型的超靜定結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的解答分析，講述了定性結(jié)構(gòu)力學(xué)的理論支撐，基本概念和方法．

(1)通過延拓分析方法解決了一系列具有工程實(shí)際意義的任意截面形式結(jié)構(gòu)在均勻溫度變化作用下的內(nèi)力圖及變形圖．

(2)溫度作用下，多層框架結(jié)構(gòu)的彎矩響應(yīng)以框架底層最為顯著；排架內(nèi)力隨跨度增大而變大，最大內(nèi)力出現(xiàn)在最外側(cè)兩立柱上，這些結(jié)論對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都具有實(shí)際指導(dǎo)意義．

[1]朱慈勉. 概念力學(xué)分析中的延拓方法[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2011, 33(4): 61-63.

[2]陳景濤, 任韋輝. 定性結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)容體系及其在工程中的應(yīng)用[J]. 重慶工學(xué)院學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 21(4): 47-49.

[3]林同炎. 結(jié)構(gòu)概念和體系[M]. 高立人, 譯. 2版. 北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2012.

[4]黃達(dá)海, 郭全全. 概念結(jié)構(gòu)力學(xué)[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2010.

[5]朱慈勉. 結(jié)構(gòu)力學(xué)(上、下冊(cè))[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2015.

[6]龍馭球, 包世華. 結(jié)構(gòu)力學(xué)基本教程[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2012.

[7]黎明發(fā), 張開銀. 材料力學(xué)[M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

[8]孫訓(xùn)芳, 方孝淑. 材料力學(xué)[M]. 5版. 北京: 高等教育出版社, 2015.

(責(zé)任編校：陳健瓊)

The Conception Analysis and Continuation Method of Statically Indeterminate Structure under Temperature Effect

JIN Banghu1,2, GU Ying2

（1. School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan, Hubei 430023, China; 2. School of Civil Engineering, Wuhan Huaxia College of Technology, Wuhan, Hubei 430063, China）

Based on the typical analysis of a statically indeterminate structure mechanics problem, under the temperature effect, the basic concepts and methods of conception analysis are described and discussed. Combined with the continuation method, using basic analysis model, a series of practical engineering problems are solved. The bending moment and deformation of arbitrary cross-section form structure are deduced and discussed. The multi-layer frame and bent frame are also discussed and to get that the structure frame bottom in the most sensitive part to response; the maximum internal force of bent frame is in the outside column. The conclusion has application value to structure design.

temperature effect; statically indeterminate structure; conception analysis; continuation method

TU311.1；O342

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.06.0002

1672–7304(2017)06–0007–04

2017-02-27

靳幫虎(1985 -)，男，山東濟(jì)南人，講師，博士，主要從事橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制與監(jiān)測(cè)研究．E-mail: ginlost@163.com