分形集上廣義凸函數的新Hermite-Hadamard型不等式及其應用

孫文兵,劉 瓊

(邵陽學院 理學與信息科學系, 湖南 邵陽 422000)

分形集上廣義凸函數的新Hermite-Hadamard型不等式及其應用

孫文兵,劉 瓊

(邵陽學院 理學與信息科學系, 湖南 邵陽 422000)

基于局部分數階微積分理論,利用分形集上廣義凸函數的定義，對Hermite-Hadamard型不等式進行一些有意義的推廣,得到了幾個分形集Rα(0<α≤1)上涉及局部分數積分的新Hadamard型不等式. 最后, 給出了其在特殊均值和數值積分中的幾個應用.

Hadamard型不等式; 廣義凸函數; 局部分數積分; 局部分數階導數; 分形空間

New inequalities of Hermite-Hadamard type for generalized convex functions on fractal sets and its applications. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):047-052

函數凸性是數學分析中的一個重要定義,很多重要的數學不等式是建立在函數凸性定義之上的，比如著名的Hermite-Hadamard不等式.

設f:I?R→R是一個凸函數,若a,b∈I且a

(1)

這就是著名的Hermite-Hadamard不等式.隨著凸性定義的推廣,Hermite-Hadamard不等式也受到國內外越來越多學者的關注[1-6].

由于分形理論的出現，物理和工程等領域的許多問題方得以合理處理和解決.近年來，隨著分形理論在科學工程領域的廣泛應用，數學作為重要的研究工具發展迅速.一些學者通過不同的方法構建了分形空間上的微積分理論[7-10].文獻[9]系統闡述了建立在分形空間上的局部分數階微積分的相關理論.文獻[11]提出了關于分形集上廣義凸函數的定義，研究了廣義凸函數的相關性質，并證明了分形集上的廣義Hermite-Hadamard不等式:

(2)

受文獻[7-11]的啟發，本文基于文獻[9]構建的局部分數階微積分理論，引入文獻[11]關于分形集上廣義凸函數的定義，對Hermite- Hadamard型不等式進行一些有意義的推廣，證明Hermite-Hadamard型不等式在分形空間中的幾個變式，最后提出這些不等式在求特殊均值以及求局部分數階積分上的應用.

1 預備知識

設Rα為分形空間上的實數集，利用GAO-YANG- KANG的方法給出局部分數階導數和局部分數階積分的定義,參見文獻[9-10].

若aα,bα,cα∈Rα(0<α≤1)，則

(1)aα+bα∈Rα, aαbα∈Rα，

(2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，

(3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(7)aα+0α=0α+aα=aα，

且aα1α=1αaα=aα.

下面給出分形集Rα上局部分數階導數和局部分數階積分的定義.

定義1[9]設f:R→Rα,x→f(x)是一個不可微函數,如果對于任意的ε>0,總存在δ>0,其中ε,δ∈R,使得當|x-x0|<δ時有

|f(x)-f(x0)|<εα，則稱不可微函數f在x0處局部分數階連續.f(x)在區間(a,b)上局部分數階連續，記為f(x)∈Cα(a,b).

定義2[9]若

定義3[9]設

則稱之為f(x)的α階局部分數階積分.

定義4[11]設f:I?R→Rα，對任意x1,x2∈I且λ∈[0,1]，如果以下不等式成立：

f(λx1+(1-λ)x2)≤λαf(x1)+(1-λ)αf(x2)，

則稱f為定義在I上的廣義凸函數.

引理1[9](1)設f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b],則

(2)設f(x),g(x)∈Dα[a,b],且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b]，則

2 主要結果和證明

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(4)(5)(6)(7)相加，并由第1節中分形空間Rα上的運算性質第(2)條，可知結論成立.

利用引理4，可以得到以下結論:

(8)

(9)

由引理2，可知

(10)

(11)

(12)

(13)

并且

(14)

定理得證.

(15)

由定理1的式(8)可得結論成立.

推論2 在推論1的結論中取x=a，可得

(16)

(17)

(18)

同理可得

(19)

(20)

(21)

根據定理1的證明，將式(10)和式(18)～(21)代入式(9)，可得不等式(17)，定理得證.

3 應用舉例

3.1 在特殊均值中的應用

考慮如下廣義均值:

n∈Z{-1,0},a,b∈R,a≠b.

(22)

證明 在推論2中，取

f(x)=xnα,x∈R,n∈Z,n≥2，則

結論得證.

3.2 在求積分中的應用

下面考慮前面涉及局部分數積分的不等式在局部分數積分的求積方法中的應用.

考慮區間[a,b](0

(23)

定義逼近積分的梯形公式

命題2 設I?R是一個區間，f:Io?R→Rα(Io是I的內部)使得f∈Dα(Io)且f(α)∈Cα[a,b]，其中a,b∈Io,a

(24)

證明 由推論2，在分劃In的每一個子區間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上，有

對i從0到n-1對上式兩邊求和，由三角不等式得

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SUN Wenbing, LIU Qiong

(DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang422000,HunanProvince,China)

On the basis of local fractional calculus theory, inequalities of Hermite-Hadamard type are extended following the definition of generalized convex function on fractal sets. Some new Hadamard-type inequalities involving local fractional integrals on fractal setsRα(0<α≤1) are established. Finally, some applications of the new inequalities in special means and numerical integration are provided.

Hadamard-type inequalities; generalized convex function; local fractional integral; local fractional derivative; fractal space

2016-03-22.

邵陽市科技計劃項目(2015NC43);湖南省自然科學基金資助項目(12JJ3008).

孫文兵(1978-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-5673-4519,男，碩士，講師，主要從事解析不等式、智能算法研究，E-mail:swb0520@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.007

O 178

A

1008-9497(2017)01-047-06