兩端彈性支承裂紋管道的非線性動力學特性

2017-02-14 09:26:39包日東

振動與沖擊 2017年1期

關鍵詞：裂紋系統

包日東，梁峰

(沈陽化工大學能源與動力工程學院，沈陽 110142)

兩端彈性支承裂紋管道的非線性動力學特性

包日東，梁峰

(沈陽化工大學能源與動力工程學院，沈陽 110142)

研究兩端彈性支承輸流管道含圓周方向裂紋時的非線性動力學特性。首先，推導出裂紋管道的模態函數與局部柔度系數，然后運用Galerkin離散技術將管道運動方程在模態空間中展開，采用非線性動力學仿真方法得到管道系統響應隨各參數變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖。數值結果表明，這種兩端彈性支承的特殊邊界裂紋管道在參數激勵、自激勵和外激勵聯合作用下，表現出豐富的非線性動力學特性，分別出現周期運動、概周期運動、陣發性混沌和混沌等多種響應形式。

彈性支承；裂紋管道；非線性動力學特性；分岔；混沌

管道輸送在能源、化工、航空、動力等工業領域具有廣泛應用，是流體輸送的最主要方式。管道輸送的安全運行關系著與之相連接裝置的安全，裂紋是較典型的一種損傷形式，裂紋的出現將改變管道結構的剛度、阻尼和質量，從而導致管道系統動力學特性的改變。

無裂紋兩端簡支輸流管道在脈動內流作用的動力學特性，已有許多文獻報道了其研究進展[1-4]；近年來對于含裂紋兩端簡支輸流管道的動力學特性的研究也多有文獻報道。HE等[5]在沒有考慮管內流體影響前提下，研究了裂紋管道的應力集中因子和局部柔度系數；YOON等[6]研究了兩端簡支裂紋管道在移動載荷作用下的頻率特性和位移響應；蔡逢春等[7]研究了含裂紋兩端簡支管道在振蕩流作用下的非線性動力特性，其模型考慮了瞬變呼吸裂紋和幾何非線性。無裂紋端部既非簡支又非固支的特殊支承邊界輸流管道的動力學特性，作者以前進行了較深入的研究[8-10]，而對于這種特殊支承邊界的含裂紋輸流管道的研究，還未見有相關文獻報道。

兩端簡支管道由于各種原因其端部支撐可能松動而處于彈性支承狀態。本文研究這種兩端彈性支撐特殊邊界的輸流管道含有圓周方向非貫穿裂紋時的非線性動力特性。

1 裂紋梁模態函數與局部柔度系數

1.1 模態函數

如圖1所示，考慮含有一條裂紋的梁，xc是圖示坐標系裂紋坐標，K1和K2是端部彈性支承系數，從裂紋處將梁分成2段，在裂紋處用扭轉彈簧組裝起來。裂紋梁的模態函數可分段表示為：

(1)

(2)

圖1 兩端彈性支承裂紋管道模型Fig.1 Model of a fluid conveying pipe with crack under elastic supporting

兩端彈性支承裂紋管道在端部應滿足線性彈性支承的邊界條件，在裂紋處應滿足位移、彎矩、剪力和轉角四個協調條件：

(3)

將式(1)～(2)及其各階導數代入邊界條件和協調條件式(3)，可得：

(4)

式中:C為裂紋引起的局部柔度系數?？紤]兩端對稱支承的情形，即：

K1=K2=K

令：

可得：

(5)

式(5)構成關于Ai(i=1,2,…,8)的線性方程組，求解該方程組，可以唯一確定系數Ai，由此得到裂紋管道的兩段模態函數。

1.2 局部柔度系數

在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋引起的局部柔度系數為[3-5]：

(6)

圖2 裂紋管道截面Fig.2 Section of the cracked pipe

進一步將局部柔度系數化為無量綱形式：

(7)

2 系統運動方程及離散

圖1所示兩端受線性彈簧支承的輸流管道，考慮管道軸線伸長而產生的非線性軸向力、支承基礎的簡諧激勵、管內流體流速和壓力的脈動作用，其無量綱形式的運動方程為[9,10]：

(8)

式中:各符號的意義參見文獻[9-10]。

設方程(8)的解為：

(9)

將式(9)代入式(8)可得

(10)

方程(10)兩邊同乘以φj(ξ),(j=1,2)，然后在區間[0，1]上進行積分，得到

(11)

進一步將系統運動方程(11)化為：

(12)

式中:

R=-M-1C,S=-M-1K,

(13)

式中:

rij，sij(i,j=1,2)為矩陣R，S的元素，Q1，Q2為向量Q用狀態參數表示的元素。

3 非線性動力學特性分析

仿真參數取α=0.005，β=0.5，Γ=2，p=2，u=4，k=50，d=Di/De=0.925 9，a/δ=0.5，θc=2θ=π/6，ξc=0.5，h=0.1，μ=0.1，ρ=0.1，γ=5，ζ=50，κ=5π，?=5π，ω=5π。當討論某參數對固有頻率和臨界流速的影響時，該參數取變化的值(圖中的橫坐標)，有變化的參數值已標注于圖中。

圖3 系統響應隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.3 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity

圖3所示為系統響應隨平均流速變化的分岔圖和對應的最大Lyapunov指數圖。從圖中看出，當流體流速較小時，系統響應是周期運動，隨著流速的增大，系統響應出現分岔，流速u=3.8時，系統響應出現混沌，爾后，隨著流速的進一步增大，系統響應交替出現陣發性混沌和p-k運動。

圖4 θc=2π時系統響應隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.4 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity under condition of θc=2π

圖5 系統響應隨彈性支承系數k變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.5 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for elastic supporting coefficient k

圖4所示為裂紋角θc=2π即管道圓周方向貫穿時系統響應隨流速變化的分岔圖和對應的最大Lyapunov指數圖。從圖4(a)和圖4(b)可以看出，u<2.5時系統響應為周期1運動；u∈[2.5,3.5]區間時，系統響應為陣發性混沌運動；流速u在[5.15,5.35]的窄小區間內，系統響應表現為混沌運動；流速u>5.35后，系統響應又表現為陣發性混沌運動。

圖5顯示的是系統響應隨彈性支承系數k變化的分岔圖和相應的最大Lyapunov指數圖。從圖中可以得出，隨著管道端部彈性支承系數的變化，系統響應分別出現混沌運動、周期運動、擬周期運動、陣發性混沌等多種響應形式。k∈[20,22]∪[30,37]∪[38,46]∪[78,80]的各區間內，系統響應為混沌；k∈[22,23.5]∪[26,28]∪[37,38]∪[65,67]的各區間內，系統響應為周期運動；k∈[23.5,26]∪[46,65]的二個區間內，系統響應表現為擬周期運動形式，除上述的各區內的彈性支承系數外的其它彈性支承系數，系統響應則表現為陣發性混沌響應形式。