皮亞諾公理體系下的自然數運算（一）

文︳張新春

皮亞諾公理體系下的自然數運算（一）

文︳張新春

現在，在皮亞諾公理體系下，盡管已經有了自然數系，但自然數系還非常簡單。我們要利用皮亞諾公理體系建立起更復雜的概念和運算。再一次提醒讀者朋友，請你把你現在所有的數學知識都忘記，只記住自然數和皮亞諾五公理。我們要在此基礎上一步步把運算及相應的運算定律定義推導出來，你將會看到數學是如何展開的，數學家是如何利用最簡單、最樸素的定義與公理得到越來越豐富的數學內容，培養出數學的參天大樹的。

1.加法

我們現在要來定義“一個自然數（比如m）加上另一個自然數（比如n）”是什么意思。

我們的辦法非常簡單，比如3+5，我們說3+5得到一個自然數，這個自然數就是2+5所得到的自然數的后面那個——即（2+5）的后繼。但馬上出現一個問題：2+5又是什么意思呢？因為只有知道了2+5是什么意思，才能確定（2+5）的后繼。我們說2+5是（1+5）的后繼，而1+5呢？我們說是（0+5）的后繼，那0+5呢？至此我們已經無路可退，于是我們就規定0+5=5。這樣一來，1+5是（0+5）的后繼，也就是5的后繼，是6；2+5就是6的后繼，是7；3+5是7的后繼，是8……

正式一點，我們可以這樣寫：

定義（自然數加法）：設m是自然數，定義0+ m=m。若已經定義好了n+m，則（n+）+m=（n+m）+。

這個定義所采用的方法即是數學歸納法。這里的m是任意的。對任意的m，我們要規定所有的自然數與m相加的意義，若做到了這一點，那么任意的兩個自然數相加的意義就都規定了。但自然數的個數是無限的，我們如何能做到一一規定這無限多個自然數與m相加的意義呢？這里，就要用到皮亞諾公理5，即數學歸納法原理了。為了規定所有自然數與m相加的意義，根據皮亞諾公理5，我們只要做兩件事：

第一件，規定0+m的意義，這個我們已經做了，我們規定了0+m=m。

第二件，假定已經有了n+m的意義，再在此基礎上說明（n+）+m的意義（n+是n的后繼，到現在，+有了兩個意義：寫在兩個自然數之間，表示加；寫在一個自然數后面，表示這個自然數的后繼，通常不會引起混淆）。上述定義已經做好了這一工作，即規定（n+）+m=（n+m）+，簡單地說，即是“后繼的和等于和的后繼”。

根據上面的定義，0+m還是m，1是0的后繼，即0+，所以1+m就是（0+）+m，而（0+）+m=（0+m）+= m+，于是1+m有了定義。而2是1的后繼，這樣，2+m就是（1+m）的后繼，如此下去，所有自然數加上m都有了定義。而m是任意的，于是任意兩個自然數相加都有了定義。比如愛迪生問過的2+2，我們知道2是1的后繼，即2=1+，于是根據自然數加法的定義，2+2=（1+）+2=（1+2）+；而1是0的后繼，根據定義，1+2=（0+）+2=（0+2）+；而0+2=2，于是2+2=（2+）+，2+是3，3+是4，所以2+2=4。

簡單地說，加法是這樣定義的：0加一個數得它自己；1加一個數是這個數的后繼數，即這個數后面那個數；2加一個數是1加這個數的后繼數，也就是這個數的后繼數的后繼數，即它后面第二個數。類似地，3加一個數就是這個數的后繼數的后繼數的后繼數，也就是這個數后面的第三個數……或者說，加法就是重復的后繼。我們教一年級學生做加法時，有一種方法就是按這個定義做的：比如3+5，把5記在心里，往后數到第3個數：6、7、8，于是3+5=8。

以下一段的討論主要解決一個問題，證明加法滿足交換律。即證明：

加法交換律：對于任意的自然數a和b，有a+b=b+a。

我們將利用皮亞諾公理5，用數學歸納法證明這個結論。為此，我們把加法交換律理解為對任意的自然數b，以下的一系列命題均成立（用數學的行話是：固定b，對a作歸納）：

0+b=b+0，

1+b=b+1，

2+b=b+2，

3+b=b+3，

……

為了證明這無限多個命題均成立，按數學歸納法原理，我們要完成以下兩項工作：

一、證明這些命題中的第一個成立。

二、再證明：若這些命題中的某一個成立，比如k+b=b+k成立，那么這個命題的下一個命題也成立，即有（k+）+b=b+（k+）（這里的k+指k的后繼數）。

我們依次完成這兩項工作，首先做第一件事。

證明：對于任何自然數n，有n+0=0+n。

我們定義了0+n=n，所以要證明n+0=0+n，只要證明n+0=n。

要證明對于任何自然數n，有n+0=n，事實上就是要證明以下一系列命題：

0+0=0，

1+0=1，

2+0=2，

3+0=3，

……

上述第一個命題（即0+0=0）顯然是成立的，因為這就是加法的定義——對任何m，0+m=m，只要讓m取0就行了。

若上述中的某一個命題成立，比如k+0=k成立，我們來看看它的下一個命題，即（k+）+0=k+是否成立。

根據定義：（k+）+0=（k+0）+，而k+0=k成立，所以（k+）+0=（k+0）+=k+。

根據數學歸納法原理，對于任意的自然數n，有n+0=n，從而n+0=0+n。

接下來做第二件事，即

在k+b=b+k成立的假設下，證明（k+）+b=b+（k+）也成立。

根據加法的定義，（k+）+b=（k+b）+。根據歸納假設，k+b=b+k，于是（k+）+b=（k+b）+=（b+k）+，于是只要證明（b+k）+=b+（k+）就行了。

為此，再次利用數學歸納法：固定k，對b作歸納法。

當b=0時，（0+k）+=k+=0+（k+）。

若（b+k）+=b+（k+），則

（（b+）+k）+

=（（b+k）+）+……（根據加法的定義（b+）+k

=（b+k）+）

=（b+（k+））+……（根據歸納假設：（b+k）+=b+

（k+））

=（b+）+（k+）……（再次根據加法的定義）

這樣，我們就完成了加法交換律的證明。

類似地，我們還可以證明加法的結合律：

加法結合律：對于任意的自然數a，b和c，有（a+b）+c=a+（b+c）。

為了完成這個證明，只需固定其中的兩個元，對第三個元作歸納法。我們把這個詳細證明留給感興趣的讀者。

當我們知道加法滿足交換律與結合律后，我們可以證明，對于任意有限多個數相加，可以任意選擇相加的順序，和不變。

數學教育的真功夫是對數學與數學教育的把握，唯此才能成就好的數學課堂。湖南數學教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數學老師談心”，請關注。