基于ERA模型辨識的H∞振動主動控制試驗研究

邵敏強， 陳衛東， 佘重禧

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

基于ERA模型辨識的H∞振動主動控制試驗研究

邵敏強， 陳衛東， 佘重禧

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

針對外擾作用下的尾撐式風洞測力模型進行H∞魯棒控制試驗研究。采用ERA算法(Eigensystem Realization Algorithm)進行模型辨識，可直接獲得受控系統動力學方程。為保證系統的穩定性和魯棒性，結合H∞混合靈敏度優化方法設計控制器，實現受控模型垂向前兩階模態的振動控制。試驗結果表明，結合ERA辨識模型設計的控制器能夠有效抑制模型振動，能夠將前兩階振動幅值抑制到無控制時的10%以下。

H∞魯棒控制，風洞測力模型，振動主動控制，ERA模型辨識

尾撐式測力模型在風洞測力實驗中具有廣泛應用[1-3]，該支撐方式由攻角機構、尾部支桿、測力天平和實驗模型組成。模型與支桿通過測力天平相連接，天平一端與模型尾部固定連接，另一端與支桿末端相連，支桿根部固定于攻角機構，形成柔性懸臂式結構系統。在風洞測力實驗中，由于受氣流脈動影響，尾撐系統低階模態與來流耦合，容易誘發大幅度位移振動。作者在風洞測力模型的振動控制方面已有初步研究，SHAO等[4]針對風洞測力模型振動控制中產生的時滯現象進行研究，采用時間序列預測方法實現時滯的消除，獲得有效的控制效果，確保了系統的穩定性。邵敏強等[5]對測力模型控制系統中濾波器產生的時滯進行處理，將包含時滯的狀態方程轉換為不顯含時滯的輸入輸出方程，建立基于系統輸出的最優控制方法，取得理想的控制效果。柔性懸臂結構是振動控制研究中常見的結構形式[6-8]，其中許多研究成果對風洞測力模型的振動控制具有借鑒作用。如模糊控制等不依賴模型的控制方法即能夠應用于一般柔性結構的振動控制[9-10]，同時也適用于風洞測力模型的振動抑制。

對于結構復雜的模型，難以直接進行理論建模。而模型辨識是一種易于實現的建模方法，適用于復雜結構的模型構建。ERA(Eigensystem Realization Algorithm)算法不需要識別模型的實際物理參數，可直接得到狀態空間表達式，這對于振動控制而言，減少了動力學方程的重構工作，有利于控制器設計。QIN等[11]采用Chebyshev濾波器獲得有效采樣信號，通過RD方程的互相關函數構造Hankel矩陣，提出改進型ERA辨識方法，并在青馬大橋模態識別中得到應用。REBOLHO等[12]提出一種擴展ERA方法，用來在線識別風洞實驗裝置的氣動彈性參數，能夠有效辨識氣動彈性頻率和系統阻尼。ZHANG等[13]提出一種針對ERA模型的可靠性評判標準，通過模態能量級別來識別系統主要模態，對自動模態選擇方法的發展具有促進作用。現有ERA方法適用于脈沖激勵作用下的模型辨識，為提高系統辨識效率，文中結合離散狀態方程表達式推導獲得任意激勵作用下的ERA模型辨識算法。另外，ERA辨識方法更有利于控制模型的建立，而且魯棒控制在提高系統的可靠性方面具有優勢，能夠在一定范圍內承受由模型辨識帶來的誤差。結合兩者各自的特點，以具體風洞模型為受控對象，采用ERA模型辨識和H∞控制相結合的方法設計控制器，通過仿真和試驗驗證了其有效性，從而形成高效實用的振動控制解決方案。

1 動力學建模

1.1 ERA模型辨識

受控結構的離散時間模型可表示為

x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)

y(k+1)=Cdx(k+1)+Ddu(k+1)

(1)

式中:x為2n維狀態列向量；u為s維的控制輸入向量；y為r維觀測向量；Ad為2n×2n維狀態矩陣；Bd為2n×s維輸入矩陣；Cd為r×2n維觀測矩陣；Dd為r×s維影響矩陣。

記向量Li=L(i)，在初始時刻滿足x0=0n×1，則y0=Ddu0，結合式(1)可得任意激勵作用下的遞推表達式

(2)

定義系統Markov參數

(3)

由2p-1 個Markov參數構造Hankel矩陣

(4)

以及偏移時刻的Hankel矩陣

(5)

求解Markov參數以及Hankel矩陣，由式(4)和式(5)的構造方法可知，總共需要q+1個Markov參數組成Hankel矩陣H，其中q≥2p

H=[h0,h1,h2…,hq]=

(6)

假設包含q+1個響應點的響應矩陣

(7)

采用輸入時間序列構造矩陣

(8)

由式(6)～式(8)可得

Y=HU

(9)

通過求解式(9)中矩陣U的廣義逆可以得到Markov矩陣H

H=YU+

(10)

此處當系統為多輸入多輸出系統時，為了使求取的Markov矩陣H更加精確，可以選激勵信號為多數入任意信號，在q?p×s時，總可以滿足矩陣U為行滿秩矩陣。根據已經得到2p+1個Markov參數，在此基礎上即可以求出系統的Hankel矩陣。

建立能控、能觀性矩陣與Hankel矩陣的關系

H1=OpCp,H2=OpACp

(11)

通過對矩陣H1奇異值分解有

H1=V1Γ2V2

(12)

式中:Γ為系統Hankel奇異值矩陣，其對角元素從大到小排列。

令P=V1Γ,Q=ΓV2，則P、Q可分別代表系統的能控、能觀性矩陣Cp和Op。經奇異值分解得到的P、Q為滿秩矩陣，經推導可得

Ad=P+H2Q+

(13)

由式(11)及能控、能觀矩陣的形式可知Q的前s列為輸入矩陣Bd，P的前r行為觀測矩陣Cd，H的前s列為影響矩陣Dd。

1.2 受控系統模型辨識

以柔性懸臂式風洞測力模型作為受控對象，根據實際模型建立地面試驗系統，如圖1所示。圖中編號為激勵點和測量點在模型表面的位置，其中位置1#、2#為激勵點，位置3#、4#為響應點。由激振器在位置1#和位置2#同時施加外激勵，采集第3#、4#點的加速度信號(信號采樣率為256 Hz)。對加速度信號進行積分轉換成速度響應，取式(2)中的r=s=512，n=4，經ERA算法辨識得到試驗系統模型為

(14)

圖1 受控系統Fig.1 Controlled system

針對辨識模型進行數值仿真分析，在位置2#施加激勵，位置3#測量輸出響應。系統的頻率響應特性如圖2所示，可知辨識模型的前兩階固有頻率分別為8.1 Hz和22.6 Hz，與模態實驗結果一致。

圖2 辨識模型頻率響應Fig.2 Frequency response of identification model

2 H∞控制器設計

(15)

(16)

(17)

G(s)K(s)[I+G(s)K(s)]-1=I

(18)

由此可知提高閉環系統的抗外擾能力與提高系統的魯棒性有矛盾，混合靈敏度優化的控制器設計必須是一個折中的設計。

圖3 H∞混合靈敏度最優控制Fig.3 H∞Hybrid sensitive optimal control

在H∞混合靈敏度優化設計中，加權函數的選擇是非常重要的，一般W1的選擇應具有積分特性或高增益低通特性，且增益可作為參數來作調整；W2的選擇一般要考慮到系統的飽和現象與系統對噪聲的抑制能力的折中；W3一般具有高通濾波特性。

經分析，控制系統的目標函數可表示為

(19)

如圖3所示，假設控制器K(s)不存在，則考慮加權函數的混合靈敏度問題的基本框架為

(20)

(21)

式中:P(s)為廣義受控對象的傳遞函數。根據式(20)所示輸入輸出關系可得廣義受控對象的狀態空間表達形式

z=C1x+D12u,

y=C2x+D21w

(22)

根據式(22)所示的廣義受控系統，假設該系統穩定、輸出狀態完全能觀，且滿足式(23)。此時所求解的控制器為中心H∞控制器。

(23)

若存在最小的ρ>0滿足條件：

(1)S∞c≥0是下列中心H∞控制器代數黎卡提方程的解；

(24)

(2)S∞e≥0是下列中心H∞觀測器代數黎卡提方程的解；

(25)

(3)(S∞cS∞e)的最大特征值小于ρ2，有

λmax(S∞c,S∞e)<ρ2

(26)

(4)式(27)所示Hamiltonian矩陣的特征值不在虛軸上；

(27)

則有滿足目標函數的無窮范數‖Φ‖∞<ρ的一個最優中心H∞控制器，其狀態空間表達式可表示為(A∞,B∞,C∞)，其中：

B∞=Ke,

C∞=-Kc

(28)

實際求解ρ的過程一般使用迭代法，逐漸減小ρ的取值，直到求得滿足以上條件的最小ρ，然后經式(28)可求得H∞控制器的狀態空間表達式。實際計算可采用Matlab的hinfric函數實現。

3 受控系統數值仿真

采用式(14)所示的ERA辨識模型，結合H∞控制器設計方進行控制器設計，取Did=0，經迭代計算可得ρ=675，進一步求解得到中心H∞控制器

B∞=[-2.891 3,-0.797 2,8.692 3,-1.398 1]T，

C∞=[796.3,-45.8,-3 979.6,-488.9]。

經仿真分析，受控系統的單位脈沖響應如圖4所示。由圖可知，施加控制作用后的系統響應衰減明顯加快，振動得到有效抑制。圖5為系統受控前后的幅頻曲線，結果表明系統前兩階模態得到了有效抑制。

圖4 受控系統單位脈沖響應Fig.4 Impulse response of the controlled system

圖5 有控/無控系統幅頻響應Fig.5 Response of the system with or without control

4 試驗驗證

對基于辨識模型的H∞控制，選擇加權函數值：W1=1，W2=W3=2 000，m=1.35，通過計算得到ρ=2 673.3，經離散化的H∞控制器為

Num=[-794.7,1 487.8,17.2,-1 493.1,772.2]

Den=[1.0,-3.088,3.617 1,-1.880 1,0.359 9]

當激振器1#對風洞測力模型結構施加頻率為8.1 Hz的簡諧外擾激勵時，閉環控制系統對被控結構在豎直方向第一階固有振動的實際控制效果如圖6所示。

當激振器1#對風洞測力模型結構施加頻率為22.6 Hz的簡諧外擾激勵時，閉環控制系統對被控結構在豎直方向第二階固有振動的實際控制效果如圖7所示。

由圖6及圖7可以看出，基于辨識獲取的模型設計H∞控制器，被控結構的前兩階固有振動可被有效抑制，被抑制幅度達到90%以上。從開始施加控制作用到被控結構的響應達到穩定，其衰減時間小于1 s。

圖6 垂向一階固有振動的控制效果Fig.6 Control effect of vertical first-order mode

圖7 垂向二階固有振動的控制效果Fig.7 Control effect of vertical second-order mode

5 結 論

根據狀態方程推導獲得適用于任意輸入激勵作用下的ERA模型辨識方法，采用該方法對尾撐式風洞測力模型進行狀態參數辨識。為保證系統穩定性和魯棒性能，結合H∞混合靈敏度優化方法設計控制器，實現受控模型垂向前兩階模態的振動抑制。試驗結果表明，H∞控制方法在保證系統可靠性方面具有良好效果，結合ERA辨識模型設計的控制器能夠有效抑制模型振動，可以將前兩階振動幅值抑制到無控制時的10%以下。驗證了ERA模型辨識和H∞魯棒控制相結合的方法能夠穩定、高效地解決實際工程中的振動問題，為拓展主動控制在工程中的應用提供理論依據。

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Experiment study on the active vibration control usingH∞method based on ERA identification model

SHAO Minqiang, CHEN Weidong, SHE Chongxi

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

TheH∞robust control on a rear-sting wind tunnel model was experimentally studied. Due to that the model is suffering from external disturbance, an Eigensystem Realization Algorithm(ERA) was used for model identification. In order to obtain a stable and robust system, aH∞hybrid sensitivity optimization controller was designed to suppress the vibration of first two modes of the structure. The results of experiments indicate that the controller based on ERA model identification method is effective for vibration suppressing, and the vibration amplitude of first two modes is reduced to less than 10% compared to uncontrolled state.

H∞robust control; wind tunnel model; active vibration control; ERA model identification

國家自然科學基金(11402111)；江蘇省自然科學基金(BK20140809)；機械結構力學及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學)自主研究課題資助(0113Y01)

2015-08-25 修改稿收到日期：2016-01-25

邵敏強 男，博士，副教授，1979年9月生

陳衛東 男，博士，教授，1962年8月生

TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.011